Harika sorular! Hadi bu soruları birlikte, adım adım ve anlayarak çözelim. Ben senin 8. sınıf matematik öğretmeninim ve bu konuları en iyi şekilde anlaman için buradayım.
4. Yandaki ABC üçgeninin kenar uzunluklarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
Merhaba sevgili öğrencim, bu soruyu çözmek için üçgenlerdeki çok temel bir kuralı hatırlamamız gerekiyor: Bir üçgende büyük açının karşısında uzun kenar, küçük açının karşısında ise kısa kenar bulunur. Bu kuralı aklımızda tutarak soruyu çözelim.
Adım 1: Üçgenin verilmeyen açısını bulalım.
Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman 180°‘dir. Bize A ve C açıları verilmiş. Hadi B açısını bulalım.
- A açısı = 84°
- C açısı = 42°
- B açısı = 180° – (84° + 42°)
- B açısı = 180° – 126°
- B açısı = 54°
Adım 2: Açıları küçükten büyüğe doğru sıralayalım.
Şimdi üçgenin tüm açılarını biliyoruz:
- C açısı = 42°
- B açısı = 54°
- A açısı = 84°
Sıralamamız: C açısı < B açısı < A açısı
Adım 3: Kenarları açı sıralamasına göre sıralayalım.
Şimdi kuralımızı uygulama zamanı! Her açının karşısındaki kenarı bularak sıralayacağız.
- En küçük açı olan C’nin (42°) karşısında c kenarı var.
- Ortanca açı olan B’nin (54°) karşısında b kenarı var.
- En büyük açı olan A’nın (84°) karşısında a kenarı var.
Bu durumda kenarların sıralaması da açıların sıralamasıyla aynı olacaktır:
c < b < a
Şıklara baktığımızda doğru cevabın B seçeneği olduğunu görüyoruz.
5. Yandaki şekilde ADC ve ABC birer üçgendir. |AD|=8cm, |DC|=10 cm, |AB|=5 cm ve |BC|=6 cm olduğuna göre, |AC|’nun “cm” biriminde alabileceği doğal sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Bu soruda “üçgen eşitsizliği” kuralını kullanacağız. Unutma, bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farklarının mutlak değerinden ise büyük olmak zorundadır. Bu kuralı her iki üçgen için de uygulayacağız.
Haydi |AC| kenarına x diyelim ve bu kenarın alabileceği değer aralığını bulalım.
Adım 1: ADC üçgeni için üçgen eşitsizliğini yazalım.
ADC üçgeninde kenarlar 8, 10 ve x.
- Diğer iki kenarın farkı: 10 – 8 = 2
- Diğer iki kenarın toplamı: 10 + 8 = 18
Bu durumda x, bu iki değer arasında olmalıdır: 2 < x< 18
Adım 2: ABC üçgeni için üçgen eşitsizliğini yazalım.
ABC üçgeninde kenarlar 5, 6 ve x.
- Diğer iki kenarın farkı: 6 – 5 = 1
- Diğer iki kenarın toplamı: 6 + 5 = 11
Bu durumda x, bu iki değer arasında olmalıdır: 1 < x< 11
Adım 3: İki eşitsizliğin ortak çözüm aralığını bulalım.
AC kenarı (yani x) her iki üçgenin de ortak kenarı olduğu için her iki eşitsizliği de sağlamak zorundadır.
- Birinci eşitsizlik: 2 < x< 18
- İkinci eşitsizlik: 1 < x< 11
Ortak aralığı bulmak için alt sınırların büyüğünü ve üst sınırların küçüğünü alırız.
- Alt sınırlar 1 ve 2. Büyüğü 2‘dir.
- Üst sınırlar 18 ve 11. Küçüğü 11‘dir.
Demek ki x‘in alabileceği değerler şu aralıkta olmalı: 2 < x< 11
Adım 4: Bu aralıktaki doğal sayıları bulup toplayalım.
x‘in alabileceği doğal sayı değerleri: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Şimdi bu sayıları toplayalım:
3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 52
Sonuç olarak, doğru cevap A seçeneğidir.
6. Yandaki şekilde DAC ve BAC birer üçgendir. m(ADC) = 51°, m(DAC) = 80°, m(CAB) = 35° ve m(CBA) = 75° olduğuna göre, şekildeki en uzun kenar hangisidir?
Harika bir karşılaştırma sorusu! Yine “büyük açının karşısında uzun kenar bulunur” kuralını kullanacağız. Ama bu sefer iki üçgeni birbiriyle karşılaştırmamız gerekecek.
Adım 1: Her üçgenin verilmeyen açılarını bulalım.
DAC üçgeni için:
- m(ACD) = 180° – (80° + 51°) = 180° – 131° = 49°
BAC üçgeni için:
- m(BCA) = 180° – (75° + 35°) = 180° – 110° = 70°
Adım 2: Her üçgenin kenarlarını kendi içinde sıralayalım.
DAC üçgeninde:
Açıları: 80° > 51° > 49°
Karşılarındaki kenarlar: [DC] > [AC] > [AD]
(Bu üçgenin en uzun kenarı [DC]’dir.)
BAC üçgeninde:
Açıları: 75° > 70° > 35°
Karşılarındaki kenarlar: [AC] > [BC] > [AB]
(Bu üçgenin en uzun kenarı [AC]’dir.)
Adım 3: İki sıralamayı birleştirerek en uzun kenarı bulalım.
Elimizde iki önemli bilgi var:
1. DAC üçgeninden: [DC] > [AC]
2. BAC üçgeninden: [AC] > [BC] ve [AC] > [AB]
Gördüğün gibi, [DC] kenarı, diğer üçgenin en uzun kenarı olan [AC]’den bile daha uzun. Bu durumda, şekildeki tüm kenarları karşılaştırdığımızda en uzun olanı [DC] kenarıdır.
Doğru cevap C seçeneğidir.
7. Yandaki ABC üçgenine ve kutucuklarda verilen kenarlara göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Bu soruyu çözmeden önce şekildeki tüm açıları bulalım. Bu işimizi çok kolaylaştıracak!
Adım 1: Eksik açıları bulalım.
- Bize m(BAC) = 90° ve m(B) = 52° verilmiş. Önce büyük ABC üçgenindeki C açısını bulalım.
- m(C) = 180° – (90° + 52°) = 180° – 142° = 38°
- Şimdi soldaki AKB dik üçgenine bakalım. Açıları 90° ve 52°’dir.
- m(BAK) = 180° – (90° + 52°) = 180° – 142° = 38°
- Son olarak sağdaki AKC dik üçgenine bakalım. Açıları 90° ve 38°’dir.
- m(KAC) = 180° – (90° + 38°) = 180° – 128° = 52°
Artık tüm açılara hakimiz. Haydi soruları cevaplayalım.
a. AKC dik üçgenindeki en uzun kenar, hangi kutucukta verilmiştir?
Bir dik üçgende en uzun kenar her zaman 90 derecenin karşısındaki kenardır, yani hipotenüstür. AKC üçgeninde 90 derecelik K açısının karşısında [AC] kenarı vardır.
Sonuç: [AC] (Kutucuk 2)
b. AKB dik üçgenindeki en uzun kenar, hangi kutucukta verilmiştir?
Aynı kural burada da geçerli. AKB üçgeninde 90 derecelik K açısının karşısında [AB] kenarı vardır.
Sonuç: [AB] (Kutucuk 1)
c. ABC üçgenindeki en kısa kenar, hangi kutucukta verilmiştir?
Büyük ABC üçgenine odaklanalım. En kısa kenar, en küçük açının karşısındadır. Açıları hatırlayalım: A=90°, B=52°, C=38°. En küçük açı 38° ile C açısıdır. C açısının karşısındaki kenar ise [AB]‘dir.
Sonuç: [AB] (Kutucuk 1)
ç. ABC üçgenindeki en uzun kenar, hangi kutucukta verilmiştir?
Büyük ABC üçgeninde en uzun kenar, en büyük açının karşısındadır. En büyük açı 90° ile A açısıdır. A açısının karşısındaki kenar ise [BC]‘dir.
Sonuç: [BC] (Kutucuk 6)
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Unutma, geometri sorularında en önemli şey kuralları bilmek ve adım adım ilerlemektir. Başarılar dilerim!