Harika bir çalışma! Merhaba sevgili öğrencilerim, ben sizin 6. Sınıf Matematik öğretmeniniz. Şimdi bu kağıttaki soruları birlikte, adım adım ve anlayarak çözeceğiz. Hazırsanız başlayalım!
Soru 2:Aşağıdaki asal çarpan algoritması yöntemi ile ilgili örneği inceleyiniz. Verilen doğal sayıların asal çarpanlarını belirleyiniz ve altlarındaki boşluklara yazınız.
Çocuklar, bu yöntemde bir sayıyı yanına bir çizgi çekerek en küçük asal sayıdan başlayarak bölmeye çalışıyoruz. Bölünen sayıları çizginin sağına yazıyoruz. En sonda 1’e ulaşana kadar devam ediyoruz. Çizginin sağında kalan sayılar, o sayının asal çarpanları oluyor. Haydi başlayalım!
- 48’in asal çarpanları:
Adım 1: 48 çift bir sayı, o yüzden en küçük asal sayı olan 2’ye bölebiliriz. 48 / 2 = 24.
Adım 2: 24 de çift bir sayı, yine 2’ye bölelim. 24 / 2 = 12.
Adım 3: 12 de çift, devam edelim. 12 / 2 = 6.
Adım 4: 6 da çift, bir daha 2’ye bölelim. 6 / 2 = 3.
Adım 5: 3 artık 2’ye bölünmez. Sıradaki asal sayı 3’tür. 3’ü 3’e bölelim. 3 / 3 = 1.
1’e ulaştığımıza göre işlem bitti. Çizginin sağında hangi farklı sayıları kullandık? 2 ve 3.
48 | 2
24 | 2
12 | 2
6 | 2
3 | 3
1Sonuç: 48’in asal çarpanları: 2 ve 3
- 66’nın asal çarpanları:
Adım 1: 66 çift bir sayı olduğu için 2’ye bölelim. 66 / 2 = 33.
Adım 2: 33, 2’ye bölünmez. Sıradaki asal sayı olan 3’e bakalım. 33’ün rakamları toplamı 3+3=6 olduğu için 3’e bölünür. 33 / 3 = 11.
Adım 3: 11, 3’e ve 5’e bölünmez. 11 zaten kendisi bir asal sayıdır. O yüzden 11’e bölelim. 11 / 11 = 1.
Kullandığımız farklı asal sayılar: 2, 3 ve 11.
66 | 2
33 | 3
11 | 11
1Sonuç: 66’nın asal çarpanları: 2, 3 ve 11
- 84’ün asal çarpanları:
Adım 1: 84 çift, 2’ye bölelim. 84 / 2 = 42.
Adım 2: 42 de çift, yine 2’ye bölelim. 42 / 2 = 21.
Adım 3: 21, 2’ye bölünmez. 3’e deneyelim. 2+1=3 olduğu için 3’e bölünür. 21 / 3 = 7.
Adım 4: 7 bir asal sayıdır, sadece kendisine bölünür. 7 / 7 = 1.
Kullandığımız farklı asal sayılar: 2, 3 ve 7.
84 | 2
42 | 2
21 | 3
7 | 7
1Sonuç: 84’ün asal çarpanları: 2, 3 ve 7
Soru 3:Aşağıdaki çarpan ağacı yöntemi ile ilgili örneği inceleyiniz. Verilen doğal sayıları asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazınız.
Çarpan ağacı yöntemi çok eğlencelidir! Sayıyı bir ağacın gövdesi gibi düşünüp iki dala ayırıyoruz. Bu dallara sayının iki çarpanını yazıyoruz. Eğer daldaki sayı asal ise o dal orada bitiyor. Asal değilse o dalı da ayırmaya devam ediyoruz. En sonda sadece asal sayılardan oluşan “yapraklarımız” kalıyor.
- 36 = ………………..
Adım 1: 36’yı iki çarpana ayıralım. Mesela 2 x 18. (2 asaldır, bu dal bitti.)
Adım 2: 18 asal değil, onu da ayıralım: 2 x 9. (2 asaldır, bu dal da bitti.)
Adım 3: 9 asal değil, onu da ayıralım: 3 x 3. (İki tane 3 de asaldır, dallarımız bitti.)
Ağacın en ucundaki tüm asal sayıları (yaprakları) toplayalım: 2, 2, 3, 3.
Sonuç: 36 = 2 x 2 x 3 x 3
- 70 = ………………..
Adım 1: 70’i ayıralım. Sonu 0 olduğu için 10’a bölünür: 7 x 10. (7 asaldır, bu dal bitti.)
Adım 2: 10 asal değil, onu da ayıralım: 2 x 5. (Hem 2 hem de 5 asaldır, dallarımız bitti.)
Ağacın yaprakları: 7, 2, 5. Bunları küçükten büyüğe sıralayarak yazalım.
Sonuç: 70 = 2 x 5 x 7
- 90 = ………………..
Adım 1: 90’ı ayıralım: 9 x 10.
Adım 2: 9 asal değil, ayıralım: 3 x 3. (İkisi de asal.)
Adım 3: 10 da asal değil, onu da ayıralım: 2 x 5. (İkisi de asal.)
Tüm yaprakları toplayalım ve sıralayalım: 2, 3, 3, 5.
Sonuç: 90 = 2 x 3 x 3 x 5
Soru 4:Aşağıdaki asal çarpan algoritması yöntemi ile ilgili örneği inceleyip verilen doğal sayıları asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazınız.
Bu soruda da 2. sorudaki gibi asal çarpan algoritmasını kullanacağız. Tek farkı, bu sefer bulduğumuz tüm asal çarpanları çarparak yazmamız isteniyor.
- 56 = ………………..
56 | 2
28 | 2
14 | 2
7 | 7
1Çizginin sağındaki sayıları çarpım olarak yazıyoruz.
Sonuç: 56 = 2 x 2 x 2 x 7
- 98 = ………………..
98 | 2
49 | 7
7 | 7
1Çizginin sağındaki sayıları çarpım olarak yazıyoruz.
Sonuç: 98 = 2 x 7 x 7
- 150 = ………………..
150 | 2
75 | 3
25 | 5
5 | 5
1Çizginin sağındaki sayıları çarpım olarak yazıyoruz.
Sonuç: 150 = 2 x 3 x 5 x 5
Soru 5:1’den büyük doğal sayılardan hangileri asal sayıların çarpımı şeklinde yazılabilir? Düşüncelerinizi arkadaşlarınızla paylaşarak tartışınız.
Bu çok önemli ve güzel bir soru! Gelin birlikte düşünelim.
1’den büyük doğal sayılar ikiye ayrılır:
- Asal Sayılar: Sadece 1’e ve kendisine bölünebilen sayılar (2, 3, 5, 7, 11, …).
- Bileşik Sayılar: Asal olmayan sayılar (4, 6, 8, 9, 10, 12, …).
Şimdi sorumuza geri dönelim.
- Asal sayıları düşündüğümüzde, örneğin 5, kendisi zaten bir asal sayı olduğu için “5” şeklinde, yani tek bir asal sayının çarpımı (kendisi) olarak yazılabilir.
- Bileşik sayıları düşündüğümüzde ise, örneğin 6, asal olan 2 ve 3’ün çarpımıdır (2 x 3). Ya da 12, asal olan 2, 2 ve 3’ün çarpımıdır (2 x 2 x 3). Zaten bileşik sayıların tanımı, asal sayıların çarpımından oluşmalarıdır.
Bu durumda ne görüyoruz? Hem asal sayılar hem de bileşik sayılar, asal sayıların çarpımı olarak ifade edilebiliyor.
Sonuç: 1’den büyük bütün doğal sayılar, asal sayıların çarpımı şeklinde yazılabilir. Bu matematiğin çok temel ve önemli bir kuralıdır! Buna “Aritmetiğin Temel Teoremi” denir.