Harika bir çalışma sayfası! Merhaba sevgili öğrencim, 8. sınıf matematik konularının en önemlilerinden olan “Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler” ile ilgili bu soruları birlikte, adım adım çözelim. Emin ol, bu konuyu anladığında matematik daha da keyifli gelecek. Haydi başlayalım!
17. Soru: Aşağıdaki eşitliklerin özdeşlik olabilmesi için ☐ yerine uygun sayıları yazınız.
Bu soruda bizden tam kare ve iki kare farkı özdeşliklerini kullanarak boşlukları doldurmamız isteniyor. Formülleri bir hatırlayalım:
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a – b)² = a² – 2ab + b²
- a² – b² = (a – b)(a + b)
- a) (2x – 4)² = 4x² – ☐x + 16
Çözüm: Bu ifade (a – b)² özdeşliğine benziyor. Burada ‘a’ yerine 2x, ‘b’ yerine 4 gelmiş.
Adım 1: Özdeşliğin kuralı neydi? Birincinin karesi, birinci ile ikincinin çarpımının 2 katı, ikincinin karesi.
Adım 2: Ortadaki terim, -2ab‘ye karşılık gelir. Yani -2 ∙ (2x) ∙ (4) = -16x. Eşitlikte – ☐x olarak verilmiş. Bu durumda kutucuğa 16 gelmelidir.
Sonuç: ☐ = 16
- b) 73² – ☐² = (73 – 72) ∙ (73 + 72)
Çözüm: Bu ifade de iki kare farkı özdeşliğidir. a² – b² = (a – b)(a + b).
Adım 1: Eşitliğin sağ tarafına baktığımızda (73 – 72) ve (73 + 72) görüyoruz. Bu, formüldeki ‘a’nın 73, ‘b’nin ise 72 olduğunu gösterir.
Adım 2: Öyleyse eşitliğin sol tarafı a² – b² yani 73² – 72² olmalıdır.
Sonuç: ☐ = 72
- c) (5 + 2x)² = 25 + 20x + ☐x²
Çözüm: Bu bir (a + b)² tam kare özdeşliğidir. ‘a’ yerine 5, ‘b’ yerine 2x gelmiş.
Adım 1: Açılımın son terimi ikincinin karesi, yani b² olmalıdır.
Adım 2: Burada ikinci terimimiz 2x. (2x)² = 2x ∙ 2x = 4x². Eşitlikte ☐x² olarak verilmiş.
Sonuç: ☐ = 4
- ç) (a + 8)² = a² + 16a + ☐
Çözüm: Yine bir (a + b)² özdeşliği. ‘a’ yerine a, ‘b’ yerine 8 gelmiş.
Adım 1: Açılımın son terimi ikincinin karesi, yani b² olmalıdır.
Adım 2: İkinci terimimiz 8 olduğuna göre, 8’in karesini almalıyız. 8² = 64.
Sonuç: ☐ = 64
18. Soru: Aşağıdaki eşitliklerin özdeşlik olabilmesi için noktalı yerlere uygun cebirsel ifadeleri yazınız.
Burada da öğrendiğimiz özdeşlikleri doğrudan uygulamamız gerekiyor. Dikkatlice yapalım.
- a) (2x – 1)² = 4x² – 4x + 1
- b) 25x² – 9y² = (5x – 3y)(5x + 3y)
- c) (x + 5)² = x² + 10x + 25
- ç) 3x² – 27 = 3(x² – 9) = 3(x – 3)(x + 3) (Unutma, önce ortak çarpan parantezine alırız!)
- d) (5x + 2)² = 25x² + 20x + 4
- e) (3x – 4)(3x + 4) = 9x² – 16
19. Soru: Δx² – 14x + 49 = (x – 7) ∙ (x – 7) Yukarıdaki eşitliğin özdeşlik olabilmesi için Δ yerine kaç yazılmalıdır?
Çözüm: Bu soruda eşitliğin sağ tarafını açarak sol tarafla karşılaştıracağız.
Adım 1: Eşitliğin sağ tarafındaki (x – 7) ∙ (x – 7) ifadesi, (x – 7)² demektir. Bu bir tam kare özdeşliğidir.
Adım 2: (x – 7)² ifadesini açalım: (x)² – 2∙x∙7 + 7² = x² – 14x + 49.
Adım 3: Şimdi bulduğumuz bu sonucu sorudaki ifadenin sol tarafıyla karşılaştıralım:
Δx² – 14x + 49 = x² – 14x + 49
Gördüğün gibi, x²’nin katsayısı olan Δ’nın yerinde 1 var.
Sonuç: Δ = 1 (Yani C şıkkı)
20. Soru: Aşağıdaki cebirsel ifadeleri çarpanlara ayırarak noktalı yerlere uygun çarpımları yazınız.
Çarpanlara ayırma, bir ifadeyi çarpım şeklinde yazmaktır. En sık kullandığımız yöntemler ortak çarpan parantezine alma ve özdeşliklerden yararlanmadır.
- a) 20a + 15 = 5(4a + 3) (Her iki terim de 5’e bölünüyor)
- b) 16 – 32y = 16(1 – 2y) (Her iki terim de 16’ya bölünüyor)
- c) 121x² – 100 = (11x – 10)(11x + 10) (İki kare farkı: (11x)² – 10²)
- ç) 3x² – 9x = 3x(x – 3) (Ortak çarpan hem 3 hem de x)
- d) 10x – 5y = 5(2x – y) (Ortak çarpan 5)
- e) 25a² – 81b² = (5a – 9b)(5a + 9b) (İki kare farkı: (5a)² – (9b)²)
21. Soru: Aşağıdaki çarpanlara ayırma işlemlerine göre ☐ yerine uygun sayıları yazınız.
Bu soruda tam kare ifadelerin yapısını iyi tanımamız gerekiyor. a² ± 2ab + b² = (a ± b)²
- a) x² + ☐x + 4 = (x + 2)² → Ortadaki terim 2∙x∙2 = 4x olmalı. ☐ = 4
- b) 9x² + ☐x + 4 = (3x + 2)² → Ortadaki terim 2∙3x∙2 = 12x olmalı. ☐ = 12
- c) 16x² + 8x + ☐ = (4x + 1)² → Son terim 1² = 1 olmalı. ☐ = 1
- ç) ☐x² – 4x + 1 = (2x – 1)² → İlk terim (2x)² = 4x² olmalı. ☐ = 4
- d) 9x² – ☐x + 1 = (3x – 1)² → Ortadaki terim -2∙3x∙1 = -6x olmalı. ☐ = 6
- e) 4x² + 12x + ☐ = (2x + 3)² → Son terim 3² = 9 olmalı. ☐ = 9
22. Soru: x + y = 5 ve x ∙ y = 10 ise x² + y² cebirsel ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm: Bu soru tipi sınavlarda sıkça karşına çıkabilir. Çözüm için tam kare özdeşliğinden faydalanacağız.
Adım 1: (x + y)² = x² + 2xy + y² formülünü hatırlayalım.
Adım 2: Soruda bize verilen (x + y) ve (x ∙ y) değerlerini bu formülde yerlerine yazalım.
(5)² = x² + 2(10) + y²
Adım 3: İşlemleri yapalım.
25 = x² + 20 + y²
Adım 4: Bizden istenen x² + y² ifadesini yalnız bırakmak için 20’yi eşitliğin diğer tarafına atalım (işareti değişerek geçer).
25 – 20 = x² + y²
5 = x² + y²
Sonuç: x² + y² = 5
23. Soru: Alanları içlerine yazılan aşağıdaki dikdörtgenlerin verilmeyen kenar uzunluklarını noktalı yerlere yazınız.
Harika bir uygulama sorusu! Biliyoruz ki Dikdörtgenin Alanı = (Kısa Kenar) ∙ (Uzun Kenar). Bize alanı ve bir kenarı verdiğine göre, alanı çarpanlarına ayırdığımızda diğer kenarı bulmuş oluruz.
- a) Alan = (x² – 36) br², Bir Kenar = (x – 6) br
Çözüm: Alan ifadesi x² – 36, iki kare farkı özdeşliğidir. x² – 6² şeklinde yazılabilir.
Çarpanları: (x – 6)(x + 6).
Kenarlardan biri (x – 6) ise, diğeri (x + 6) br olmalıdır. - b) Alan = (9a² – 4) br², Bir Kenar = (3a – 2) br
Çözüm: Alan ifadesi 9a² – 4, yani (3a)² – 2² şeklindedir.
Çarpanları: (3a – 2)(3a + 2).
Kenarlardan biri (3a – 2) ise, diğeri (3a + 2) br olmalıdır. - c) Alan = (y² – 9) br², Bir Kenar = (y – 3) br
Çözüm: Alan ifadesi y² – 9, yani y² – 3² şeklindedir.
Çarpanları: (y – 3)(y + 3).
Kenarlardan biri (y – 3) ise, diğeri (y + 3) br olmalıdır.
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Unutma, bu konunun temeli özdeşlikleri iyi bilmek ve bol bol pratik yapmaktır. Başarılar dilerim!