8. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Berkay Yayınları Sayfa 43

Merhaba sevgili öğrencilerim!

Bugün sizlerle birlikte üslü ifadelerle ilgili alıştırmalar yapacağız. Bu sorular, üslü ifadelerin temel kurallarını pekiştirmemiz için harika bir fırsat. Haydi, hep birlikte bu soruları adım adım çözelim ve konuları daha iyi anlayalım. Unutmayın, matematik sabır ve pratik işidir!

—

1. Aşağıdaki işlemler ile işlemlerin sonuçlarını eşleştiriniz. Açıkta kalan sonucu yuvarlak içine alınız.

Bu soruda, soldaki ve sağdaki kutularda verilen işlemlerin sonuçlarını bulup ortadaki sonuçlarla eşleştireceğiz. Bakalım hangi sonuç tek başına kalacakmış!

Sol Taraftaki İşlemler:

İşlem 1: (1 / 2⁻⁴) ⋅ 4⁻² ⋅ 2⁴

Unutmayalım: Bir sayının negatif üssü, o sayının çarpmaya göre tersinin pozitif üssüne eşittir. Yani a⁻ⁿ = 1/aⁿ ve 1/a⁻ⁿ = aⁿ demektir.

• Adım 1: İşlemdeki 1 / 2⁻⁴ ifadesini üssü pozitif yaparak yazalım. Bu ifade 2⁴‘e eşittir.
• Adım 2: 4⁻² ifadesini tabanı 2 olacak şekilde yazalım. 4 = 2² olduğu için, 4⁻² = (2²)⁻² olur. Üssün üssü kuralına göre üsler çarpılır: 2²ˣ⁻² = 2⁻⁴.
• Adım 3: Şimdi işlemimiz şu hale geldi: 2⁴ ⋅ 2⁻⁴ ⋅ 2⁴.
• Adım 4: Tabanları aynı olan üslü ifadeler çarpılırken üsler toplanır. Öyleyse üsleri toplayalım: 4 + (-4) + 4 = 4.
• Sonuç: İşlemin sonucu 2⁴ = 16‘dır.

Bu işlemi ortadaki 16 ile eşleştirebiliriz.

İşlem 2: (2⁸ ⋅ 2⁻⁴) / 2⁴

• Adım 1: Önce paydaki (üstteki) çarpma işlemini yapalım. Tabanlar aynı olduğu için üsleri topluyoruz: 8 + (-4) = 4. Pay kısmı 2⁴ olur.
• Adım 2: İşlemimiz 2⁴ / 2⁴ haline geldi.
• Adım 3: Tabanları aynı olan üslü ifadeler bölünürken, payın üssünden paydanın üssü çıkarılır: 4 - 4 = 0.
• Sonuç: İşlemin sonucu 2⁰ = 1‘dir. (Sıfır hariç her sayının sıfırıncı kuvveti 1’dir.)

Bu işlemi ortadaki 1 ile eşleştirebiliriz.

İşlem 3: (12 ⋅ 4⁴) / (3 ⋅ 2⁸)

• Adım 1: İşlemi kolaylaştırmak için tüm sayıları asal çarpanlarına ayıralım. 12 = 3 ⋅ 4 = 3 ⋅ 2² ve 4 = 2²‘dir.
• Adım 2: Bu değerleri işlemde yerlerine yazalım: ( (3 ⋅ 2²) ⋅ (2²)⁴ ) / (3 ⋅ 2⁸).
• Adım 3: Paydaki (2²)⁴ ifadesi, üssün üssü kuralından 2⁸ olur. Pay kısmı şimdi: 3 ⋅ 2² ⋅ 2⁸. Tabanlar aynı olduğu için üsleri toplarız: 3 ⋅ 2²⁺⁸ = 3 ⋅ 2¹⁰.
• Adım 4: İşlemimiz (3 ⋅ 2¹⁰) / (3 ⋅ 2⁸) haline geldi.
• Adım 5: Sadeleştirme yapalım. Pay ve paydadaki 3‘ler birbirini götürür. Geriye 2¹⁰ / 2⁸ kalır.
• Adım 6: Bölme kuralını uygulayalım: 10 - 8 = 2.
• Sonuç: İşlemin sonucu 2² = 4‘tür.

Bu işlemi ortadaki 4 ile eşleştirebiliriz.

İşlem 4: ( (-1)²² ⋅ 2⁴³) / (2¹⁶ ⋅ 2²⁴)

• Adım 1: Negatif bir sayının çift kuvveti pozitiftir. Bu yüzden (-1)²² = 1‘dir.
• Adım 2: Paydadaki çarpma işlemini yapalım. Tabanlar aynı olduğu için üsleri toplarız: 16 + 24 = 40. Payda kısmı 2⁴⁰ olur.
• Adım 3: İşlemimiz (1 ⋅ 2⁴³) / 2⁴⁰ yani 2⁴³ / 2⁴⁰ haline geldi.
• Adım 4: Bölme kuralını uygulayalım: 43 - 40 = 3.
• Sonuç: İşlemin sonucu 2³ = 8‘dir.

Bu işlemi ortadaki 8 ile eşleştirebiliriz.

Sağ Taraftaki İşlemler:

İşlem 1: (2⁻⁸ ⋅ 2²⁴) / 2¹⁴

• Adım 1: Paydaki çarpma işlemini yapalım: -8 + 24 = 16. Pay kısmı 2¹⁶ olur.
• Adım 2: İşlemimiz 2¹⁶ / 2¹⁴ haline geldi.
• Adım 3: Bölme kuralını uygulayalım: 16 - 14 = 2.
• Sonuç: İşlemin sonucu 2² = 4‘tür.

Bu işlemi de ortadaki 4 ile eşleştirebiliriz.

İşlem 2: (3⁷ ⋅ (-1)⁷ ⋅ 2¹⁰) / ((-1)¹³ ⋅ 6⁷)

• Adım 1: Negatif sayıların üslerine bakalım. Tek kuvvetler sonucu negatif yapar. (-1)⁷ = -1 ve (-1)¹³ = -1.
• Adım 2: 6⁷ ifadesini asal çarpanlarına ayıralım: 6⁷ = (2 ⋅ 3)⁷ = 2⁷ ⋅ 3⁷.
• Adım 3: İşlemi yeniden yazalım: (3⁷ ⋅ (-1) ⋅ 2¹⁰) / ((-1) ⋅ 2⁷ ⋅ 3⁷).
• Adım 4: Pay ve paydadaki (-1)‘ler ve 3⁷‘ler sadeleşir. Geriye 2¹⁰ / 2⁷ kalır.
• Adım 5: Bölme kuralını uygulayalım: 10 - 7 = 3.
• Sonuç: İşlemin sonucu 2³ = 8‘dir.

Bu işlemi de ortadaki 8 ile eşleştirebiliriz.

İşlem 3: (7² ⋅ 49) / 7⁴

• Adım 1: 49 sayısını 7‘nin kuvveti olarak yazalım: 49 = 7².
• Adım 2: İşlemimiz (7² ⋅ 7²) / 7⁴ oldu.
• Adım 3: Paydaki çarpmayı yapalım: 2 + 2 = 4. Pay kısmı 7⁴ olur.
• Adım 4: İşlem 7⁴ / 7⁴ haline geldi. Bir sayının kendisine bölümü 1’dir.
• Sonuç: İşlemin sonucu 1‘dir.

Bu işlemi de ortadaki 1 ile eşleştirebiliriz.

İşlem 4: (256 ⋅ 1024) / 2¹⁴

• Adım 1: 256 ve 1024 sayılarını 2‘nin kuvveti olarak yazalım. 256 = 2⁸ ve 1024 = 2¹⁰.
• Adım 2: Paydaki işlemi yapalım: 2⁸ ⋅ 2¹⁰ = 2⁸⁺¹⁰ = 2¹⁸.
• Adım 3: İşlemimiz 2¹⁸ / 2¹⁴ haline geldi.
• Adım 4: Bölme kuralını uygulayalım: 18 - 14 = 4.
• Sonuç: İşlemin sonucu 2⁴ = 16‘dır.

Bu işlemi de ortadaki 16 ile eşleştirebiliriz.

Eşleştirme Sonucu:

Yaptığımız çözümlere göre, bulduğumuz sonuçlar 1, 4, 8 ve 16’dır. Ortadaki sonuç kutucuklarında ise 1, 4, 8, 12 ve 16 sayıları var. Gördüğünüz gibi, 12 sonucunu veren hiçbir işlem yok. Dolayısıyla açıkta kalan sonuç 12‘dir.

—

2. Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını noktalı yerlere yazınız.

Şimdi de bu işlemleri tek tek çözüp sonuçlarını bulalım.

a) (6 ⋅ (5²)²) / (3 ⋅ 25)

• Adım 1: Paydaki (5²)² ifadesini hesaplayalım. Üssün üssü çarpılır: 5²ˣ² = 5⁴. Pay kısmı 6 ⋅ 5⁴ oldu.
• Adım 2: Paydadaki 25‘i 5² olarak yazalım. Payda kısmı 3 ⋅ 5² oldu.
• Adım 3: İşlemimiz: (6 ⋅ 5⁴) / (3 ⋅ 5²).
• Adım 4: Katsayıları kendi arasında, üslü sayıları kendi arasında bölelim. 6 / 3 = 2. 5⁴ / 5² = 5⁴⁻² = 5² = 25.
• Sonuç: 2 ⋅ 25 = 50.

b) 5⁴ ⋅ 25 ⋅ 5³

• Adım 1: 25‘i 5‘in kuvveti olarak yazalım: 25 = 5².
• Adım 2: İşlemimiz 5⁴ ⋅ 5² ⋅ 5³ haline geldi.
• Adım 3: Tabanlar aynı olduğu için üsleri toplarız: 4 + 2 + 3 = 9.
• Sonuç: 5⁹.

c) 3⁸ ⋅ 3⁻¹⁶ ⋅ 9

• Adım 1: 9‘u 3‘ün kuvveti olarak yazalım: 9 = 3².
• Adım 2: İşlemimiz 3⁸ ⋅ 3⁻¹⁶ ⋅ 3² oldu.
• Adım 3: Tabanlar aynı, üsleri toplayalım: 8 + (-16) + 2 = -6.
• Sonuç: 3⁻⁶.

d) (10⁴ ⋅ 2⁻³) / 5⁴

• Adım 1: 10‘u asal çarpanlarına ayıralım: 10 = 2 ⋅ 5. O zaman 10⁴ = (2 ⋅ 5)⁴ = 2⁴ ⋅ 5⁴.
• Adım 2: İşlemi yeniden yazalım: (2⁴ ⋅ 5⁴ ⋅ 2⁻³) / 5⁴.
• Adım 3: Pay ve paydadaki 5⁴‘ler sadeleşir. Geriye 2⁴ ⋅ 2⁻³ kalır.
• Adım 4: Tabanlar aynı, üsleri toplayalım: 4 + (-3) = 1.
• Sonuç: 2¹ = 2.

e) (42 ⋅ 7¹⁴) / (7⁴ ÷ 7⁻¹⁰)

• Adım 1: Önce paydadaki bölme işlemini yapalım. 7⁴ ÷ 7⁻¹⁰. Üsleri çıkarırız: 4 - (-10) = 4 + 10 = 14. Payda 7¹⁴ olur.
• Adım 2: İşlemimiz (42 ⋅ 7¹⁴) / 7¹⁴ haline geldi.
• Adım 3: Pay ve paydadaki 7¹⁴‘ler sadeleşir.
• Sonuç: 42.

f) (10⁵ ⋅ (25)² ⋅ 10⁻²) / 5⁻³

• Adım 1: Paydaki ifadeleri düzenleyelim. 10⁵ ⋅ 10⁻² = 10⁵⁻² = 10³.
• Adım 2: (25)² = (5²)² = 5⁴.
• Adım 3: Pay kısmı 10³ ⋅ 5⁴ oldu.
• Adım 4: 10³‘ü (2 ⋅ 5)³ = 2³ ⋅ 5³ olarak yazalım. Pay şimdi (2³ ⋅ 5³) ⋅ 5⁴ = 2³ ⋅ 5⁷ oldu.
• Adım 5: İşlemimiz (2³ ⋅ 5⁷) / 5⁻³ haline geldi.
• Adım 6: 5⁷ / 5⁻³ işlemini yapalım. Üsleri çıkarırız: 7 - (-3) = 7 + 3 = 10. Bu kısım 5¹⁰ olur.
• Sonuç: 2³ ⋅ 5¹⁰ = 8 ⋅ 5¹⁰.

g) 400 000 ⋅ 10⁻⁷

• Adım 1: 400 000 sayısını bilimsel gösterime yakın bir şekilde, 10‘un kuvveti olarak yazalım: 400 000 = 4 ⋅ 100 000 = 4 ⋅ 10⁵.
• Adım 2: İşlemimiz (4 ⋅ 10⁵) ⋅ 10⁻⁷ oldu.
• Adım 3: 10‘un kuvvetlerini çarpalım. Üsleri toplarız: 5 + (-7) = -2.
• Sonuç: 4 ⋅ 10⁻².

h) (1 / 10⁻⁸) ⋅ ( (10¹⁰)⁰ / 10⁻⁸ )

• Adım 1: 1 / 10⁻⁸ ifadesi 10⁸‘e eşittir.
• Adım 2: Parantez içindeki (10¹⁰)⁰ ifadesini hesaplayalım. Bir sayının sıfırıncı kuvveti 1’dir. Yani (10¹⁰)⁰ = 1.
• Adım 3: Parantez içi 1 / 10⁻⁸ oldu, bu da 10⁸‘e eşittir.
• Adım 4: İşlemimiz 10⁸ ⋅ 10⁸ haline geldi.
• Adım 5: Tabanlar aynı, üsleri toplayalım: 8 + 8 = 16.
• Sonuç: 10¹⁶.

Umarım bu çözümler konuyu daha iyi anlamanıza yardımcı olmuştur. Anlamadığınız bir yer olursa çekinmeden sorun. Başarılar dilerim!