Harika bir problem! Hadi hep birlikte bu “Aklımdan Bir Sayı Tuttum” oyununu çözelim. Tıpkı sınıfta yaptığımız gibi, adım adım ilerleyerek her bir arkadaşımızın aklından tuttuğu sayıyı bulalım ve sonra da soruları cevaplayalım.
Öncelikle, arkadaşlarımızın verdiği ipuçlarını kullanarak tuttukları sayıları bulmamız gerekiyor. Bu bizim ilk ve en önemli adımımız!
Yusuf’un Sayısını Bulalım:
Yusuf’un ipuçları şunlar: “Benim aklımdaki sayı, üç basamaklı ve 9 ile tam bölünebiliyor. Yüzler basamağında 7, onlar basamağında ise 3 rakamı var.”
- Adım 1: Sayımız üç basamaklı ve 73_ şeklinde. Bilmediğimiz tek basamak birler basamağı.
- Adım 2: 9 ile kalansız bölünebilme kuralını hatırlayalım. Bir sayının rakamları toplamı 9 veya 9’un katı ise o sayı 9’a tam bölünür.
- Adım 3: Bildiğimiz rakamları toplayalım: 7 + 3 = 10.
- Adım 4: 10’a kaç eklersek 9’un bir katı olur? 9’un katları: 9, 18, 27… 10’dan büyük en yakın kat 18’dir. O zaman 10 + ? = 18 işleminde soru işareti yerine 8 gelmelidir.
Demek ki Yusuf’un tuttuğu sayı 738‘miş.
Ayşe’nin Sayısını Bulalım:
Ayşe’nin ipucu: “Benim aklımdaki sayı, 5 ile kalansız bölünebilen iki basamaklı en büyük sayıdır.”
- Adım 1: 5 ile kalansız bölünebilme kuralı neydi? Bir sayının birler basamağı 0 veya 5 olmalıydı.
- Adım 2: Bizden iki basamaklı en büyük sayıyı istiyor. İki basamaklı en büyük sayılar 99, 98, 97… diye geriye doğru gider.
- Adım 3: Bu sayılardan birler basamağı 0 veya 5 olan ilk hangisiyle karşılaşırız? Tabii ki 95!
Harika! Ayşe’nin tuttuğu sayı 95‘tir.
Ceren’in Sayısını Bulalım:
Ceren’in ipucu: “Aklımdaki sayı, iki basamaklı ve 2 ile kalansız bölünebilen en büyük sayıdır.”
- Adım 1: 2 ile kalansız bölünebilme kuralını hatırlayalım: Sayı çift olmalıdır. Yani birler basamağı 0, 2, 4, 6 veya 8 olmalıdır.
- Adım 2: Yine iki basamaklı en büyük sayıyı arıyoruz. 99’dan geriye doğru sayalım: 99 (tek), 98 (çift!).
- Adım 3: Aradığımız sayıyı hemen bulduk!
İşte bu kadar! Ceren’in tuttuğu sayı 98‘dir.
Ali’nin Sayısını Bulalım:
Ali’nin ipucu: “Ben hem 3’e hem de 4’e kalansız bölünebilen üç basamaklı en küçük sayıyı tuttum.”
- Adım 1: Bir sayı hem 3’e hem de 4’e kalansız bölünüyorsa, bu iki sayının en küçük ortak katı olan 12‘ye de tam bölünür. Yani bizden 12’nin katı olan en küçük üç basamaklı sayıyı bulmamız isteniyor.
- Adım 2: Üç basamaklı en küçük sayı 100’dür. 100’ü 12’ye bölelim, kalansız bölünüyor mu diye bakalım. 100 / 12 = 8, kalan 4. Demek ki 100 değil.
- Adım 3: 12’nin katlarını sayarak da bulabiliriz. Örneğin 12 x 8 = 96 (bu iki basamaklı). Bir sonraki katını bulmak için 12 ekleyelim: 96 + 12 = 108. İşte bulduk! 108, üç basamaklı en küçük sayıdır ve 12’ye tam bölünür.
- Adım 4 (Sağlama): 108 sayısı 3’e bölünür mü? Rakamları toplamı 1+0+8=9. Evet, 9 üçün katı olduğu için bölünür. Peki 4’e bölünür mü? Son iki basamağı 08, yani 8. Evet, 8 dördün katı olduğu için bölünür.
Süper! Ali’nin tuttuğu sayı 108‘dir.
Artık herkesin sayısını bildiğimize göre, soruları kolayca cevaplayabiliriz.
a) Yusuf ve Ali’nin akıllarından tuttukları sayıların farkının 9 ile kalansız bölünüp bölünemeyeceğini belirleyiniz.
Adım 1: Yusuf’un sayısı 738, Ali’nin sayısı 108. Bu iki sayının farkını bulalım.
738
- 108
-----
630
Adım 2: Şimdi 630 sayısının 9 ile kalansız bölünüp bölünmediğini kontrol edelim. Yine 9’a bölünebilme kuralını kullanacağız.
Adım 3: 630’un rakamlarını toplayalım: 6 + 3 + 0 = 9.
Adım 4: Çıkan sonuç 9 olduğu için ve 9, 9’un katı olduğu için 630 sayısı 9’a kalansız bölünür.
Sonuç: Evet, farkları olan 630 sayısı 9 ile kalansız bölünür.
b) Ceren ve Ayşe’nin akıllarından tuttukları sayıların toplamının 6 ile kalansız bölünüp bölünemeyeceğini belirleyiniz.
Adım 1: Ceren’in sayısı 98, Ayşe’nin sayısı 95. Bu iki sayıyı toplayalım.
98
+ 95
----
193
Adım 2: Şimdi de 193 sayısının 6 ile kalansız bölünüp bölünmediğini kontrol edeceğiz. 6 ile bölünebilme kuralını hatırlayalım: Bir sayının 6’ya tam bölünebilmesi için hem 2’ye hem de 3’e tam bölünmesi gerekir.
Adım 3: 193 sayısı 2’ye bölünür mü? Sayının son rakamı 3, yani tek sayı. O halde 2’ye bölünmez.
Adım 4: Sayı 2’ye bölünmediği için 3’e bölünüp bölünmediğini kontrol etmemize bile gerek yok. Kurallardan birini sağlamadığı için 6’ya da bölünemez.
Sonuç: Hayır, toplamları olan 193 sayısı 6 ile kalansız bölünemez.
c) Ceren, Ayşe ve Yusuf’un akıllarından tuttukları sayıların toplamının 10 ile bölümünden kalan sayıyı belirleyiniz.
Adım 1: Ceren (98), Ayşe (95) ve Yusuf’un (738) sayılarını toplayalım.
738
98
+ 95
----
931
Adım 2: 931 sayısının 10 ile bölümünden kalanı bulalım. 10 ile bölünebilme kuralı çok basitti, değil mi? Bir sayının 10 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamdır.
Adım 3: 931 sayısının birler basamağında hangi rakam var? 1 var.
Sonuç: Bu sayıların toplamının 10 ile bölümünden kalan 1’dir.
ç) Bölme işlemi yapmadan kalansız bölünebilme kriterlerinin problemin çözümünde sağladığı kullanışlılığını değerlendiriniz.
Bu soruda aslında bize şunu soruyor: “Bölünebilme kurallarını bilmek işinize yaradı mı?” Cevabımız kesinlikle EVET!
Bu kurallar olmasaydı, Yusuf’un sayısını bulmak için 730’dan 739’a kadar tüm sayıları tek tek 9’a bölmemiz gerekirdi. Ali’nin sayısını bulmak için 100’den başlayarak sayıları hem 3’e hem 4’e bölerek denemek zorunda kalırdık. Soruları cevaplarken de 630’u 9’a, 193’ü 6’ya uzun uzun bölmemiz gerekirdi. Ama bölünebilme kuralları sayesinde, sadece birkaç basit toplama ve kontrol işlemiyle tüm soruları çok daha hızlı ve kolay bir şekilde çözdük. Bu kurallar, matematikte bize zaman kazandıran ve işlemleri basitleştiren harika kısa yollardır!