Merhaba sevgili öğrencilerim,
Bugün sizlerle birlikte cebirsel ifadelerle ilgili çok keyifli sorular çözeceğiz. Bu sorular, konuları daha iyi pekiştirmenize yardımcı olacak. Unutmayın, matematik sabır ve pratik işidir. Hazırsanız, haydi başlayalım!
12. Soru: Yanda cebir karolarıyla modellenen çarpma işlemini yazınız.
Bu soruda bize cebir karolarıyla bir model verilmiş ve bu modelin hangi çarpma işlemine ait olduğunu bulmamız isteniyor. Bu tür sorularda modelin kenar uzunluklarını bularak işe başlarız.
- Adım 1: Modelin sol kenarına bakalım. Bir tane turuncu ‘x’ karosu ve altında iki tane sarı ‘1’ karosu var. Bu durumda sol kenarın uzunluğu (x + 1 + 1) yani (x + 2) olur.
- Adım 2: Modelin üst kenarına bakalım. Bir tane turuncu ‘x’ karosu ve yanında üç tane yeşil ‘x’ karosu var gibi görünüyor ama bu yeşil karoların kısa kenarı 1 birim. Dolayısıyla üst kenarda bir tane ‘x’ ve üç tane ‘1’ birimlik kenar var. Yani üst kenarın uzunluğu (x + 1 + 1 + 1) yani (x + 3) olur.
- Adım 3: Çarpma işlemi, bu iki kenarın çarpımıdır. Yani işlemimiz (x + 2) ∙ (x + 3)‘tür.
- Adım 4: Sonucu bulmak için modelin içindeki karoları sayalım.
- 1 tane turuncu x² karosu
- 5 tane yeşil x karosu
- 6 tane sarı 1 karosu
Bunların toplamı x² + 5x + 6‘dır.
Sonuç:
Modellenen işlem: (x + 2) ∙ (x + 3) = x² + 5x + 6
13. Aşağıdaki cebirsel ifadelerle çarpma işlemlerini yaparak çarpımları noktalı yerlere yazınız.
Şimdi de dağılma özelliğini kullanarak çarpma işlemlerini yapacağız. Unutmayın, parantez dışındaki her terimi parantez içindeki her terimle sırayla çarpmalıyız.
a. (3a – 7) ∙ (a + 3)
Çözüm:
(3a ∙ a) + (3a ∙ 3) + (–7 ∙ a) + (–7 ∙ 3)
= 3a² + 9a – 7a – 21
Benzer terimleri (yani ‘a’ lı olanları) birleştirelim: 9a – 7a = 2a
Sonuç: 3a² + 2a – 21
b. (2x – 1) ∙ (2x + 1)
Çözüm:
Bu ifade size bir yerden tanıdık geldi mi? Evet, bu iki kare farkı özdeşliği! Yani (a – b)(a + b) = a² – b² formülünü kullanabiliriz.
(2x)² – (1)²
Sonuç: 4x² – 1
c. 5a(3a – 5)
Çözüm:
Burada 5a’yı parantez içindeki her terimle çarpacağız.
(5a ∙ 3a) + (5a ∙ –5)
Sonuç: 15a² – 25a
ç. (5y + 1) ∙ (1 + 5y)
Çözüm:
(1 + 5y) ifadesi aslında (5y + 1) ile aynıdır. Yani bu işlem (5y + 1) ∙ (5y + 1) veya (5y + 1)² demektir. Bu da tam kare özdeşliğidir.
(5y)² + 2 ∙ (5y) ∙ (1) + (1)²
= 25y² + 10y + 1
Sonuç: 25y² + 10y + 1
d. (3y + 1) ∙ (2y – 1)
Çözüm:
Sırayla dağılma özelliğini uygulayalım.
(3y ∙ 2y) + (3y ∙ –1) + (1 ∙ 2y) + (1 ∙ –1)
= 6y² – 3y + 2y – 1
Benzer terimleri birleştirelim: -3y + 2y = -y
Sonuç: 6y² – y – 1
e. 4c(8 – c)
Çözüm:
4c’yi parantez içine dağıtalım.
(4c ∙ 8) + (4c ∙ –c)
Sonuç: 32c – 4c²
f. (x – 4) ∙ (4 + x)
Çözüm:
(4 + x) ifadesini (x + 4) olarak yazabiliriz. İşlemimiz (x – 4) ∙ (x + 4) oldu. Yine iki kare farkı!
(x)² – (4)²
Sonuç: x² – 16
g. (c + 2) ∙ (c – 6)
Çözüm:
Dağılma özelliğini kullanalım.
(c ∙ c) + (c ∙ –6) + (2 ∙ c) + (2 ∙ –6)
= c² – 6c + 2c – 12
Benzer terimleri birleştirelim: -6c + 2c = -4c
Sonuç: c² – 4c – 12
ğ. 2d(2d + 4)
Çözüm:
2d’yi parantez içine dağıtıyoruz.
(2d ∙ 2d) + (2d ∙ 4)
Sonuç: 4d² + 8d
14. Yandaki tabloda cebirsel ifadelerle çarpma işlemleri belirtilmiştir. İşlemleri yaparak çarpımları tablodaki renkli bölgelere yazınız.
Bu soruda da bir önceki sorudaki gibi çarpma işlemleri yapacağız ve sonuçları ilgili renkli kutucuğa yazacağız.
- Sarı Bölge: (2a – 5) ∙ (a + 4)
(2a ∙ a) + (2a ∙ 4) + (–5 ∙ a) + (–5 ∙ 4)
= 2a² + 8a – 5a – 20
Sonuç: 2a² + 3a – 20 - Pembe Bölge: (a – 8) ∙ (a + 2)
(a ∙ a) + (a ∙ 2) + (–8 ∙ a) + (–8 ∙ 2)
= a² + 2a – 8a – 16
Sonuç: a² – 6a – 16 - Turuncu Bölge: (3x – 7) ∙ (7 – x)
(3x ∙ 7) + (3x ∙ –x) + (–7 ∙ 7) + (–7 ∙ –x)
= 21x – 3x² – 49 + 7x
Benzer terimleri birleştirelim ve düzenleyelim.
Sonuç: –3x² + 28x – 49 - Yeşil Bölge: (x – 5) ∙ (x – 3)
(x ∙ x) + (x ∙ –3) + (–5 ∙ x) + (–5 ∙ –3)
= x² – 3x – 5x + 15
Sonuç: x² – 8x + 15 - Mavi Bölge: (y + 2) ∙ (2y – 1)
(y ∙ 2y) + (y ∙ –1) + (2 ∙ 2y) + (2 ∙ –1)
= 2y² – y + 4y – 2
Sonuç: 2y² + 3y – 2
15. Aşağıdaki eşitliklerden özdeşlik olanların başındaki kutucuğa “Ö”, denklem olanların başındaki kutucuğa “D” yazınız.
Harika bir soru! Önce özdeşlik ve denklem arasındaki farkı hatırlayalım.
Özdeşlik, içindeki değişkenlere hangi sayıyı verirsek verelim her zaman doğru olan eşitliklerdir. Eşitliğin iki tarafı aslında birbirinin aynısıdır.
Denklem ise sadece bazı özel değerler için doğru olan eşitliklerdir.
Haydi şimdi tek tek inceleyelim:
- x ∙ (x + 5) = x² + 5 ∙ (x – 2) → Sol taraf: x² + 5x. Sağ taraf: x² + 5x – 10. İki taraf eşit değil. (D)
- (x + 2)² = x² + 4x + 4 → Sol taraf tam kare açılımıdır ve x² + 4x + 4’e eşittir. İki taraf aynı. (Ö)
- 2x² – 3x + 4 = 2x² + 7 → İki taraf birbirine eşit değil. (D)
- (9 – 4x)² = (3 – 2x) ∙ (3 + 2x) → Sol taraf (9-4x)², sağ taraf ise iki kare farkından 9 – 4x² olur. Eşit değiller. (D)
- 5x – 8 = 3x + 2 → Bu eşitlik sadece belirli bir x değeri için doğrudur (çözersek x=5 buluruz). (D)
- 3x ∙ (x + 5) = 3x² + 6x → Sol taraf: 3x² + 15x. Sağ taraf: 3x² + 6x. Eşit değiller. (D)
- (x – 3)² = x² – 6x + 9 → Sol taraf tam kare açılımıdır ve x² – 6x + 9’a eşittir. İki taraf aynı. (Ö)
- (3x + 1)² = 9x² + 6x + 1 → Sol taraf tam kare açılımıdır ve 9x² + 6x + 1’e eşittir. İki taraf aynı. (Ö)
- x + 4 = 3 ∙ (x – 1) → Sağ taraf 3x – 3 olur. x + 4 = 3x – 3 eşitliği her x için doğru değildir. (D)
- x² – 25 = (x – 5) ∙ (x + 5) → Sağ taraf iki kare farkı özdeşliğinin açılımıdır ve x² – 25’e eşittir. İki taraf aynı. (Ö)
16. Aşağıda cebir karoları ile modellenen özdeşlikleri yazınız.
Bu soruda 12. sorudakinin aynısını yapacağız, yani modellerin kenarlarını ve alanlarını bularak özdeşlikleri yazacağız.
a.
Çözüm:
Sol kenar: Bir ‘x’ ve iki ‘1’ var. Yani (x + 2).
Üst kenar: Bir ‘x’ ve bir ‘1’ var. Yani (x + 1).
İçerideki alan: Bir x², üç x, iki 1 var. Yani x² + 3x + 2.
Sonuç: (x + 2) ∙ (x + 1) = x² + 3x + 2
b.
Çözüm:
Sol kenar: Bir ‘x’ ve bir ‘1’ var. Yani (x + 1).
Üst kenar: Bir ‘x’ ve bir ‘1’ var. Yani (x + 1).
İçerideki alan: Bir x², iki x, bir 1 var. Yani x² + 2x + 1.
Sonuç: (x + 1) ∙ (x + 1) = (x + 1)² = x² + 2x + 1
c. (Görselde iki tane c şıkkı var, soldakini c, sağdakini ç olarak çözeceğim)
Çözüm (soldaki):
Sol kenar: Bir ‘x’ ve üç ‘1’ var. Yani (x + 3).
Üst kenar: Bir ‘x’ ve dört ‘1’ var. Yani (x + 4).
İçerideki alan: Bir x², yedi x, on iki 1 var. Yani x² + 7x + 12.
Sonuç: (x + 3) ∙ (x + 4) = x² + 7x + 12
ç.
Çözüm (sağdaki):
Sol kenar: Bir ‘x’ ve iki ‘1’ var. Yani (x + 2).
Üst kenar: Bir ‘x’ ve iki ‘1’ var. Yani (x + 2).
İçerideki alan: Bir x², dört x, dört 1 var. Yani x² + 4x + 4.
Sonuç: (x + 2) ∙ (x + 2) = (x + 2)² = x² + 4x + 4
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Anlamadığınız bir yer olursa çekinmeden sorun. Bol bol pratik yapmayı unutmayın. Harikasınız!