Merhaba sevgili 6. sınıf öğrencilerim!
Bugün sizlerle birlikte matematiğin en gizemli ve en temel konularından biri olan Asal Sayılar‘ı öğreneceğiz. Önümüzdeki görselde yer alan “Eratosthenes Kalburu” etkinliğini adım adım uygulayacak ve ardından gelen soruları hep birlikte cevaplayacağız. Hazırsanız, kalemlerinizi ve zihinlerinizi hazırlayın, başlıyoruz!
Etkinlik 2: Eratosthenes Kalburu
Bu etkinlik, adını çok eski zamanlarda yaşamış Yunanlı bir matematikçi olan Eratosthenes’ten alıyor. Kendisi, 100’e kadar olan asal sayıları bulmak için çok zekice bir yöntem geliştirmiş. Biz de şimdi onun adımlarını takip edeceğiz.
Unutmayın, asal sayılar sadece 1’e ve kendisine bölünebilen, 1’den büyük sayılardır. Yani tam iki tane çarpanı (böleni) olmalıdır.
Adım 1: En küçük asal sayı 2’dir. Tabloda 2’yi işaretleyelim ve 2’nin katları olan bütün sayıların (4, 6, 8, 10, …) üzerini çizelim. Çünkü bu sayılar 2’ye bölündükleri için asal olamazlar.
(4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, … , 100 sayıları elenir.)
Adım 2: Sırada kalan ilk sayı 3’tür. 3 de bir asal sayıdır. Şimdi 3’ü işaretleyelim ve 3’ün katları olan bütün sayıların (6, 9, 12, 15, …) üzerini çizelim. Bazılarının üstü zaten çizilmiş olabilir, sorun değil!
(9, 15, 21, 27, 33, 39, … , 99 gibi sayılar da elenir.)
Adım 3: Sırada kalan ilk sayı 5’tir. 5 de bir asal sayıdır. 5’i işaretleyelim ve 5’in katları olan sayıların (10, 15, 20, 25, …) üzerini çizelim.
(25, 35, 55, 65, 85, 95 sayıları da elenir. Diğerleri zaten elenmişti.)
Adım 4: Sırada kalan ilk sayı 7’dir. 7 de bir asal sayıdır. 7’yi işaretleyelim ve 7’nin katları olan sayıların (14, 21, 28, …) üzerini çizelim.
(49, 77, 91 sayıları da elenir. Diğer katları zaten elenmişti.)
Adım 5: Şimdi geriye kalan ve üzeri çizilmemiş olan sayıları işaretleyelim. 1 sayısını hariç tutuyoruz, çünkü 1 asal bir sayı değildir. Birazdan nedenini açıklayacağız.
Sonuç: Tabloda İşaretlediğimiz Asal Sayılar
İşte Eratosthenes Kalburu yöntemiyle bulduğumuz 100’e kadar olan asal sayılar:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
Şimdi de etkinlik sonundaki tartışma sorularına bakalım. Bu sorular, konuyu ne kadar anladığımızı görmemiz için harika bir fırsat!
Soru 1: 1, neden asal sayı değildir?
Çözüm:
Sevgili arkadaşlar, asal sayı tanımını hatırlayalım: “Sadece iki farklı doğal sayı çarpanı olan sayılara asal sayı denir.” Yani bir sayının asal olması için tam olarak 2 tane böleni olmalı. Bunlar 1 ve sayının kendisidir.
Şimdi 1 sayısını inceleyelim:
1’i bölen tek bir sayı vardır, o da yine 1’dir.
Yani 1’in sadece bir tane çarpanı vardır. Asal sayı kuralı olan “iki farklı çarpan” şartını sağlamadığı için 1 sayısı asal bir sayı olarak kabul edilmez.
Soru 2: 2’den başka çift asal sayı var mıdır?
Çözüm:
Bu çok güzel bir soru! Cevabı hayır, yoktur.
Nedenine gelince; 2 dışındaki bütün çift sayılar (4, 6, 8, 10, …) tanım gereği 2’ye tam olarak bölünebilirler. Bu da demek oluyor ki, bu sayıların 1 ve kendisinden başka en az bir böleni daha vardır: 2.
Örneğin 10 sayısını düşünelim. Bölenleri 1, 2, 5 ve 10’dur. Gördüğünüz gibi ikiden fazla böleni var.
Bu yüzden 2, hem en küçük asal sayıdır hem de tek çift asal sayıdır.
Soru 3: Sizce asal sayıların sonu var mıdır?
Çözüm:
Bu soru, binlerce yıldır matematikçilerin aklını kurcalamış bir soru. Ve cevabı oldukça şaşırtıcı: Asal sayıların sonu yoktur!
Yani sayılar sonsuza kadar gittiği gibi, asal sayılar da sonsuza kadar devam eder. Ne kadar büyük bir asal sayı bulursanız bulun, ondan daha büyük bir asal sayı mutlaka vardır. Buna “asal sayıların sonsuzluğu” denir ve bu, matematiğin en temel ve güzel gerçeklerinden biridir. Şimdilik bunun böyle olduğunu bilmeniz yeterli, nedenini ileriki yıllarda daha detaylı öğreneceksiniz.