Anlık görüntüleyici sayısı yükleniyor…
Çözümü Değerlendir
Merhaba sevgili öğrencilerim!
Bugün sizlerle kesirlerin ondalık gösterimlerini ve aralarındaki o ilginç ilişkiyi keşfedeceğiz. Unutmayın, bir kesir aslında bir bölme işlemidir. Payı paydaya bölerek o kesrin ondalık halini bulabiliriz. Haydi, etkinlikteki soruları birlikte adım adım çözelim!
1) Aşağıdaki kesirlerin paylarını paydalarına bölerek ondalık gösterimlerini bulunuz. İşlemlerin sonucunu hesap makinesi ile kontrol ediniz. Bulduğunuz ondalık gösterimlerin kesir kısmının sonlu mu yoksa sürekli tekrar eden bir ifade mi olduğunu belirleyerek istenen kısma yazınız.
a) 1/2
Çözüm:
Bu kesri ondalık sayıya çevirmek için payı, yani 1’i, paydaya, yani 2’ye bölmemiz gerekiyor.
Adım 1: 1’in içinde 2 var mı? Hayır, yok. O zaman sonucun tam kısmı 0 olacak. Sonuç kısmına “0,” yazıyoruz ve 1’in yanına bir 0 ekleyerek onu 10 yapıyoruz.
Adım 2: Şimdi 10’un içinde 2’yi arayalım. 10’un içinde 2, tam 5 kere var! (5 x 2 = 10). Kalanımız 0 oldu.
Bölme işlemi bittiğine ve kalan 0 olduğuna göre, bu ondalık gösterim sonludur.
Sonuç: 0,5
Bu bir sonlu sayıdır.
b) 4/3
Çözüm:
Şimdi de 4’ü 3’e bölelim.
Adım 1: 4’ün içinde 3, 1 kere var. (1 x 3 = 3). 4’ten 3 çıkınca kalan 1 olur. Sonucun tam kısmına 1 yazıp yanına virgül koyuyoruz.
Adım 2: Kalan 1’in yanına bir 0 ekleyerek onu 10 yapıyoruz. 10’un içinde 3, 3 kere var. (3 x 3 = 9). 10’dan 9 çıkınca kalan yine 1 oldu.
Adım 3: Kalan 1’in yanına tekrar bir 0 ekliyoruz, yine 10 oldu. 10’u 3’e bölünce yine 3 buluyoruz ve kalan yine 1 oluyor. Gördüğünüz gibi bu işlem sonsuza kadar böyle devam edecek!
Sürekli aynı sayı tekrar ettiği için bu ondalık gösterim devirlidir, yani sürekli tekrar eder.
Sonuç: 1,333… veya kısaca 1,3̅ (3’ün üzerindeki çizgi, onun sürekli tekrar ettiğini gösterir.)
Bu bir sürekli tekrar eden (devirli) sayıdır.
c) 2/9
Çözüm:
Haydi 2’yi 9’a bölelim.
Adım 1: 2’nin içinde 9 yok. Sonuca “0,” yazıyoruz ve 2’nin yanına bir 0 ekleyerek onu 20 yapıyoruz.
Adım 2: 20’nin içinde 9, 2 kere var. (2 x 9 = 18). 20’den 18 çıkınca kalan 2 olur.
Adım 3: Kalan 2’nin yanına bir 0 ekleyince yine 20 oldu. 20’yi 9’a bölünce yine 2 buluruz ve kalan yine 2 olur. Bu da b şıkkındaki gibi sonsuza kadar devam edecek bir döngü!
Sonuç: 0,222… veya kısaca 0,2̅
Bu bir sürekli tekrar eden (devirli) sayıdır.
ç) 9/5
Çözüm:
Sırada 9’u 5’e bölmek var.
Adım 1: 9’un içinde 5, 1 kere var. (1 x 5 = 5). 9’dan 5 çıkınca kalan 4 olur. Sonuca “1,” yazıyoruz.
Adım 2: Kalan 4’ün yanına bir 0 ekleyerek onu 40 yapıyoruz. 40’ın içinde 5, tam 8 kere var! (8 x 5 = 40). Kalanımız 0 oldu.
Bölme işlemi bitti ve kalan 0. Demek ki bu da sonlu bir ondalık gösterim.
Sonuç: 1,8
Bu bir sonlu sayıdır.
d) 11/4
Çözüm:
Şimdi 11’i 4’e bölelim.
Adım 1: 11’in içinde 4, 2 kere var. (2 x 4 = 8). 11’den 8 çıkınca kalan 3 olur. Sonuca “2,” yazıyoruz.
Adım 2: Kalan 3’ün yanına bir 0 ekleyerek onu 30 yapıyoruz. 30’un içinde 4, 7 kere var. (7 x 4 = 28). 30’dan 28 çıkınca kalan 2 olur.
Adım 3: Kalan 2’nin yanına bir 0 daha ekleyerek onu 20 yapıyoruz. 20’nin içinde 4, tam 5 kere var! (5 x 4 = 20). Kalanımız 0 oldu.
Bölme işlemi bitti, bu da sonlu bir ondalık gösterim.
Sonuç: 2,75
Bu bir sonlu sayıdır.
e) 10/6
Çözüm:
Son olarak 10’u 6’ya bölelim. İpucu: Önce kesri sadeleştirmek işimizi kolaylaştırabilir! 10 ve 6’nın ikisi de 2’ye bölünür. 10/6 kesri aslında 5/3 kesrine eşittir. Haydi 5’i 3’e bölelim.
Adım 1: 5’in içinde 3, 1 kere var. (1 x 3 = 3). 5’ten 3 çıkınca kalan 2 olur. Sonuca “1,” yazıyoruz.
Adım 2: Kalan 2’nin yanına bir 0 ekleyerek onu 20 yapıyoruz. 20’nin içinde 3, 6 kere var. (6 x 3 = 18). 20’den 18 çıkınca kalan yine 2 olur.
Adım 3: Kalan 2’nin yanına bir 0 daha ekleyince yine 20 oldu. 20’yi 3’e bölünce yine 6 buluruz ve kalan yine 2 olur. Gördünüz mü? Bu da bir döngüye girdi!
Sonuç: 1,666… veya kısaca 1,6̅
Bu bir sürekli tekrar eden (devirli) sayıdır.
2) Sizce neden bazı kesirlerin sonlu, bazı kesirlerin ise sürekli tekrar eden ondalık gösterimleri vardır? Fikirlerinizi arkadaşlarınızla tartışarak yazınız.
Sevgili çocuklar, bu çok güzel bir soru! İşin sırrı kesrin paydasında gizli. Eğer bir kesri en sade haline getirdikten sonra paydasına bakarsak, bu sırrı çözebiliriz.
- Eğer paydanın içinde çarpan olarak sadece 2 ve/veya 5 sayıları varsa, o kesrin ondalık gösterimi her zaman sonlu olur. Mesela 1/2 (payda 2), 9/5 (payda 5), 11/4 (payda 4, yani 2×2) örneklerinde olduğu gibi.
- Ama eğer paydanın içinde 2 ve 5’ten başka asal çarpanlar (mesela 3, 7, 11 gibi) varsa, o zaman bölme işlemi bir türlü bitmez ve bir döngüye girer. Bu yüzden ondalık gösterim sürekli tekrar eden (devirli) olur. 4/3 (payda 3), 2/9 (payda 9, yani 3×3) ve 10/6 (sadeleşince 5/3, payda 3) örneklerinde bunu gördük.
3) Kesir kısmı sürekli tekrar eden ondalık gösterimlerin payları paydalarına kalansız olarak bölünebildi mi? Bu kesirlerin paydaları hakkında neler söyleyebilirsiniz? Açıklayınız.
Hayır, sürekli tekrar eden ondalık gösterimlerde pay, paydaya kalansız olarak bölünemedi. Zaten bölünebilseydi, sonuç bir tam sayı olurdu ve ondalık kısımla hiç uğraşmazdık. Bölme işleminin ondalık kısımda sonsuza dek devam etmesinin sebebi, kalanın hiçbir zaman 0 olmamasıdır.
Bu kesirlerin paydaları hakkında ise şunu söyleyebiliriz: Bu kesirleri en sade hale getirdiğimizde, paydalarında 2 ve 5 asal sayılarından başka asal çarpanlar bulunur. Genellikle bu çarpan 3, 7, 9 (3×3), 11 gibi sayılar olur ve bu sayılar bölme işleminin bir döngüye girmesine, yani sürekli tekrar etmesine neden olur.
4) Ondalık gösterimlerin tekrar eden kısmında oluşan örüntüleri belirleyerek arkadaşlarınızla paylaşınız.
Tabii ki, bulduğumuz örüntüler şunlardı:
- 4/3 kesrinin ondalık gösterimi 1,333… idi. Burada tekrar eden örüntü tek bir rakamdır: 3
- 2/9 kesrinin ondalık gösterimi 0,222… idi. Burada tekrar eden örüntü de tek bir rakamdır: 2
- 10/6 kesrinin ondalık gösterimi 1,666… idi. Buradaki örüntü de tek bir rakamdır: 6
Bazen örüntüler tek bir rakamdan oluşmayabilir. Mesela 1/7 kesrini hesap makinesi ile bölerseniz 0,142857142857… gibi bir sonuç bulursunuz. Burada tekrar eden örüntü “142857” sayı dizisidir. Matematikteki bu tür örüntüleri keşfetmek çok eğlencelidir!
Umarım bu açıklamalar konuyu daha iyi anlamanıza yardımcı olmuştur. Aklınıza takılan bir şey olursa çekinmeden sorun. Harikasınız çocuklar, çalışmaya devam
Henüz onaylanmış öğrenci çözümü yok.
İlk çözümü sen paylaşabilirsin. Aşağıdaki formdan fotoğrafını yükle.
1 takipçi