Merhaba sevgili öğrencilerim!
Bugün sizlerle birlikte “Ortak Bölen” konusunu daha iyi anlamamızı sağlayacak çok güzel sorular çözeceğiz. Bu sorular, günlük hayatta matematiği nasıl kullandığımızı gösteren harika örnekler. Hazırsanız, kağıtlarınızı ve kalemlerinizi hazırlayın, başlayalım!
Problem 1
28 litre zeytinyağı ve 42 litre ayçiçeği yağı eşit hacimdeki şişelere doldurularak satılacaktır. Yağlar, birbirine karıştırılmadan ve artmayacak şekilde şişelere doldurulacağına göre şişelerin hacminin litre cinsinden alabileceği doğal sayı değerlerini bulunuz.
Çocuklar, bu soruda dikkat etmemiz gereken iki önemli ipucu var: “eşit hacimdeki şişeler” ve “hiç artmayacak şekilde”. Bu ifadeler bize, kullanacağımız şişelerin hacminin hem 28 litreyi hem de 42 litreyi tam olarak, yani kalansız bir şekilde bölebilmesi gerektiğini söylüyor. Kısacası, bizden 28 ve 42 sayılarının ortak bölenlerini bulmamız isteniyor.
Haydi adım adım bulalım!
Adım 1: Önce 28 litrelik zeytinyağını tam olarak bölebilecek sayıları, yani 28’in bölenlerini (çarpanlarını) bulalım.
- 1 x 28 = 28
- 2 x 14 = 28
- 4 x 7 = 28
28’in bölenleri: 1, 2, 4, 7, 14, 28
Adım 2: Şimdi de 42 litrelik ayçiçeği yağını tam olarak bölebilecek sayıları, yani 42’nin bölenlerini bulalım.
- 1 x 42 = 42
- 2 x 21 = 42
- 3 x 14 = 42
- 6 x 7 = 42
42’nin bölenleri: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
Adım 3: Son olarak, bu iki listede de ortak olan sayıları bulalım. İşte bu sayılar, şişelerimizin alabileceği hacimlerdir.
Ortak Bölenler: 1, 2, 7, 14
Sonuç:
Şişelerin hacmi 1 litre, 2 litre, 7 litre veya 14 litre olabilir.
Problem 2
20 cm ve 30 cm uzunluğundaki iki boru, her biri eşit uzunlukta parçalara ayrılacaktır. Parçalardan birinin uzunluğunun santimetre cinsinden alabileceği doğal sayı değerlerini bulunuz.
Bu soru da aslında ilk soruyla aynı mantıkta. “Eşit uzunlukta parçalara” ayırmak demek, parçaların uzunluğunun hem 20 cm’yi hem de 30 cm’yi kalansız bölmesi demektir. Yani yine 20 ve 30’un ortak bölenlerini arıyoruz!
Adım 1: 20’nin bölenlerini bulalım.
- 1 x 20 = 20
- 2 x 10 = 20
- 4 x 5 = 20
20’nin bölenleri: 1, 2, 4, 5, 10, 20
Adım 2: 30’un bölenlerini bulalım.
- 1 x 30 = 30
- 2 x 15 = 30
- 3 x 10 = 30
- 5 x 6 = 30
30’un bölenleri: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Adım 3: İki listedeki ortak sayıları işaretleyelim.
Ortak Bölenler: 1, 2, 5, 10
Sonuç:
Borulardan kesilecek her bir parçanın uzunluğu 1 cm, 2 cm, 5 cm veya 10 cm olabilir.
Etkinlik 2 – Aralarında Asal Sayılar
Ali, bahçesinden topladığı 15 kg elmayı ve 16 kg armudu birbirine karıştırmadan kutulara yerleştirecektir. Her kutuda eşit miktarda meyve olacağına göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
1) 15 kg elma, doğal sayı cinsinden kaçar kilogramlık kutulara yerleştirilebilir?
Burada sadece elmaları düşünüyoruz. 15 kg elmayı hiç artmayacak şekilde eşit miktarda paylaştırmak için kutuların alacağı ağırlık 15’i tam bölmelidir. Yani 15’in bölenlerini bulmalıyız.
15’in bölenleri: 1, 3, 5, 15
Sonuç: Elmalar 1 kg, 3 kg, 5 kg veya 15 kg‘lık kutulara yerleştirilebilir.
2) 16 kg armut, doğal sayı cinsinden kaçar kilogramlık kutulara yerleştirilebilir?
Aynı şekilde, 16 kg armudu hiç artmayacak şekilde eşit miktarda paylaştırmak için kutuların alacağı ağırlık 16’yı tam bölmelidir. 16’nın bölenlerini bulalım.
16’nın bölenleri: 1, 2, 4, 8, 16
Sonuç: Armutlar 1 kg, 2 kg, 4 kg, 8 kg veya 16 kg‘lık kutulara yerleştirilebilir.
3) Elma ve armutlar, birbirine karıştırılmadan ve hiç artmayacak şekilde her bir kutuya eşit miktarda yerleştirilecektir. Bu durumda her bir kutuya doğal sayı cinsinden kaçar kilogram elma veya armut yerleştirilebileceğini bulunuz.
İşte şimdi en önemli kısma geldik! Bu soruda hem elma kutuları hem de armut kutuları eşit ağırlıkta olmalı. Bu da demek oluyor ki, aradığımız kutu ağırlığı hem 15’in hem de 16’nın ortak böleni olmalı.
Adım 1: 15’in bölenlerini tekrar yazalım: 1, 3, 5, 15
Adım 2: 16’nın bölenlerini tekrar yazalım: 1, 2, 4, 8, 16
Adım 3: Bu iki sayının ortak böleni var mı diye bakalım. Gördüğümüz gibi, iki listede de ortak olan tek bir sayı var: 1.
Sonuç:
Her bir kutuya sadece 1 kg elma veya armut yerleştirilebilir.
Peki neden böyle oldu? Çünkü 15 ve 16’nın 1’den başka ortak böleni yoktur. Matematikte, 1’den başka ortak böleni olmayan sayılara “aralarında asal sayılar” deriz. Bu etkinlik bize aralarında asal sayıların ne demek olduğunu çok güzel bir örnekle göstermiş oldu. Unutmayın, sayıların kendilerinin asal olmasına gerek yok, önemli olan ortak bölenlerinin sadece 1 olmasıdır.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Anlamadığınız bir yer olursa çekinmeden sorun. Harikaydınız çocuklar, bir sonraki dersimizde görüşmek üzere!