Merhaba sevgili öğrencim! Ben 6. Sınıf Matematik Öğretmenin. Gönderdiğin görseldeki “Ortak Kat” konusuyla ilgili soruları şimdi senin için adım adım, tane tane çözeceğim. Takıldığın bir yer olursa hiç çekinme, tekrar üzerinden geçeriz. Hadi başlayalım!
Örnek 1: 10 ile 14 sayılarının ortak katlarından kaç tanesinin 100 ile 600 arasında olduğunu hesap makinesinden yararlanarak bulunuz.
Bu soruyu çözmek için önce 10 ve 14 sayılarının en küçük ortak katını, yani EKOK‘unu bulmamız gerekiyor. Çünkü diğer bütün ortak katlar, bu en küçük ortak katın katları olacaktır.
Adım 1: 10 ve 14’ün katlarını yazarak EKOK’u bulalım.
- 10’un katları: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80…
- 14’ün katları: 14, 28, 42, 56, 70, 84…
Gördüğün gibi, iki sayının da ilk ortak katı 70‘tir. Yani EKOK(10, 14) = 70.
Adım 2: Şimdi 70’in katlarını bularak 100 ile 600 arasına düşenleri seçelim.
- 70 x 1 = 70 (Bu sayı 100’den küçük, o yüzden saymıyoruz.)
- 70 x 2 = 140
- 70 x 3 = 210
- 70 x 4 = 280
- 70 x 5 = 350
- 70 x 6 = 420
- 70 x 7 = 490
- 70 x 8 = 560
- 70 x 9 = 630 (Bu sayı 600’den büyük, burada duruyoruz.)
Adım 3: 100 ile 600 arasında olan ortak katları sayalım.
140, 210, 280, 350, 420, 490 ve 560.
Toplamda 7 tane ortak kat vardır.
Sonuç: 10 ile 14 sayılarının 100 ile 600 arasında 7 tane ortak katı vardır.
Problem 1: Bir markette çikolatanın adet fiyatı 12 TL, bisküvinin adet fiyatı 18 TL’dir. Selma’nın aldığı çikolatalara ödediği para miktarı 70 ile 80 TL arasındadır. Çikolata ve bisküvilere ödenen miktar eşit olduğuna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Bu soruda anahtar kelimemiz “ödenen miktar eşit“. Bu ifade bize, ödenen paranın hem 12’nin hem de 18’in bir katı olması gerektiğini söylüyor. Yani yine bir EKOK problemi ile karşı karşıyayız!
a) Selma’nın çikolatalara ödediği para miktarını bulunuz.
Adım 1: Önce çikolata ve bisküvi fiyatlarının, yani 12 ve 18’in en küçük ortak katını (EKOK) bulalım.
- 12’nin katları: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84…
- 18’in katları: 18, 36, 54, 72, 90…
EKOK(12, 18) = 36‘dır. Bu demek oluyor ki, Selma’nın her bir ürün için ödediği para 36’nın katı olmalı.
Adım 2: Soruda bize bir ipucu verilmiş: “çikolatalara ödediği para miktarı 70 ile 80 TL arasındadır”. EKOK’umuz 36 olduğuna göre, 36’nın katlarına bakalım ve bu aralığa hangisinin uyduğunu bulalım.
- 36 x 1 = 36 (70-80 TL arasında değil)
- 36 x 2 = 72(Evet! Bu sayı 70 ile 80 arasındadır.)
- 36 x 3 = 108 (70-80 TL arasında değil)
Sonuç: Selma’nın çikolatalara ödediği para miktarı 72 TL‘dir.
b) Selma’nın kaç adet bisküvi aldığını bulunuz.
Adım 1: Bir önceki adımda, Selma’nın hem çikolatalara hem de bisküvilere eşit miktarda para ödediğini ve bu miktarın 72 TL olduğunu bulmuştuk.
Adım 2: Bir bisküvinin fiyatı 18 TL idi. Toplamda bisküvilere 72 TL ödendiğine göre, kaç adet bisküvi alındığını bulmak için toplam parayı bir bisküvinin fiyatına bölmemiz yeterli.
72 ÷ 18 = 4
Sonuç: Selma 4 adet bisküvi almıştır.
Problem 2: Isparta Şehir Hastanesinde çalışan Doktor Hasan 7 günde bir, Doktor Nihan 9 günde bir nöbet tutmaktadır. Birlikte ilk nöbetlerini 1 Temmuz 2025’te tuttuklarına göre birlikte ikinci nöbetlerini hangi gün tutarlar?
Bu soru da aslında gizli bir EKOK sorusu. İki kişinin farklı zamanlarda yaptıkları bir işi tekrar “birlikte” ne zaman yapacaklarını bulmak için periyotlarının, yani nöbet tuttukları gün sayılarının EKOK’unu bulmalıyız.
Adım 1: Doktor Hasan 7 günde bir, Doktor Nihan ise 9 günde bir nöbet tutuyor. İkisinin tekrar aynı gün nöbet tutması için geçmesi gereken gün sayısı, 7 ve 9’un en küçük ortak katı olmalıdır.
EKOK(7, 9) = ?
7 ve 9 aralarında asal sayılar olduğu için (1’den başka ortak bölenleri yoktur), EKOK’ları bu iki sayının çarpımına eşittir.
7 x 9 = 63
Bu demek oluyor ki, iki doktor 63 gün sonra tekrar birlikte nöbet tutacaklar.
Adım 2: İlk nöbetlerini 1 Temmuz‘da tuttular. Şimdi bu tarihin üzerine 63 gün sayacağız.
- Temmuz ayı 31 gün sürer. 1 Temmuz’dan sonra ayın bitmesine 31 – 1 = 30 gün kalır.
- 63 günden 30 günü Temmuz ayı için kullandık. Geriye 63 – 30 = 33 günümüz kaldı.
- Temmuz’dan sonra Ağustos ayı gelir ve Ağustos 31 gün sürer.
- Kalan 33 günün 31 gününü de Ağustos ayı için kullanırız. Geriye 33 – 31 = 2 günümüz kalır.
- Ağustos’tan sonra Eylül ayı başlar. Kalan 2 günü de Eylül ayından sayarız. Bu da bizi 2 Eylül tarihine götürür.
Sonuç: Doktor Hasan ve Doktor Nihan, ikinci nöbetlerini birlikte 2 Eylül 2025 tarihinde tutarlar.