Merhaba sevgili öğrencim,
Harika bir alıştırma sayfası! Eşitsizlikler konusunu pekiştirmek için çok güzel sorular var. Gel, bu soruları birlikte, adım adım ve anlayarak çözelim. Tıpkı derste yaptığımız gibi, her adımı sindire sindire ilerleyeceğiz. Hazırsan başlayalım!
1. Aşağıdaki ifadeler ile ifadelerin belirttiği eşitsizlikleri eşleştiriniz. Hangi eşitsizlik açıkta kaldı?
Bu soruda bize verilen sözel ifadeleri matematik diline, yani eşitsizliklere çevirmemiz isteniyor. Hadi sırayla gidelim.
- “Bir sınıftaki öğrencilerin sayısının 1/4’ünün 3 fazlası, 10’dan küçüktür.”
Adım 1: Sınıftaki öğrenci sayısına bilinmeyen olarak “x” diyelim.
Adım 2: Bu sayının 1/4’ü, x’i 4’e bölmek demektir: x/4
Adım 3: Bunun 3 fazlası ise x/4 + 3 olur.
Adım 4: Bu ifadenin “10’dan küçük” olduğu söyleniyor. Küçüktür işareti “<” idi. O zaman eşitsizliğimiz: x/4 + 3 < 10
Bu ifade, sağdaki kutucuklardan birincisi ile eşleşiyor.
- “Bir sayının 3 fazlasının 1/4’ü, 10’dan büyük değildir.”
Adım 1: Sayımıza yine “x” diyelim.
Adım 2: Bu sayının 3 fazlası: x + 3
Adım 3: Bu ifadenin 1/4’ü ise parantez kullanarak yazarız: (x + 3) / 4
Adım 4: “10’dan büyük değildir” ifadesi çok önemli. Bu, sayının 10’dan küçük olabileceği veya 10’a eşit olabileceği anlamına gelir. Yani kullanmamız gereken işaret “≤” (küçük veya eşittir). Eşitsizliğimiz: (x + 3) / 4 ≤ 10
Bu ifade, sağdaki kutucuklardan dördüncüsü ile eşleşiyor.
- “Bir parktaki ağaçların sayısının 4 katının 3 eksiği, 24’ten büyüktür.”
Adım 1: Ağaç sayısına “x” diyelim.
Adım 2: 4 katı: 4x
Adım 3: 3 eksiği: 4x – 3
Adım 4: “24’ten büyüktür” dendiği için “>” işaretini kullanırız. Eşitsizliğimiz: 4x – 3 > 24
Bu ifade, sağdaki kutucuklardan ikincisi ile eşleşiyor.
Sonuç:
Eşleştirmeyi yaptığımızda 4(x – 3) ≥ 24 eşitsizliğinin açıkta kaldığını görüyoruz.
2. Aşağıda verilen eşitsizlikler çözüldüğünde elde edilen eşitsizlikleri noktalı yerlere yazınız.
Burada da denklem çözer gibi, ama eşitsizlik kurallarına dikkat ederek x’i yalnız bırakacağız.
a) 3x – 5 > 28
Adım 1: -5’i eşitsizliğin diğer tarafına +5 olarak atalım: 3x > 28 + 5
Adım 2: Toplamayı yapalım: 3x > 33
Adım 3: Her iki tarafı x’in katsayısı olan 3’e bölelim: x > 11
Noktalı yere 11 gelmelidir.
b) 2x – 4 ≥ 20
Adım 1: -4’ü karşıya +4 olarak geçirelim: 2x ≥ 20 + 4
Adım 2:2x ≥ 24
Adım 3: Her iki tarafı 2’ye bölelim: x ≥ 12
Noktalı yere 12 gelmelidir.
c) x + 2 ≤ 2x – 4
Adım 1: Bilinmeyenleri bir tarafa, sayıları diğer tarafa toplayalım. Küçük olan x’i büyük olan 2x’in yanına, -4’ü de 2’nin yanına atalım. Unutma, yer değiştiren işaret değiştirir!
2 + 4 ≤ 2x – x
Adım 2: İşlemleri yapalım: 6 ≤ x
Bu ifade “6, x’ten küçük veya eşittir” demektir, yani tersten okursak “x, 6’dan büyük veya eşittir” anlamına gelir: x ≥ 6
Noktalı yere 6 gelmelidir.
ç) 16 > (x – 4) / 2
Adım 1: Bölüm durumundaki 2’den kurtulmak için eşitsizliğin her iki tarafını 2 ile çarpalım: 16 * 2 > x – 4
Adım 2:32 > x – 4
Adım 3: -4’ü karşıya +4 olarak atalım: 32 + 4 > x
Adım 4:36 > x
Bunu “x, 36’dan küçüktür” şeklinde de yazabiliriz: x < 36
Noktalı yere 36 gelmelidir.
d) 13 – 2x ≤ -3x + 4
Adım 1: -3x’i sola, 13’ü sağa atalım: -2x + 3x ≤ 4 – 13
Adım 2: İşlemleri yapalım: x ≤ -9
Noktalı yere -9 gelmelidir.
3. x bir reel sayı olmak üzere aşağıdaki eşitsizlikleri sayı doğrularında gösteriniz.
Bu soruda çizim yapamayacağım için sana sayı doğrusunda nasıl göstereceğini tarif edeceğim. Unutma, “<” ve “>” işaretlerinde sayının olduğu noktanın içi boş yuvarlak, “≤” ve “≥” işaretlerinde ise içi dolu yuvarlak olur.
- a. x < 5: Sayı doğrusunda 5’i bul. İçini boş bırakacak şekilde bir yuvarlak çiz ve 5’ten küçük bütün sayıları göstermek için sola doğru çizgiyi tara.
- b. x > 7: Sayı doğrusunda 7’yi bul. İçini boş bırak ve 7’den büyük sayıları göstermek için sağa doğru çizgiyi tara.
- c. x ≤ 6: Sayı doğrusunda 6’yı bul. 6 da dahil olduğu için içini dolu bir yuvarlak çiz ve sola doğru çizgiyi tara.
- ç. 2 < x ≤ 4: Sayı doğrusunda 2 ve 4’ü bul. 2’nin üzerine içi boş, 4’ün üzerine içi dolu bir yuvarlak çiz. Bu iki noktanın arasını tara.
- d. x ≥ 10: Sayı doğrusunda 10’u bul. 10 dahil olduğu için içini doldur ve sağa doğru çizgiyi tara.
- e. -5 < x < -2: Sayı doğrusunda -5 ve -2’yi bul. İkisinin de üzerine içi boş yuvarlaklar çiz ve aralarındaki bölgeyi tara.
- f. 5 ≤ x < 6: Sayı doğrusunda 5 ve 6’yı bul. 5’in üzerine içi dolu, 6’nın üzerine içi boş bir yuvarlak çiz ve aralarını tara.
- g. -1 ≤ x ≤ 4: Sayı doğrusunda -1 ve 4’ü bul. İkisinin de üzerine içi dolu yuvarlaklar çiz ve aralarındaki bölgeyi tara.
4. a bir reel sayı olmak üzere kutucuklarda verilen eşitsizliklere göre aşağıda istenenleri yapınız.
Bu soruda bize 6 farklı eşitsizlik verilmiş ve bunlarla ilgili çeşitli şeyler soruluyor.
a. “a = 8” değerinin hangi kutucuklardaki eşitsizlikleri sağladığını bulunuz.
Tek tek her kutucukta a yerine 8 yazıp ifadenin doğru olup olmadığını kontrol edeceğiz.
A) 2(8-2) < 3(8+1) → 2(6) < 3(9) → 12 < 27. (Doğru)
B) 8+8 > 2*8 → 16 > 16. (Yanlış, 16 16’dan büyük değildir, eşittir.)
C) (8+3)/2 ≤ 4 → 11/2 ≤ 4 → 5,5 ≤ 4. (Yanlış)
D) 3*8 – 4 < 17 → 24 – 4 < 17 → 20 < 17. (Yanlış)
E) 8 – 4 > 1 → 4 > 1. (Doğru)
F) 3*8 – 4 ≥ -10 → 24 – 4 ≥ -10 → 20 ≥ -10. (Doğru)
Sonuç: a=8 değeri A, E ve F kutucuklarındaki eşitsizlikleri sağlar.
b. D kutucuğundaki eşitsizliğe göre a’nın alabileceği en büyük tam sayı değerini bulunuz.
Adım 1: D kutucuğundaki eşitsizliği çözelim: 3a – 4 < 17
Adım 2: -4’ü karşıya atalım: 3a < 17 + 4 → 3a < 21
Adım 3: Her tarafı 3’e bölelim: a < 7
Adım 4: Eşitsizlik bize “a, 7’den küçüktür” diyor. 7’den küçük en büyük tam sayı ise 6‘dır.
Sonuç: a’nın alabileceği en büyük tam sayı değeri 6‘dır.
c. E kutucuğundaki eşitsizliği çözünüz ve sayı doğrusunda gösteriniz.
Adım 1: E kutucuğundaki eşitsizlik: a – 4 > 1
Adım 2: -4’ü karşıya atalım: a > 1 + 4 → a > 5
Sayı doğrusunda gösterimi: Sayı doğrusu üzerinde 5’i buluruz. Üzerine içi boş bir yuvarlak koyarız ve 5’ten büyük sayıları göstermek için sağa doğru olan kısmı tararız.
ç. “Sırada bekleyenlerin sayısının 3 fazlasının yarısı 4’ten büyük değildir.” Yukarıdaki ifadenin belirttiği eşitsizliğin, hangi kutucukta verildiğini bulunuz.
Adım 1: Sırada bekleyenlerin sayısına “a” diyelim.
Adım 2: 3 fazlası: a + 3
Adım 3: Bu ifadenin yarısı: (a + 3) / 2
Adım 4: “4’ten büyük değildir” ne demekti? Yani 4’e eşit veya 4’ten küçük olabilir: ≤ 4
Adım 5: Hepsini birleştirelim: (a + 3) / 2 ≤ 4
Sonuç: Bu ifade C kutucuğundaki eşitsizlikle aynıdır.
d. Hangi kutucuktaki eşitsizliğin çözüldüğünde “a > -7” eşitsizliğinin elde edileceğini bulunuz.
Bu sefer kutucukları çözüp hangisinin sonucunun a > -7 çıktığını bulacağız.
A) 2(a – 2) < 3(a + 1)
2a – 4 < 3a + 3
-4 – 3 < 3a - 2a
-7 < a veya a > -7
Sonuç: Aradığımızı hemen ilk denemede bulduk! Cevap A kutucuğudur.
5. 3y + ∆ ≥ y + 6
Kutucuktaki eşitsizlik çözüldüğünde “y ≥ 5” eşitsizliği elde edildiğine göre ∆ yerine hangi sayı yazılmalıdır?
Bu çok güzel bir tersine mühendislik sorusu! Bize sonucu vermiş, baştaki eksik parçayı istiyor.
Adım 1: Bize verilen eşitsizliği normal bir şekilde çözelim, sanki ∆ bir sayıymış gibi davranalım.
3y + ∆ ≥ y + 6
Adım 2: y’leri bir tarafa, bilinenleri ve ∆’yı diğer tarafa toplayalım.
3y – y ≥ 6 – ∆
2y ≥ 6 – ∆
Adım 3: y’yi yalnız bırakmak için her iki tarafı 2’ye bölelim.
y ≥ (6 – ∆) / 2
Adım 4: Şimdi, bizim bulduğumuz sonuç ile sorunun bize verdiği sonucu karşılaştıralım. Soruda sonucun y ≥ 5 olduğu söyleniyor.
Bu durumda bizim bulduğumuz (6 – ∆) / 2 ifadesi, sorudaki 5‘e eşit olmalıdır.
(6 – ∆) / 2 = 5
Adım 5: Artık bu denklemi çözerek ∆’yı bulabiliriz.
6 – ∆ = 5 * 2
6 – ∆ = 10
6 – 10 = ∆
-4 = ∆
Sonuç: ∆ (üçgen) yerine -4 sayısı yazılmalıdır.
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Gördüğün gibi, kuralları bildikten ve dikkatli işlem yaptıktan sonra eşitsizlikler oldukça keyifli bir konu. Takıldığın bir yer olursa çekinmeden sorabilirsin. Başarılar dilerim