Harika bir soru, sevgili öğrencilerim! Gelin bu “Gerçek Yaşam Problemleri” sayfasını birlikte, adım adım inceleyelim ve çözelim. Bu tür modelleme soruları, matematiğin aslında ne kadar görsel ve eğlenceli olabileceğini bize gösterir.
Ayça ile Mert arasındaki diyaloğu inceleyerek aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Önce Ayça ve Mert’in ne yaptığına bir bakalım. Gördüğümüz gibi 100’lük karelerden oluşan tablolar var.
- Birinci modelde 10 sütundan 3’ü taranmış. Bu, 10’da 3’ü yani 0,3‘ü ifade eder.
- İkinci modelde ise 10 satırdan 4’ü taranmış. Bu da 10’da 4’ü, yani 0,4‘ü gösterir.
- Son modelde ise bu iki tarama üst üste getirilmiş. İki rengin de karıştığı, daha koyu olan bölge, bu iki ondalık sayının çarpımını gösteriyor. Bu bölgede 3 sütun ve 4 satırın kesişimiyle oluşan 12 küçük kare var. Toplam 100 kareden 12’si boyandığı için sonuç 0,12‘dir.
Yani model bize 0,3 x 0,4 = 0,12 işlemini anlatıyor.
a) Mert’in yaptığı modellemeden yola çıkarak bir doğal sayı ile 1’den küçük bir ondalık gösterim çarpıldığında bulunan çarpım ile bu doğal sayıyı karşılaştırınız. Fikirlerinizi yazıp, arkadaşlarınızla paylaşarak tartışınız.
Bu soruda bizden bir kuralı keşfetmemiz isteniyor. Haydi basit bir örnekle düşünelim.
Unutmayın, bir sayıyı 1’den küçük bir sayıyla çarpmak, o sayının bir parçasını almak demektir. Mesela bir sayıyı 0,5 ile çarpmak, o sayının yarısını bulmakla aynı şeydir.
Adım 1: Bir doğal sayı seçelim. Örneğin sayımız 8 olsun.
Adım 2: Bu sayıyı 1’den küçük bir ondalık gösterimle çarpalım. Örneğin 0,5 ile çarpalım.
Adım 3: İşlemi yapalım: 8 x 0,5 = 4
Adım 4: Sonucu (4) ile ilk baştaki doğal sayımızı (8) karşılaştıralım. Gördüğümüz gibi 4 < 8‘dir. Yani sonuç, doğal sayının kendisinden daha küçük çıktı.
Sonuç: Bir doğal sayı, 1’den küçük bir ondalık gösterim ile çarpıldığında, sonuç (çarpım) her zaman o doğal sayıdan daha küçük olur. Zaten sayfanın altındaki “Bilgi Kutusu” da bu söylediğimizi doğruluyor, değil mi? Harikasınız!
b) Ayça ve Mert’in yaptığı modellemeleri inceleyerek aşağıda verilen işlemlerin sonucunu önce tahmin ediniz. Daha sonra modelleme yaparak, gerçek sonucu bulup tahmininizle karşılaştırınız.
1) 5 x 1,2 = ?
Tahmin: 1,2 sayısı 1’den biraz büyük bir sayı. Eğer 5’i 1 ile çarpsaydık sonuç 5 olurdu. 1’den biraz büyük bir sayıyla çarptığımıza göre sonucun 5’ten biraz büyük olması gerekir. Tahminim 6 civarı.
Çözüm:
Adım 1: Virgül yokmuş gibi çarpma işlemi yapalım. 5 x 12 = 60.
Adım 2: Çarptığımız sayılarda virgülden sonra toplam kaç basamak olduğuna bakalım. 1,2 sayısında virgülden sonra bir basamak var. O zaman sonucumuzda da virgülden sonra bir basamak olmalı.
Adım 3: 60 sayısının sonundan bir basamak virgülle ayıralım: 6,0. Bu da 6’ya eşittir.
Sonuç: 6
Karşılaştırma: Tahminim 6’ydı ve gerçek sonuç da 6 çıktı! Tahminim doğruymuş.
2) 10 x 0,8 = ?
Tahmin: 0,8 sayısı 1’e çok yakın ama 1’den küçük bir sayı. Eğer 10’u 1 ile çarpsaydık sonuç 10 olurdu. 1’den küçük bir sayıyla çarptığımız için sonucun 10’dan biraz küçük olması gerekir. Tahminim 8 civarı.
Çözüm:
Adım 1: Bir ondalık gösterimi 10 ile çarpmak, virgülü bir basamak sağa kaydırmak demektir.
Adım 2: 0,8 sayısındaki virgülü bir basamak sağa kaydırdığımızda sayı 8,0 yani 8 olur.
Sonuç: 8
Karşılaştırma: Tahminim 8’di ve gerçek sonuç da 8 çıktı. Yine harika bir tahmin!
3) 0,5 x 0,7 = ?
Tahmin: 0,5 “yarım” demektir. Yani işlem aslında 0,7’nin yarısını bulmak gibi. 0,70 gibi düşünürsek yarısı 0,35 olur. Tahminim 0,35.
Çözüm (Modelleme ile):
Adım 1: Boş bir 100’lük kareli tablo düşünelim.
Adım 2: Bu tablonun 10 sütunundan 5’ini bir renge boyayalım. Bu 0,5‘i temsil eder.
Adım 3: Aynı tablonun 10 satırından 7’sini başka bir renge boyayalım. Bu da 0,7‘yi temsil eder.
Adım 4: İki rengin de üst üste geldiği, kesiştiği kareleri sayalım. 5 sütun ve 7 satırın kesiştiği yerde 5 x 7 = 35 tane kare olur.
Adım 5: Toplam 100 kareden 35’i boyalı olduğuna göre, bu modelin gösterdiği ondalık sayı 35/100 yani 0,35‘tir.
Sonuç: 0,35
Karşılaştırma: Tahminim 0,35’ti ve modelleme ile bulduğumuz sonuç da 0,35. Mükemmel!
Gördüğünüz gibi, ondalık sayılarla çarpma işlemi hem mantık yürüterek hem de modelleyerek çok daha anlaşılır hale geliyor. Hepinize iyi çalışmalar dilerim!