Harika bir çalışma! Merhaba sevgili öğrencim, 8. sınıf matematik dersimize hoş geldin. Gönderdiğin görseldeki alıştırmaları senin için bir öğretmen gözüyle analiz ettim ve şimdi adım adım, kolayca anlayacağın bir dille çözeceğim. Kareköklü sayılarla çarpma işleminin ne kadar keyifli olduğunu göreceksin. Haydi başlayalım!
Alıştırmalar
1. Soru: Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarının birer doğal sayı olması için her bir seçenekteki sembolün yerine yazılabilecek sıfırdan farklı en küçük doğal sayı değerini bulunuz.
Unutma, bir kareköklü ifadeyi kendisiyle çarptığımızda kök ortadan kalkar ve içindeki sayı dışarı çıkar. Örneğin, √5 ⋅ √5 = 5 olur. Amacımız, her işlemde kök içinde sayı kalmamasını sağlamak!
Çözüm:
a) √▲ ⋅ 3√11
Adım 1: Bu işlemde kök içinde 11 sayısı var. Sonucun doğal sayı olması için √11 ifadesinden kurtulmalıyız.
Adım 2: √11’i yine √11 ile çarparsak sonuç 11 olur. Bu yüzden ▲ yerine gelmesi gereken en küçük doğal sayı 11‘dir.
Sağlamasını yapalım: √11 ⋅ 3√11 = 3 ⋅ (√11 ⋅ √11) = 3 ⋅ 11 = 33. Gördüğün gibi sonuç bir doğal sayı!b) √60 ⋅ 3√★
Adım 1: Önce √60 sayısını a√b şeklinde yazarak sadeleştirelim. 60 = 4 ⋅ 15 olduğundan, √60 = √(4 ⋅ 15) = 2√15 olur.
Adım 2: İşlemimiz şimdi 2√15 ⋅ 3√★ haline geldi. Kök içindeki 15’ten kurtulmak için, ★ yerine 15 yazmalıyız.c) √5 ⋅ √♦
Adım 1: Burada kök içinde 5 var. √5’ten kurtulmak için onu neyle çarpmalıyız? Tabii ki √5 ile!
Adım 2: Bu yüzden ♦ yerine gelmesi gereken en küçük doğal sayı 5‘tir.ç) √120 ⋅ 6√■
Adım 1: √120’yi sadeleştirelim. 120 = 4 ⋅ 30 olduğundan, √120 = √(4 ⋅ 30) = 2√30 olur.
Adım 2: İşlemimiz 2√30 ⋅ 6√■ oldu. Kök içindeki 30’dan kurtulmak için ■ yerine 30 yazmalıyız.d) √▼ ⋅ 7√8
Adım 1: √8’i sadeleştirelim. 8 = 4 ⋅ 2 olduğundan, √8 = √(4 ⋅ 2) = 2√2 olur.
Adım 2: İşlemimiz √▼ ⋅ 7 ⋅ (2√2) yani √▼ ⋅ 14√2 haline geldi. Kök içindeki 2’den kurtulmak için ▼ yerine 2 yazmalıyız.e) √✦ ⋅ √27
Adım 1: √27’yi sadeleştirelim. 27 = 9 ⋅ 3 olduğundan, √27 = √(9 ⋅ 3) = 3√3 olur.
Adım 2: İşlemimiz √✦ ⋅ 3√3 oldu. Kök içindeki 3’ten kurtulmak için ✦ yerine 3 yazmalıyız.
2. Soru: √48 ile çarpıldığında sonucu doğal sayı yapan beş sayı yazınız.
Çözüm:
Adım 1: Öncelikle bize verilen √48 sayısını en sade haline getirelim. 48 sayısı 16 ile 3’ün çarpımıdır. Bu yüzden √48 = √(16 ⋅ 3) = 4√3 olur.
Adım 2: Sayımızın köklü kısmı √3. O zaman bu sayıyı, içinde √3 çarpanı olan herhangi bir sayıyla çarparsak sonuç doğal sayı olur.
Adım 3: İşte sana beş tane örnek:
- √3 (En basit örnek. 4√3 ⋅ √3 = 4 ⋅ 3 = 12)
- 2√3 (4√3 ⋅ 2√3 = 8 ⋅ 3 = 24)
- 5√3 (4√3 ⋅ 5√3 = 20 ⋅ 3 = 60)
- √12 (Çünkü √12 = √(4⋅3) = 2√3 demektir. Yine aynı kapıya çıkar.)
- √75 (Çünkü √75 = √(25⋅3) = 5√3 demektir.)
3. Soru: Yukarıdaki kutucuklardan hangi ikisinde bulunan sayıların çarpımı bir doğal sayıdır?
Çözüm:
Adım 1: Kutulardaki sayıları tek tek en sade hallerine getirelim.
- I. √140 = √(4 ⋅ 35) = 2√35
- II. 11√5 (Bu zaten en sade halinde)
- III. 3√7 (Bu da en sade halinde)
- IV. √35 (Bu da en sade halinde)
Adım 2: Şimdi hangi ikilinin çarpımının doğal sayı olduğuna bakalım. Kök içleri aynı olan sayıları aramalıyız. Dikkatini çekti mi? I. ve IV. kutulardaki sayıların ikisinde de kök içinde 35 var!
Adım 3: I ve IV numaralı kutuları çarpalım:
(2√35) ⋅ (√35) = 2 ⋅ (√35 ⋅ √35) = 2 ⋅ 35 = 70
Sonuç 70, yani bir doğal sayı!
Sonuç:I ve IV numaralı kutucuklar.
4. Soru: Aşağıdaki çarpma işlemlerinden sonucu doğal sayı olanların başındaki kutucuğa “E”, olmayanların başındaki kutucuğa “H” yazınız.
Çözüm:
Haydi işlemleri sırayla yapalım ve karar verelim.
- [E] √56 ⋅ (1/√14) = √56 / √14 = √(56/14) = √4 = 2. (Sonuç doğal sayı)
- [H] (5/√243) ⋅ 81√5 = ? Önce √243’ü sadeleştirelim: √243 = √(81⋅3) = 9√3. İşlemimiz (5/9√3) ⋅ 81√5 = (5⋅81⋅√5)/(9√3) = 45√5/√3. Kökten kurtulmadı. (Sonuç doğal sayı değil)
- [H] 7√7 ⋅ √49 = 7√7 ⋅ 7 = 49√7. Kökten kurtulmadı. (Sonuç doğal sayı değil)
- [E] √75 ⋅ 9√3 = ? Önce √75’i sadeleştirelim: √75 = √(25⋅3) = 5√3. İşlemimiz 5√3 ⋅ 9√3 = (5⋅9)⋅(√3⋅√3) = 45 ⋅ 3 = 135. (Sonuç doğal sayı)
- [E] 21√2 ⋅ √32 = ? Önce √32’yi sadeleştirelim: √32 = √(16⋅2) = 4√2. İşlemimiz 21√2 ⋅ 4√2 = (21⋅4)⋅(√2⋅√2) = 84 ⋅ 2 = 168. (Sonuç doğal sayı)
- [H] √63 ⋅ 7√3 = ? Önce √63’ü sadeleştirelim: √63 = √(9⋅7) = 3√7. İşlemimiz 3√7 ⋅ 7√3 = (3⋅7)⋅(√7⋅√3) = 21√21. Kökten kurtulmadı. (Sonuç doğal sayı değil)
- [E] √40 ⋅ 3√10 = ? Önce √40’ı sadeleştirelim: √40 = √(4⋅10) = 2√10. İşlemimiz 2√10 ⋅ 3√10 = (2⋅3)⋅(√10⋅√10) = 6 ⋅ 10 = 60. (Sonuç doğal sayı)
- [H] √28 ⋅ √44 = ? Sadeleştirelim: √28 = 2√7 ve √44 = 2√11. İşlemimiz 2√7 ⋅ 2√11 = 4√77. Kökten kurtulmadı. (Sonuç doğal sayı değil)
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Kareköklü sayılarla işlem yapmak aslında bir bulmaca çözmek gibidir. Pratik yaptıkça daha da hızlanacaksın. Başarılar dilerim!