Merhaba sevgili öğrencilerim,
Bugün sizlerle birlikte kitabımızdaki “Çarpanlar” konusunu daha iyi anlamak için güzel bir etkinlik yapacağız. Görseldeki soruları adım adım, hep birlikte çözeceğiz. Unutmayın, matematikte her sorunun bir mantığı vardır ve bunu anladığımızda her şey çok daha kolaylaşır. Haydi başlayalım!
Etkinlik 2: Doğal Sayıların Çarpanları
Bu etkinlikte bizden 27, 46 ve 80 sayılarının çarpanlarını incelememiz ve bazı sonuçlara varmamız isteniyor. Önce bu sayıların çarpanlarını bir bulalım, sonra soruları cevaplamak çocuk oyuncağı olacak!
Bir sayının çarpanı ne demekti bir hatırlayalım: Bir doğal sayıyı kalansız olarak bölebilen sayılara o sayının çarpanları (ya da bölenleri) denir. Çarpımları o sayıyı veren sayı çiftlerini bularak kolayca çarpanları listeleyebiliriz.
Adım 1: Sayıların Çarpanlarını Bulalım
- 27’nin Çarpanları:
1 x 27 = 27
3 x 9 = 27
O zaman 27’nin çarpanları: 1, 3, 9, 27‘dir. - 46’nın Çarpanları:
1 x 46 = 46
2 x 23 = 46
O zaman 46’nın çarpanları: 1, 2, 23, 46‘dır. - 80’in Çarpanları:
1 x 80 = 80
2 x 40 = 80
4 x 20 = 80
5 x 16 = 80
8 x 10 = 80
O zaman 80’in çarpanları: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80‘dir.
Harika! Artık bütün çarpanlar elimizde olduğuna göre soruları cevaplamaya geçebiliriz.
1) ‘Verilen doğal sayıların her birinin en küçük ve en büyük çarpanlarının kaç olması gerektiği ile ilgili fikirlerinizi yazınız.’
Çözüm:
Yukarıda bulduğumuz çarpan listelerine dikkatlice bakalım.
Adım 1: 27’nin çarpanları 1, 3, 9, 27. En küçüğü 1, en büyüğü 27.
Adım 2: 46’nın çarpanları 1, 2, 23, 46. En küçüğü 1, en büyüğü 46.
Adım 3: 80’in çarpanları 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80. En küçüğü 1, en büyüğü 80.
Gördünüz mü? Her üç sayıda da en küçük çarpan 1 çıktı. En büyük çarpan ise her zaman sayının kendisidir.
Sonuç:
Herhangi bir doğal sayının en küçük çarpanı her zaman 1’dir.
Herhangi bir doğal sayının en büyük çarpanı ise her zaman sayının kendisidir.
2) Bu üç doğal sayının çarpanlarını belirleyerek ayrı ayrı en küçük çarpanını belirleyiniz. Bir doğal sayının en küçük çarpanı ile ilgili bir genelleme yapınız.
Çözüm:
Bu soruyu aslında yukarıda cevapladık, haydi tekrar edelim ve pekiştirelim!
Adım 1: Çarpan listelerimize tekrar bakıyoruz.
- 27’nin çarpanları: 1, 3, 9, 27 → En küçük çarpan: 1
- 46’nın çarpanları: 1, 2, 23, 46 → En küçük çarpan: 1
- 80’in çarpanları: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80 → En küçük çarpan: 1
Sonuç:
Yaptığımız incelemeler sonucunda şu genellemeyi yapabiliriz: Bütün doğal sayıların en küçük çarpanı 1’dir. Çünkü her sayı 1’e kalansız olarak bölünebilir.
3) Bu üç doğal sayının çarpanlarını inceleyerek ayrı ayrı en büyük çarpanını belirleyiniz. Bir doğal sayının en büyük çarpanı ile ilgili bir genelleme yapınız.
Çözüm:
Şimdi de en büyük çarpanlara odaklanalım.
Adım 1: Çarpan listelerimize son bir kez daha göz atalım.
- 27’nin çarpanları: 1, 3, 9, 27 → En büyük çarpan: 27
- 46’nın çarpanları: 1, 2, 23, 46 → En büyük çarpan: 46
- 80’in çarpanları: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80 → En büyük çarpan: 80
Sonuç:
Buradan da şu genellemeyi rahatlıkla yapabiliriz: Bütün doğal sayıların en büyük çarpanı sayının kendisidir. Çünkü her sayı kendisine kalansız olarak bölünebilir ve kendisinden daha büyük bir sayıya kalansız bölünemez.
4) Alanı 27 m², 46 m² veya 80 m² olacak şekilde çizilebilecek farklı kenar uzunluklarına sahip tüm dikdörtgenleri ayrı ayrı modelleyerek aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Sevgili çocuklar, bir dikdörtgenin alanı, kısa kenarı ile uzun kenarının çarpımına eşittir. Yani aslında bu soru bize “Hangi iki doğal sayının çarpımı 27, 46 veya 80 eder?” diye soruyor. Bu da bizi yine nereye götürüyor? Tabii ki çarpanlara!
Çözüm:
Kenar uzunlukları doğal sayı olan dikdörtgenleri düşünelim.
- Alanı 27 m² olan dikdörtgenler:
Kenarları 1 m ve 27 m olabilir.
Kenarları 3 m ve 9 m olabilir. - Alanı 46 m² olan dikdörtgenler:
Kenarları 1 m ve 46 m olabilir.
Kenarları 2 m ve 23 m olabilir. - Alanı 80 m² olan dikdörtgenler:
Kenarları 1 m ve 80 m olabilir.
Kenarları 2 m ve 40 m olabilir.
Kenarları 4 m ve 20 m olabilir.
Kenarları 5 m ve 16 m olabilir.
Kenarları 8 m ve 10 m olabilir.
a) Bir doğal sayının en küçük ve en büyük çarpanları ile ilgili yaptığınız genellemelerin doğruluğunu çizdiğiniz dikdörtgenlerden yararlanarak kontrol ediniz.
Adım 1: Yukarıda çizdiğimiz tüm dikdörtgenlere bakalım. Her bir alan için mutlaka bir kenarı 1 m olan bir dikdörtgen çizebildik (1×27, 1×46, 1×80). İşte bu, 1’in her sayının çarpanı olduğunu ve en küçük çarpan olduğunu bize somut olarak gösterir.
Adım 2: Yine bu dikdörtgenlere baktığımızda (1×27, 1×46, 1×80), diğer kenar uzunluğunun alanın, yani sayının kendisi olduğunu görüyoruz. Bu da bize her sayının en büyük çarpanının kendisi olduğu genellememizi kanıtlıyor.
Sonuç: Çizdiğimiz dikdörtgen modelleri, yaptığımız genellemelerin doğruluğunu desteklemektedir.
b) Oluşturulabilecek dikdörtgenlerin sayısını kullanarak herhangi bir doğal sayının çarpan sayısının sınırlı sayıda olup olmadığı ile ilgili fikirlerinizi yazınız.
Adım 1: Her bir alan için kaç farklı dikdörtgen çizebildiğimizi sayalım.
- Alanı 27 m² olan 2 farklı dikdörtgen çizebildik.
- Alanı 46 m² olan 2 farklı dikdörtgen çizebildik.
- Alanı 80 m² olan 5 farklı dikdörtgen çizebildik.
Adım 2: Gördüğünüz gibi, her sayı için çizebileceğimiz dikdörtgen sayısı sonsuz değil, belirli bir sayıda. Örneğin alanı 27 m² olan 3. bir dikdörtgen (kenarları doğal sayı olan) çizemeyiz.
Sonuç:
Bir sayının çarpanları, o sayının alanına sahip dikdörtgenlerin kenar uzunluklarıdır. Her sayı için çizebileceğimiz farklı dikdörtgenlerin sayısı sınırlı olduğu için, bir doğal sayının çarpanlarının sayısı da sınırlıdır. Yani sonsuz tane çarpanı olan bir doğal sayı yoktur.
Umarım bu etkinlik konuyu daha iyi anlamanıza yardımcı olmuştur. Aklınıza takılan bir şey olursa sormaktan çekinmeyin