Harika bir çalışma! Merhaba sevgili öğrencim, gönderdiğin bu ünite değerlendirme sorularını senin için adım adım, tane tane çözeceğim. Takıldığın bir yer olursa hiç çekinme, anlamak en doğal hakkın. Haydi başlayalım!
1. Aşağıda verilen kareköklü ifadelerin değerlerini noktalı yerlere yazınız.
Bu soruda bizden, kök içindeki sayıların hangi sayının karesi olduğunu bulmamız isteniyor. Yani “hangi sayıyı kendisiyle çarparsak kök içindeki sayıyı elde ederiz?” diye düşüneceğiz.
- a. √144 = ……….
Çözüm: 12 sayısını kendisiyle çarptığımızda 12 x 12 = 144 eder. Bu yüzden √144’ün değeri 12‘dir.
- b. √441 = ……….
Çözüm: Bu biraz daha büyük bir sayı. 20’nin karesi 400. Demek ki 20’den büyük bir sayı. Sonu 1 ile bittiği için, karesini aldığımız sayının da birler basamağı 1 veya 9 olmalı. 21’i deneyelim. 21 x 21 = 441. İşte bulduk! Cevabımız 21.
- c. √361 = ……….
Çözüm: 20’nin karesi 400 demiştik. 361, 400’den küçük. Demek ki 20’den küçük bir sayı arıyoruz. Sonu 1 ile bittiği için sayımızın birler basamağı yine 1 veya 9 olmalı. 19’u deneyelim. 19 x 19 = 361. Süper! Cevap 19.
- ç. √256 = ……….
Çözüm: 15’in karesi 225, 20’nin karesi 400. Sayımız bu ikisinin arasında. Sonu 6 ile bittiği için, karesini aldığımız sayının birler basamağı 4 (4×4=16) veya 6 (6×6=36) olmalı. 16’yı deneyelim. 16 x 16 = 256. Harika! Cevabımız 16.
2. Aşağıda verilen kareköklü ifadelerin hangi ardışık iki doğal sayı arasında olduğunu ve hangi doğal sayıya daha yakın olduğunu bulunuz.
Burada yapmamız gereken, kök içindeki sayıdan küçük ve büyük olan en yakın tam kare sayıları bulmak. Bu sayılar, aradığımız sayının hangi iki doğal sayı arasında olduğunu bize gösterecek.
- a. √20
Adım 1: 20’den küçük en yakın tam kare sayı 16’dır (√16 = 4). 20’den büyük en yakın tam kare sayı ise 25’tir (√25 = 5).
Adım 2: Demek ki √20 sayısı 4 ile 5 arasındadır.
Adım 3: Hangisine daha yakın? 20’nin 16’ya olan uzaklığı: 20 – 16 = 4. 20’nin 25’e olan uzaklığı: 25 – 20 = 5. 4 daha küçük olduğu için, √20 sayısı 4’e daha yakındır. - b. √130
Adım 1: 130’dan küçük en yakın tam kare 121 (√121 = 11), büyük en yakın tam kare ise 144’tür (√144 = 12).
Adım 2: Öyleyse √130 sayısı 11 ile 12 arasındadır.
Adım 3: Uzaklıklara bakalım: 130 – 121 = 9. 144 – 130 = 14. 9 daha küçük olduğu için, √130 sayısı 11’e daha yakındır. - c. √220
Adım 1: 14’ün karesi 196, 15’in karesi 225. Demek ki 220, 196 ile 225 arasında.
Adım 2: Bu durumda √220 sayısı 14 ile 15 arasındadır.
Adım 3: Uzaklıkları hesaplayalım: 220 – 196 = 24. 225 – 220 = 5. 5 daha küçük olduğu için, √220 sayısı 15’e daha yakındır. - ç. √310
Adım 1: 17’nin karesi 289, 18’in karesi 324. Sayımız bu ikisinin arasında.
Adım 2: √310 sayısı 17 ile 18 arasındadır.
Adım 3: Uzaklıklar: 310 – 289 = 21. 324 – 310 = 14. 14 daha küçük olduğu için, √310 sayısı 18’e daha yakındır. - d. √12
Adım 1: 12’den küçük tam kare 9 (√9 = 3), büyük tam kare 16’dır (√16 = 4).
Adım 2: √12 sayısı 3 ile 4 arasındadır.
Adım 3: Uzaklıklar: 12 – 9 = 3. 16 – 12 = 4. 3 daha küçük olduğu için, √12 sayısı 3’e daha yakındır. - e. √50
Adım 1: 50’den küçük tam kare 49 (√49 = 7), büyük tam kare 64’tür (√64 = 8).
Adım 2: √50 sayısı 7 ile 8 arasındadır.
Adım 3: Uzaklıklar: 50 – 49 = 1. 64 – 50 = 14. 1 çok daha küçük olduğu için, √50 sayısı 7’ye daha yakındır.
3. Yanda verilen şekildeki ABCD ve EFKL karedir. Şekilde verilenlere göre turuncu bölgenin alanı kaç cm²’dir?
Çözüm: Bu tür sorularda yapacağımız şey çok basit: Büyük şeklin alanından küçük şeklin alanını çıkarmak! Böylece geriye sadece aradaki boyalı bölge kalır.
Adım 1: Önce büyük ABCD karesinin alanını bulalım. Bir kenarı √25 cm olarak verilmiş. √25 = 5 cm eder. Karenin alanı bir kenarının kendisiyle çarpımıdır.
Büyük Alan = 5 cm x 5 cm = 25 cm²
Adım 2: Şimdi de içteki küçük EFKL karesinin alanını bulalım. Bir kenarı √9 cm olarak verilmiş. √9 = 3 cm eder.
Küçük Alan = 3 cm x 3 cm = 9 cm²
Adım 3: Turuncu bölgenin alanını bulmak için büyük alandan küçük alanı çıkarırız.
Turuncu Alan = 25 cm² – 9 cm² = 16 cm²
Sonuç: Turuncu bölgenin alanı 16 cm²‘dir.
4. Aşağıdaki işlemlerden sonuçları aynı olanları işaretleyiniz.
Çözüm: Bu soruda her bir kutudaki işlemin sonucunu tek tek bulup hangilerinin aynı olduğuna bakacağız.
- Kutu 1: √0,16 + √0,25
√0,16 = √(16/100) = 4/10 = 0,4’tür.
√0,25 = √(25/100) = 5/10 = 0,5’tir.
0,4 + 0,5 = 0,9 - Kutu 2: (√2 – √5)(√2 + √5)
Bu işlem bize iki kare farkı özdeşliğini hatırlatmalı: (a – b)(a + b) = a² – b².
Burada a=√2 ve b=√5.
Sonuç = (√2)² – (√5)² = 2 – 5 = -3 - Kutu 3: -√27 / √3
Kareköklü sayılarda bölme yaparken kökleri birleştirebiliriz.
-√(27/3) = -√9 = -3 - Kutu 4: √75 – √20
Kökleri a√b şeklinde yazalım. √75 = √(25×3) = 5√3. √20 = √(4×5) = 2√5.
Sonuç = 5√3 – 2√5. Bu ifade böyle kalır çünkü kök içleri farklı. - Kutu 5: (√12 + √20) / √25
√12 = 2√3, √20 = 2√5, √25 = 5.
Sonuç = (2√3 + 2√5) / 5. Bu ifade de bu şekilde kalır. - Kutu 6: √125 + 2√5
√125 = √(25×5) = 5√5.
İşlemimiz 5√5 + 2√5 oldu. Kök içleri aynı olduğu için katsayıları toplayabiliriz.
Sonuç = (5+2)√5 = 7√5
Sonuçları karşılaştırdığımızda 2. kutunun ve 3. kutunun sonucunun -3 olduğunu görüyoruz. Dolayısıyla bu iki kutu işaretlenmelidir.
5. √231 sayısı, yukarıdaki doğal sayılardan hangisine, diğerlerinden daha yakındır?
Çözüm: Bu soruda √231’in değerinin hangi tam sayıya daha yakın olduğunu bulacağız. Verilen sayıların karelerini alarak 231’e en yakın olanı bulalım.
Adım 1: Verilen sayıların karelerini alalım.
- 13² = 169
- 14² = 196
- 15² = 225
- 16² = 256
Adım 2: Gördüğümüz gibi 231 sayısı, 225 ile 256’nın arasında. Bu demek oluyor ki √231 sayısı 15 ile 16 arasındadır.
Adım 3: Hangisine daha yakın olduğunu bulmak için aradaki farka bakalım.
- 231 ile 225 arasındaki fark: 231 – 225 = 6
- 256 ile 231 arasındaki fark: 256 – 231 = 25
Fark 6, 25’ten çok daha küçük olduğu için √231 sayısı, karesi 225 olan 15 sayısına daha yakındır.
6. Kutucuklarda verilen sayılara göre aşağıdaki ifadelerde bulunan noktalı yerlere, “rasyonel” veya “irrasyonel” kavramlarından uygun olanı yazınız.
Çözüm: Önce rasyonel ve irrasyonel sayı neydi, bir hatırlayalım. Kısaca, kök dışına tam olarak çıkabilen sayılar (√16=4 gibi), tam sayılar (1, 5 gibi) ve kesirler rasyoneldir. Kök dışına tam çıkamayan sayılar (√3, √13 gibi) ise irrasyoneldir.
Kutulardaki sayıları sınıflandıralım:
A = √3 → İrrasyonel
B = 1 → Rasyonel
C = √16 = 4 → Rasyonel
D = √13 → İrrasyonel
E = 5 → Rasyonel
F = √25 = 5 → Rasyonel
Şimdi soruları cevaplayalım:
- a. A ile B kutucuklarındaki sayıların toplamı, ………………… sayıdır.
A + B = √3 + 1. Bir irrasyonel sayı ile bir rasyonel sayının toplamı her zamanirrasyoneldir.
- b. C kutucuğundaki sayının F kutucuğundaki sayıya oranı, ………………… sayıdır.
C / F = √16 / √25 = 4 / 5. Bu bir kesir olduğu için, yani a/b şeklinde yazılabildiği için, sonuç rasyoneldir.
- c. E ile D kutucuklarındaki sayıların çarpımı, ………………… sayıdır.
E x D = 5 x √13 = 5√13. Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının çarpımı her zamanirrasyoneldir.
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Gördüğün gibi, adım adım ve sakin bir şekilde ilerleyince her sorunun üstesinden gelebiliriz. Başarılar dilerim!