Merhaba sevgili öğrencilerim,
Bugün sizlerle birlikte “Aralarında Asal Sayılar” konusunu pekiştirmek için kitabımızdaki alıştırmaları çözeceğiz. Bu sorular, konuyu ne kadar anladığınızı görmemiz için harika bir fırsat. Unutmayın, matematikte en iyi öğrenme yolu bol bol pratik yapmaktır. Haydi, kalemlerinizi ve defterlerinizi hazırlayın, başlayalım!
1. Verilen sayı çiftlerinin aralarında asal olup olmadığını belirleyiniz.
Çözüme geçmeden önce küçük bir hatırlatma: İki sayının aralarında asal olması için 1’den başka ortak bölenlerinin olmaması gerekir. Bunu anlamanın en kolay yolu, sayıların asal çarpanlarına bakmaktır. Eğer hiç ortak asal çarpanları yoksa, bu sayılar aralarında asaldır.
a. 32 ile 128
Adım 1: Sayıların çarpanlarına bakalım. 32 sayısı 2’nin 5. kuvvetidir (2x2x2x2x2). 128 sayısı ise 2’nin 7. kuvvetidir.
Adım 2: Gördüğünüz gibi her iki sayının da tek asal çarpanı 2’dir. Yani ortak bölenleri vardır.
Sonuç: 32 ile 128 aralarında asal değildir.b. 11 ile 121
Adım 1: 11 zaten bir asal sayıdır. 121 sayısını düşündüğümüzde ise 11’in karesi, yani 11 x 11 olduğunu hatırlarız.
Adım 2: İki sayının da ortak böleni 11’dir.
Sonuç: 11 ile 121 aralarında asal değildir.c. 132 ile 85
Adım 1: 132’nin asal çarpanları: 2, 3, 11 (132 = 2² x 3 x 11)
Adım 2: 85’in asal çarpanları: 5, 17 (85 = 5 x 17)
Adım 3: İki sayının asal çarpanlarına baktığımızda hiç ortak olan yok.
Sonuç: 132 ile 85 aralarında asaldır.ç. 14 ile 51
Adım 1: 14’ün asal çarpanları: 2, 7 (14 = 2 x 7)
Adım 2: 51’in asal çarpanları: 3, 17 (51 = 3 x 17) (Unutmayın, 5+1=6 olduğu için 51, 3’e bölünür!)
Adım 3: Ortak bir asal çarpanları yok.
Sonuç: 14 ile 51 aralarında asaldır.d. 40 ile 60
Adım 1: Bu sayıların ikisi de çift sayı, yani ikisi de 2’ye bölünür. İkisi de 0 ile bittiği için 10’a (yani 2 ve 5’e) bölünürler.
Adım 2: 1’den başka ortak bölenleri (2, 5, 10, 20 gibi) olduğu için uzun uzun düşünmeye gerek yok.
Sonuç: 40 ile 60 aralarında asal değildir.e. 1 ile 22
Adım 1: Burada çok önemli bir kuralı hatırlayalım: 1 sayısı, bütün pozitif tam sayılar ile aralarında asaldır.
Sonuç: 1 ile 22 aralarında asaldır.f. 91 ile 26
Adım 1: 91 sayısı ilk bakışta asal gibi görünebilir ama dikkat! 91 = 7 x 13’tür.
Adım 2: 26 sayısının çarpanları ise 2 x 13’tür.
Adım 3: Her iki sayının da ortak böleni 13’tür.
Sonuç: 91 ile 26 aralarında asal değildir.g. 62 ile 45
Adım 1: 62’nin asal çarpanları: 2, 31 (62 = 2 x 31)
Adım 2: 45’in asal çarpanları: 3, 5 (45 = 3² x 5)
Adım 3: Ortak bir asal çarpanları bulunmuyor.
Sonuç: 62 ile 45 aralarında asaldır.ğ. 25 ile 27
Adım 1: 25’in tek asal çarpanı 5’tir (25 = 5²).
Adım 2: 27’nin tek asal çarpanı 3’tür (27 = 3³).
Adım 3: Ortak asal çarpanları yok. (Ardışık tek sayılar her zaman aralarında asaldır, bu da aklınızda bulunsun!)
Sonuç: 25 ile 27 aralarında asaldır.
2. İki basamaklı en büyük doğal sayı ile 77 sayısının aralarında asal olup olmadığını belirleyiniz.
Adım 1: Öncelikle soruda istenen sayıları bulalım. İki basamaklı en büyük doğal sayı 99‘dur. Diğer sayımız ise 77.
Adım 2: Şimdi bu iki sayının asal çarpanlarını bulalım.
77 = 7 x 11
99 = 9 x 11 = 3² x 11
Adım 3: Gördüğümüz gibi, her iki sayının da çarpanları arasında 11 sayısı var. Yani 1’den başka ortak bir bölenleri mevcut.
Sonuç: Bu nedenle 99 ile 77 sayıları aralarında asal değildir.
3. 12 sayısı ile 12’den küçük hangi doğal sayılar aralarında asaldır?
Adım 1: 12’nin asal çarpanlarını bularak işe başlayalım. 12 = 2² x 3. Bu demek oluyor ki, 12 ile aralarında asal olan sayıların 2’ye veya 3’e bölünmemesi gerekiyor.
Adım 2: Şimdi 12’den küçük doğal sayıları (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11) tek tek kontrol edelim:
- 1: 1 her zaman aralarında asaldır. (Evet)
- 2: 12’nin çarpanı. (Hayır)
- 3: 12’nin çarpanı. (Hayır)
- 4: 2’ye bölünür. (Hayır)
- 5: 2’ye veya 3’e bölünmez. (Evet)
- 6: 2’ye ve 3’e bölünür. (Hayır)
- 7: 2’ye veya 3’e bölünmez. (Evet)
- 8: 2’ye bölünür. (Hayır)
- 9: 3’e bölünür. (Hayır)
- 10: 2’ye bölünür. (Hayır)
- 11: 2’ye veya 3’e bölünmez. (Evet)
Sonuç: 12 ile aralarında asal olan 12’den küçük doğal sayılar 1, 5, 7 ve 11‘dir.
4. Melike’nin tahtaya yazdığı 45 ile ■ sayıları aralarında asaldır. Buna göre ■ yerine yazılabilecek 70’ten küçük olan en büyük doğal sayı kaçtır?
Adım 1: Bu soruyu çözmek için önce 45 sayısının “hassas noktalarını” yani asal çarpanlarını bulmalıyız. 45 = 9 x 5 = 3² x 5. Demek ki aradığımız sayı 3’e ve 5’e bölünmemeli.
Adım 2: Soru bizden 70’ten küçük en büyük sayıyı istiyor. O zaman 70’ten geriye doğru sayarak şartlarımıza uyan ilk sayıyı bulduğumuzda cevaba ulaşmış oluruz.
Adım 3: Denemeye başlayalım:
- 69: Rakamları toplamı 6+9=15. 15, 3’ün katı olduğu için 69 sayısı 3’e bölünür. Bu sayı olamaz.
- 68: Rakamları toplamı 6+8=14. 3’e bölünmez. Sonu 0 veya 5 olmadığı için 5’e de bölünmez. Harika! Aradığımız sayı bu olabilir.
Adım 4: 68 sayısı hem 3’e hem de 5’e bölünmediği için 45 ile ortak bir asal çarpanı yoktur. Geriye doğru saydığımız için bulduğumuz ilk uygun sayı en büyüğüdür.
Sonuç: Kare yerine yazılabilecek 70’ten küçük en büyük doğal sayı 68‘dir.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Takıldığınız bir yer olursa çekinmeden sorun. Başarılar dilerim