Harika bir konu! Ortak bölenler, matematiğin en temel ve eğlenceli konularından biridir. Hadi gelin, bu soruları birlikte, adım adım çözelim ve konuyu iyice pekiştirelim.
Örnek 1
Aşağıdaki tablolarda sayı çiftlerinden birinin bölenlerini kırmızı, diğerinin bölenlerini maviye boyayınız. İki renge de boyadığınız sayıları ise tabloların altındaki noktalı yere yazınız.
a) 16 ve 20
Sevgili öğrenciler, bu soruda bizden 16 ve 20 sayılarının ortak bölenlerini bulmamız isteniyor. Bir sayının böleni, o sayıyı kalansız olarak bölebilen sayıdır. Haydi başlayalım!
Adım 1: Önce 16’nın bölenlerini (çarpanlarını) bulalım. Yani, “Hangi sayıları çarparsak 16 eder?” diye düşüneceğiz.
- 1 x 16 = 16
- 2 x 8 = 16
- 4 x 4 = 16
Demek ki 16’nın bölenleri: 1, 2, 4, 8, 16‘dır. Bu sayıları kırmızıya boyadığımızı hayal edelim.
Adım 2: Şimdi de 20’nin bölenlerini bulalım. “Hangi sayıları çarparsak 20 eder?” diye soralım kendimize.
- 1 x 20 = 20
- 2 x 10 = 20
- 4 x 5 = 20
20’nin bölenleri de şunlardır: 1, 2, 4, 5, 10, 20. Bu sayıları da maviye boyadığımızı düşünelim.
Adım 3: Şimdi hem kırmızıya hem de maviye boyadığımız, yani her iki listede de bulunan sayıları bulalım. Bunlar bizim ortak bölenlerimiz olacak.
16’nın bölenleri: 1, 2, 4, 8, 16
20’nin bölenleri: 1, 2, 4, 5, 10, 20
Gördüğünüz gibi iki listede de ortak olan sayılar 1, 2 ve 4’tür.
Sonuç:
16 ve 20’nin ortak bölenleri: 1, 2, 4
b) 18 ve 30
Şimdi de aynı yöntemi 18 ve 30 sayıları için uygulayalım. Bu alıştırma konuyu daha iyi anlamamıza yardımcı olacak.
Adım 1: 18’in bölenlerini bulalım.
- 1 x 18 = 18
- 2 x 9 = 18
- 3 x 6 = 18
18’in bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18‘dir.
Adım 2: Şimdi de 30’un bölenlerini bulalım.
- 1 x 30 = 30
- 2 x 15 = 30
- 3 x 10 = 30
- 5 x 6 = 30
30’un bölenleri: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30‘dur.
Adım 3: Her iki sayının bölenleri listesine bakıp ortak olanları işaretleyelim.
18’in bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18
30’un bölenleri: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Ortak olan sayılarımız 1, 2, 3 ve 6’dır.
Sonuç:
18 ve 30’un ortak bölenleri: 1, 2, 3, 6
Örnek 2
45 ile 90 doğal sayılarının kaç tane ortak böleni vardır?
Bu soruda dikkat etmemiz gereken şey, bizden ortak bölenlerin kendilerini değil, kaç tane olduklarını bulmamızı istemesi. Yine aynı adımları izleyeceğiz.
Adım 1: 45 sayısının bölenlerini listeleyelim.
- 1 x 45 = 45
- 3 x 15 = 45
- 5 x 9 = 45
45’in bölenleri: 1, 3, 5, 9, 15, 45.
Adım 2: 90 sayısının bölenlerini listeleyelim. Bu biraz daha uzun olabilir, dikkatli olalım.
- 1 x 90 = 90
- 2 x 45 = 90
- 3 x 30 = 90
- 5 x 18 = 90
- 6 x 15 = 90
- 9 x 10 = 90
90’ın bölenleri: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.
Adım 3: Şimdi ortak bölenleri bulalım.
45’in bölenleri: 1, 3, 5, 9, 15, 45
90’ın bölenleri: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90
Ortak bölenlerimiz: 1, 3, 5, 9, 15, 45.
Adım 4: Son olarak, bulduğumuz bu ortak bölenleri sayalım.
1, 3, 5, 9, 15, 45 olmak üzere toplam 6 tane ortak bölen vardır.
Öğretmeninizden bir ipucu: Fark ettiniz mi? 90 sayısı, 45’in tam 2 katıdır. Yani 90, 45’e tam bölünür. Eğer sayılardan biri diğerinin katı ise, küçük olan sayının tüm bölenleri, aynı zamanda büyük sayının da bölenidir. Bu yüzden 45’in bütün bölenleri, 90’ı da böler. Bu pratik bilgi, size sınavlarda zaman kazandırabilir!
Sonuç:
45 ile 90 sayılarının 6 tane ortak böleni vardır.