Harika bir çalışma! Merhaba sevgili öğrencilerim, ben 8. sınıf matematik öğretmeniniz. Şimdi bana gönderdiğiniz bu görseldeki alıştırmaları birlikte, adım adım çözeceğiz. Anlamadığınız bir yer olursa hiç çekinmeyin, tekrar üzerinden geçeriz. Hazırsanız, kalemler ve defterler hazırsa başlayalım!
Soru 1: Verilen pozitif tam sayıların asal çarpanlarını bulunuz.
Merhaba çocuklar. Bu soruda bizden sayıları oluşturan asal sayıları, yani o sayının “DNA’sını” bulmamız isteniyor. Bunun için en kolay yöntem çarpan algoritmasıdır, yani sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak bölmektir. Hadi yapalım!
- a) 6
Adım 1: 6 sayısını en küçük asal sayı olan 2’ye bölelim.
6 | 2
3 | 3
1Sonuç: Çizginin sağında kalan sayılar 6’nın asal çarpanlarıdır. Yani 2 ve 3‘tür.
- b) 18
Adım 1: 18’i 2’ye bölelim.
18 | 2
9 | 3
3 | 3
1Sonuç: 18’in asal çarpanları 2 ve 3‘tür. (Unutmayın, bir sayıdan birden fazla olsa bile asal çarpan listesine bir kere yazarız.)
- c) 26
Adım 1: 26’yı 2’ye bölelim.
26 | 2
13 | 13
1Sonuç: 26’nın asal çarpanları 2 ve 13‘tür.
- ç) 112
Adım 1: 112’yi 2’ye bölerek başlayalım.
112 | 2
56 | 2
28 | 2
14 | 2
7 | 7
1Sonuç: 112’nin asal çarpanları 2 ve 7‘dir.
- d) 165
Adım 1: 165 sayısı 2’ye bölünmez. Bir sonraki asal sayı olan 3’ü deneyelim. (Rakamları toplamı 1+6+5=12, 3’e bölünür). Sonra da 5’e bölelim.
165 | 3
55 | 5
11 | 11
1Sonuç: 165’in asal çarpanları 3, 5 ve 11‘dir.
Soru 2: Verilen pozitif tam sayıların çarpanlarını bulunuz.
Arkadaşlar, bu soruda dikkatli olalım! “Asal çarpan” demiyor, sadece “çarpan” diyor. Yani bu sayıyı kalansız bölebilen tüm pozitif tam sayıları bulacağız. En kolay yolu, iki sayının çarpımı şeklinde yazmaktır.
- a) 28: 1×28, 2×14, 4×7. Çarpanları: 1, 2, 4, 7, 14, 28
- b) 30: 1×30, 2×15, 3×10, 5×6. Çarpanları: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
- c) 42: 1×42, 2×21, 3×14, 6×7. Çarpanları: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
- ç) 52: 1×52, 2×26, 4×13. Çarpanları: 1, 2, 4, 13, 26, 52
- d) 85: 1×85, 5×17. Çarpanları: 1, 5, 17, 85
Soru 3: Verilen pozitif tam sayıları üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazınız.
Bu soru aslında 1. sorunun devamı gibi. Yine çarpan algoritmasını kullanacağız. Sonra da aynı olan asal sayıları üslü olarak gruplayacağız.
- a) 54
54 | 2
27 | 3
9 | 3
3 | 3
1Sonuç: Bir tane 2 ve üç tane 3 var. O zaman: 2¹ ⋅ 3³
- b) 78
78 | 2
39 | 3
13 | 13
1Sonuç: Her birinden birer tane var. 2¹ ⋅ 3¹ ⋅ 13¹ (Üs 1 ise genelde yazmayız, yani 2 ⋅ 3 ⋅ 13 de doğru bir cevaptır.)
- c) 104
104 | 2
52 | 2
26 | 2
13 | 13
1Sonuç: Üç tane 2 ve bir tane 13 var. O zaman: 2³ ⋅ 13¹
- ç) 242
242 | 2
121 | 11
11 | 11
1Sonuç: Bir tane 2 ve iki tane 11 var. O zaman: 2¹ ⋅ 11²
- d) 250
250 | 2
125 | 5
25 | 5
5 | 5
1Sonuç: Bir tane 2 ve üç tane 5 var. O zaman: 2¹ ⋅ 5³
Soru 4: Bir beldede 544 adet araba vardır. Beldedeki araba sayısının asal çarpanlarını bulunuz. Sayıyı üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazınız.
Bu bir problem sorusu ama aslında bize “544 sayısını asal çarpanlarına ayırın ve üslü şekilde yazın” diyor. Korkulacak bir şey yok, bildiğimiz yöntemi uygulayacağız.
Adım 1: 544 sayısını çarpan algoritması ile asal çarpanlarına ayıralım.
544 | 2
272 | 2
136 | 2
68 | 2
34 | 2
17 | 17
1
Adım 2: Asal çarpanlarını ve üslü ifade şeklini yazalım.
Sonuç:
- 544 sayısının asal çarpanları 2 ve 17‘dir.
- 544 sayısının üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazılışı ise beş tane 2 ve bir tane 17 olduğu için 2⁵ ⋅ 17¹‘dir.
Soru 5: (–2)³ ⋅ (–5)² ⋅ 3 ⋅ (–1)⁷ işleminin sonucunu üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazınız.
Bu soruda önce üslü ifadelerin değerlerini bulacağız, sonra çarpma işlemini yapacağız ve en son bulduğumuz sonucu tekrar asal çarpanlarına ayıracağız. Haydi başlayalım!
Adım 1: Her bir üslü ifadenin değerini bulalım. Unutmayın: Negatif bir sayının tek kuvveti negatif, çift kuvveti pozitiftir.
- (–2)³ = (–2) ⋅ (–2) ⋅ (–2) = –8
- (–5)² = (–5) ⋅ (–5) = +25
- 3 = 3
- (–1)⁷ = –1 (1’in bütün kuvvetleri 1’dir, üs tek olduğu için sonuç -1)
Adım 2: Bulduğumuz değerleri çarpalım.
(–8) ⋅ (+25) ⋅ (3) ⋅ (–1)
Önce işareti belirleyelim: (–) ⋅ (+) ⋅ (+) ⋅ (–) = (+) yani sonuç pozitif olacak.
Şimdi sayıları çarpalım: 8 ⋅ 25 ⋅ 3 ⋅ 1 = 200 ⋅ 3 = 600
Adım 3: Soru bizden sonucu, yani 600’ü, üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazmamızı istiyor. 600’ü asal çarpanlarına ayıralım.
600 | 2
300 | 2
150 | 2
75 | 3
25 | 5
5 | 5
1
Sonuç: Üç tane 2, bir tane 3 ve iki tane 5 var. O zaman cevabımız: 2³ ⋅ 3¹ ⋅ 5²
Soru 6: 2250 sayısı 2▲ ⋅ 5■ ⋅ 3★ olarak üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazılıyor. Buna göre ▲ ⋅ (■ + ★) işleminin sonucu kaçtır?
Çok güzel bir bulmaca sorusu! Önce 2250 sayısını asal çarpanlarına ayırıp üslü şekilde yazacağız. Sonra da bulduğumuz üsleri, sorudaki sembollerin yerine koyacağız.
Adım 1: 2250’yi asal çarpanlarına ayıralım.
2250 | 2
1125 | 3
375 | 3
125 | 5
25 | 5
5 | 5
1
Adım 2: Üslü ifade şeklinde yazalım.
2250 = 2¹ ⋅ 3² ⋅ 5³
Adım 3: Şimdi bu sonucu soruda verilen ifadeyle karşılaştıralım ve sembollerin değerlerini bulalım. Dikkat, soruda 5 ve 3’ün yeri farklı verilmiş!
Sorudaki ifade: 2▲ ⋅ 5■ ⋅ 3★
Bizim bulduğumuz: 2¹ ⋅ 3² ⋅ 5³
- 2’nin üssü ▲, bizim bulduğumuzda 1. O zaman ▲ = 1
- 5’in üssü ■, bizim bulduğumuzda 3. O zaman ■ = 3
- 3’ün üssü ★, bizim bulduğumuzda 2. O zaman ★ = 2
Adım 4: Şimdi bizden istenen işlemi yapalım.
İstenen işlem: ▲ ⋅ (■ + ★)
Değerleri yerine koyalım: 1 ⋅ (3 + 2)
Önce parantez içi yapılır: 1 ⋅ (5)
Sonuç: 1 ⋅ 5 = 5
Harikasınız çocuklar! Bütün soruları başarıyla tamamladık. Matematik, adımları doğru takip ettiğimizde bir bulmaca çözmek gibidir. Hepinize iyi çalışmalar!