Harika bir çalışma! Merhaba sevgili 8. sınıf öğrencileri, ben matematik öğretmeniniz. Şimdi bana gönderdiğiniz bu görseldeki alıştırmaları birlikte, adım adım çözeceğiz. Üçgenler konusu ne kadar keyifli, değil mi? Özellikle de “üçgen eşitsizliği” kuralını anladığımızda soruların ne kadar kolaylaştığını göreceksiniz.
Hadi başlayalım!
1. Soru: Aşağıda uzunlukları verilen doğru parçalarından hangileri bir üçgenin kenarları olabilir?
Bu soruyu çözmek için aklımıza hemen üçgen eşitsizliği kuralı gelmeli. Bu kural ne diyordu? Bir üçgende, herhangi iki kenarın uzunlukları toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan büyük olmalıdır. En kolay yolu, en kısa iki kenarı toplayıp en uzun kenarla karşılaştırmaktır. Hadi şıklara bakalım:
a. |AB| = 15 cm, |BC| = 7 cm, |AC| = 7 cm
Adım 1: En kısa iki kenarı bulalım. Burada iki kenar eşit ve 7 cm. Diğer kenar 15 cm.
Adım 2: Bu iki kısa kenarı toplayalım: 7 cm + 7 cm = 14 cm.
Adım 3: Toplamı, en uzun kenar olan 15 cm ile karşılaştıralım. 14 cm, 15 cm’den büyük mü? Hayır, değil. 14 < 15 olduğu için bu kenarlarla bir üçgen çizilemez.b. |BD| = 13 cm, |DC| = 23 cm, |BC| = 15 cm
Adım 1: En kısa iki kenarı bulalım: 13 cm ve 15 cm. En uzun kenar ise 23 cm.
Adım 2: Bu iki kenarı toplayalım: 13 cm + 15 cm = 28 cm.
Adım 3: Toplamı, en uzun kenar olan 23 cm ile karşılaştıralım. 28 cm, 23 cm’den büyük mü? Evet, büyük! 28 > 23 olduğu için bu kenarlarla bir üçgen çizilebilir.
2. Soru: Kutucuklarda verilen kenar uzunluklarından hangi üçü bir üçgene ait olabilir? (3 cm, 6 cm, 8 cm, 1 cm)
Yine üçgen eşitsizliği kuralını kullanacağız. Verilen dört uzunluktan üçlü gruplar oluşturup denememiz gerekiyor. En mantıklısı, en büyük kenarı sabit tutup diğerlerini denemektir.
Adım 1: En uzun kenarı 8 cm olarak alalım. Diğer iki kenar için 3 cm ve 6 cm’yi seçelim.
Adım 2: Kısa olanları toplayalım: 3 cm + 6 cm = 9 cm.
Adım 3: Toplamı en uzun kenarla karşılaştıralım. 9 cm, 8 cm’den büyük mü? Evet, 9 > 8.
Sonuç: O halde 3 cm, 6 cm ve 8 cm uzunlukları bir üçgene ait olabilir. Diğer kombinasyonların neden olmadığını hızlıca görebiliriz. Örneğin 1, 3, 6 denesek; 1+3=4 eder ve 4, 6’dan büyük değildir.
3. Soru: Yandaki ABC üçgeninde |AB| = 5 cm, |BC| = 10 cm ve |AC| = x cm’dir. Buna göre x’in alabileceği en büyük ve en küçük doğal sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Sevgili öğrenciler, bu soru tam bir üçgen eşitsizliği klasiğidir! Bilinmeyen bir kenar (x), diğer iki kenarın farkından büyük, toplamından ise küçük olmak zorundadır. Yani;
(Kenarların Farkı) < x < (Kenarların Toplamı)
Adım 1: Verilen iki kenarın farkını ve toplamını bulalım.
Fark: 10 – 5 = 5
Toplam: 10 + 5 = 15
Adım 2: Bu değerleri eşitsizlikte yerine yazalım.
5 < x < 15
Adım 3: Bu aralıktaki en küçük ve en büyük doğal sayıları bulalım.
x’in alabileceği en küçük doğal sayı değeri 5’ten büyük olan ilk sayı, yani 6‘dır.
x’in alabileceği en büyük doğal sayı değeri 15’ten küçük olan son sayı, yani 14‘tür.
Adım 4: Bu iki değeri toplayalım.
14 + 6 = 20
Sonuç: x’in alabileceği en büyük ve en küçük doğal sayı değerlerinin toplamı 20‘dir.
4. Soru: Yandaki şekilde verilenlere göre |AC| ve |BD|’nun “cm” biriminde alabileceği en küçük doğal sayı değerlerine göre |AC| + |BD| toplamı kaç cm’dir?
Bu soruda iki farklı üçgen var ve ikisi için de ayrı ayrı üçgen eşitsizliğini uygulamalıyız.
Adım 1: Önce ABC üçgeni için |AC|’nin alabileceği değer aralığını bulalım. |AC|’ye x diyelim.
10 – 6 < x < 10 + 6
4 < x < 16
Bu aralıkta x’in (|AC|’nin) alabileceği en küçük doğal sayı değeri 5‘tir.
Adım 2: Şimdi BCD üçgeni için |BD|’nun alabileceği değer aralığını bulalım. |BD|’ye y diyelim.
6 – 4 < y < 6 + 4
2 < y < 10
Bu aralıkta y’nin (|BD|’nin) alabileceği en küçük doğal sayı değeri 3‘tür.
Adım 3: Soruda bizden istenen, bu iki uzunluğun en küçük değerlerinin toplamı.
|AC| (en küçük) + |BD| (en küçük) = 5 + 3 = 8
Sonuç: Toplam 8 cm‘dir.
5. Soru: Yanda verilen ABC ve ADC üçgenlerinde; |AB| = 8 cm, |BC| = 6 cm ve |CD| = 7 cm’dir. |AC|’nin “cm” biriminde alabileceği en büyük doğal sayı değerine karşılık, |AD|’nin “cm” biriminde alabileceği en küçük doğal sayı değeri kaçtır?
Bu soruda bir şart var, dikkatli olalım. Önce |AC|’nin en büyük değerini bulacağız, sonra bu değeri kullanarak |AD|’nin en küçük değerini bulacağız.
Adım 1: ABC üçgenine bakalım ve ortak kenar olan |AC|’nin değer aralığını bulalım. |AC|’ye x diyelim.
8 – 6 < x < 8 + 6
2 < x < 14
Bu aralıkta x’in (|AC|’nin) alabileceği en büyük doğal sayı değeri 13‘tür.
Adım 2: Şimdi sorunun ikinci kısmına geçelim. |AC|’nin değerini 13 cm olarak kabul edeceğiz ve ADC üçgenine bakacağız. Bu üçgenin kenarları |AC|=13 cm, |CD|=7 cm ve |AD| oldu. |AD|’ye y diyelim.
Adım 3: ADC üçgeni için üçgen eşitsizliğini yazalım.
13 – 7 < y < 13 + 7
6 < y < 20
Adım 4: Bu aralıkta y’nin (|AD|’nin) alabileceği en küçük doğal sayı değeri 6’dan büyük ilk sayı olan 7‘dir.
Sonuç: Sorunun cevabı 7‘dir.
6. Soru: Yanda verilen ABC ve DBC üçgenlerinde |AB| = 8 cm, |AC| = 6 cm, |BD| = 4 cm ve |CD| = 3 cm’dir. Buna göre |BC|, “cm” biriminde alabileceği en büyük doğal sayı değeri kaçtır?
İşte yine ortak kenarlı bir soru! |BC| kenarı her iki üçgenin de bir parçası. Bu yüzden |BC|’nin uzunluğu, her iki üçgenin de üçgen eşitsizliği kuralını sağlamak zorundadır. İki farklı aralık bulup bu aralıkların kesişimini (ortak bölgesini) alacağız.
Adım 1: ABC üçgeni için |BC|’nin değer aralığını bulalım. |BC|’ye x diyelim.
8 – 6 < x < 8 + 6
2 < x < 14
Adım 2: DBC üçgeni için |BC|’nin (yani yine x’in) değer aralığını bulalım.
4 – 3 < x < 4 + 3
1 < x < 7
Adım 3: Şimdi x’in sağlaması gereken iki koşul var:
1. Koşul: 2’den büyük, 14’ten küçük olmalı.
2. Koşul: 1’den büyük, 7’den küçük olmalı.
Her ikisini de sağlaması için alt sınırların büyüğünü (2’yi) ve üst sınırların küçüğünü (7’yi) almalıyız.
Yani, 2 < x < 7 olmalıdır.
Adım 4: Bu yeni aralıkta x’in (|BC|’nin) alabileceği en büyük doğal sayı değerini bulalım. 7’den küçük en büyük doğal sayı 6‘dır.
Sonuç: |BC|’nin alabileceği en büyük doğal sayı değeri 6‘dır.
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Unutmayın, geometri sabır ve bol pratik ister. Harikasınız, çalışmaya devam!