Merhaba sevgili öğrencilerim,
Bugün sizlerle birlikte olasılık konusunu pekiştireceğimiz güzel bir örnek çözeceğiz. Önümüzdeki görselde Burhan ve Ebru’nun zar atma deneyi ile ilgili bir tablo ve bu tabloya bağlı sorular var. Hadi hep birlikte bu soruları adım adım, anlayarak çözelim.
Örnek 1: Burhan ve Ebru, yüzlerinde 1’den 6’ya kadar doğal sayıların yazılı olduğu iki ayrı sayı küpünü yirmişer defa atarak küplerin üst yüzüne gelen sayıların asal sayı olup olmama durumunu gözlemlemişlerdir. Bu deneylerin sonuçları yandaki tabloda verilmiştir.
Öncelikle küçük bir hatırlatma yapalım. Bir zarda (sayı küpünde) 1, 2, 3, 4, 5, 6 sayıları bulunur. Bu sayılardan asal olanlar hangileriydi? Evet, doğru bildiniz! 2, 3 ve 5 sayıları asaldır. Asal olmayanlar ise 1, 4 ve 6‘dır. Yani zarı attığımızda asal gelme olasılığı ile asal gelmeme olasılığı teoride eşittir. Bakalım deneyde de böyle mi olmuş?
a) Tablodaki verileri kullanarak Burhan ve Ebru’nun ayrı ayrı yaptığı atışlardan kaçının asal sayı, kaçının asal olmayan sayı geldiğini gösteren bir nokta grafiği oluşturunuz.
Çözüm:
Bu soruyu cevaplamak için önce tablodaki verileri dikkatlice saymamız gerekiyor. Nokta grafiği, her bir veri için üst üste noktalar koyarak oluşturduğumuz bir grafiktir. Ama önce sayıları bulalım!
Adım 1: Burhan’ın sonuçlarını sayalım.
Tabloda Burhan’ın sütununa bakıyoruz ve “Asal” yazan satırları sayıyoruz.
- Asal Gelen Atış Sayısı: 8 defa
- Asal Olmayan Gelen Atış Sayısı: 12 defa
(Toplam 8 + 12 = 20 atış, doğru yoldayız!)
Adım 2: Ebru’nun sonuçlarını sayalım.
Şimdi de Ebru’nun sütununa bakıp aynı sayma işlemini yapıyoruz.
- Asal Gelen Atış Sayısı: 12 defa
- Asal Olmayan Gelen Atış Sayısı: 8 defa
(Toplam 12 + 8 = 20 atış, harika!)
Adım 3: Nokta Grafiğini Yorumlayalım.
Şimdi bu verilerle bir nokta grafiği çizecek olsaydık şöyle görünürdü:
- Burhan’ın Grafiği: “Asal” başlığının üzerine 8 nokta, “Asal Değil” başlığının üzerine ise 12 nokta koyardık.
- Ebru’nun Grafiği: “Asal” başlığının üzerine 12 nokta, “Asal Değil” başlığının üzerine ise 8 nokta koyardık.
b) Çizdiğiniz nokta grafiklerinden yararlanarak her bir verinin sıklığını belirleyiniz.
Çözüm:
Arkadaşlar, “sıklık” demek bir olayın kaç defa tekrarlandığı demektir. Aslında biz bu sayıları bir önceki şıkta zaten bulmuştuk! Şimdi onları düzenli bir şekilde yazalım.
Burhan İçin Sıklıklar:
- Asal gelme sıklığı: 8
- Asal olmama sıklığı: 12
Ebru İçin Sıklıklar:
- Asal gelme sıklığı: 12
- Asal olmama sıklığı: 8
c) Bu deney sonucuna göre Burhan’ın ve Ebru’nun yaptıkları atışlarda, küpün üst yüzüne gelen sayının asal olma ya da olmama olaylarından hangisinin daha fazla olası olduğunu ayrı ayrı tahmin ediniz.
Çözüm:
Bu soruda deney sonuçlarına bakarak bir “tahmin” yürütmemiz isteniyor. Hangi sonuç daha çok çıktıysa, o sonucun gerçekleşme olasılığının daha fazla olduğunu söyleyebiliriz.
Adım 1: Burhan için tahmin yapalım.
Burhan’ın deneyinde 12 defa “Asal Değil”, 8 defa “Asal” sonucu çıkmış. 12, 8’den büyük olduğu için;
Burhan’ın yaptığı deneye göre, küpün üst yüzüne asal olmayan bir sayının gelmesi daha fazla olasıdır.
Adım 2: Ebru için tahmin yapalım.
Ebru’nun deneyinde ise 12 defa “Asal”, 8 defa “Asal Değil” sonucu çıkmış. 12, 8’den büyük olduğu için;
Ebru’nun yaptığı deneye göre, küpün üst yüzüne asal bir sayının gelmesi daha fazla olasıdır.
ç) Burhan ve Ebru’nun yaptığı deneylerin sonuçlarını karşılaştırınız. Bu sonuçların farklı olmasının sebebi ile ilgili fikirlerinizi yazarak arkadaşlarınızla paylaşınız.
Çözüm:
Bu çok güzel bir düşünme sorusu! Gelin birlikte beyin fırtınası yapalım.
Adım 1: Sonuçları Karşılaştıralım.
Gördüğümüz gibi, Burhan’ın deneyinde asal olmayan sayılar daha çok çıkarken, Ebru’nun deneyinde tam tersi, asal sayılar daha çok çıkmış. Sonuçlar birbirinin zıttı gibi duruyor.
Adım 2: Neden Farklı Olduğunu Düşünelim.
Peki, ikisi de aynı zarı (1’den 6’ya kadar olan sayı küpünü) attığı halde sonuçlar neden farklı?
- Bunun en temel sebebi, zar atma gibi olayların şansa bağlı olmasıdır. Her atış bir öncekinden bağımsızdır ve tamamen rastgele gerçekleşir.
- Teorik olarak zarda 3 tane asal (2, 3, 5) ve 3 tane asal olmayan (1, 4, 6) sayı vardır. Yani normalde şansları eşittir.
- Ancak deneylerde, özellikle az sayıda deneme yapıldığında (20 atış gibi), sonuçlar teorik olasılıktan farklı çıkabilir. Buna deneysel olasılık diyoruz. Eğer Burhan ve Ebru 20 değil de 2000 defa zar atsalardı, büyük ihtimalle buldukları “asal” ve “asal değil” sayıları birbirine çok daha yakın olurdu.
Kısacası, sonuçların farklı olmasının sebebi olayların rastgele ve şansa bağlı olmasıdır. Az sayıdaki denemelerde, deneysel sonuçlar teorik sonuçlardan veya başka birinin yaptığı aynı deneyin sonuçlarından farklılık gösterebilir.
Umarım herkes için anlaşılır olmuştur. Bir sonraki derste görüşmek üzere!