Harika bir çalışma! Merhaba sevgili 8. sınıf öğrencileri, ben sizin matematik öğretmeninizim. Şimdi bu kareköklü ifadelerle ilgili alıştırmaları birlikte, adım adım çözeceğiz. Unutmayın, kareköklü bir sayının hangi doğal sayılar arasında olduğunu bulmak için, o sayıya en yakın tam kare sayıları düşünmemiz yeterli. Haydi başlayalım!
Soru 1:Aşağıda verilen kareköklü ifadelerin değerlerinin hangi ardışık iki doğal sayı arasında olduğunu belirleyiniz.
Bu soruda yapmamız gereken şey çok basit. Karekök içindeki sayıya bakacağız ve bu sayıdan küçük en büyük tam kare sayı ile bu sayıdan büyük en küçük tam kare sayıyı bulacağız. Bu tam kare sayıların karekökleri, aradığımız ardışık iki doğal sayıyı bize verecektir.
a) √7
Adım 1: 7’den küçük en büyük tam kare sayı 4’tür (yani 2²). 7’den büyük en küçük tam kare sayı ise 9’dur (yani 3²).
Adım 2: Bu durumda ifademizi şöyle yazabiliriz: √4 < √7 < √9.
Sonuç: Karekök dışına çıkardığımızda 2 < √7 < 3 olur. Yani √7 sayısı, 2 ile 3 arasındadır.
b) √23
Adım 1: 23’ten küçük en büyük tam kare sayı 16’dır (4²). 23’ten büyük en küçük tam kare sayı ise 25’tir (5²).
Adım 2: İfademizi yazalım: √16 < √23 < √25.
Sonuç: Buradan da 4 < √23 < 5 sonucuna ulaşırız. Yani √23 sayısı, 4 ile 5 arasındadır.
c) √53
Adım 1: 53’e en yakın tam kare sayılar 49 (7²) ve 64 (8²)’tür.
Adım 2: Eşitsizliğimiz: √49 < √53 < √64.
Sonuç: Bu da demek oluyor ki, 7 < √53 < 8. Yani √53 sayısı, 7 ile 8 arasındadır.
ç) √27
Adım 1: 27’ye en yakın tam kare sayılar 25 (5²) ve 36 (6²)’dır.
Adım 2: Eşitsizliğimiz: √25 < √27 < √36.
Sonuç: Böylece 5 < √27 < 6 buluruz. Yani √27 sayısı, 5 ile 6 arasındadır.
d) √90
Adım 1: 90’a en yakın tam kare sayılar 81 (9²) ve 100 (10²)’dür.
Adım 2: Eşitsizliğimiz: √81 < √90 < √100.
Sonuç: Buradan da 9 < √90 < 10 sonucuna varırız. Yani √90 sayısı, 9 ile 10 arasındadır.
e) √104
Adım 1: 104’e en yakın tam kare sayılar 100 (10²) ve 121 (11²)’dir.
Adım 2: Eşitsizliğimiz: √100 < √104 < √121.
Sonuç: Bu da 10 < √104 < 11 demektir. Yani √104 sayısı, 10 ile 11 arasındadır.
Soru 2:Aşağıda verilen kareköklü ifadelerin değerlerinin hangi ardışık iki doğal sayı arasında olduğunu bularak noktalı yerlere yazınız. Verilen kareköklü ifadenin değeri hangi doğal sayıya daha yakınsa o sayıyı yuvarlak içine alınız.
Bu soruda ilk sorudaki gibi önce sayının hangi iki doğal sayı arasında olduğunu bulacağız. Sonra da hangisine daha yakın olduğunu belirleyeceğiz. Yakınlığı bulmak için karekök içindeki sayının, bulduğumuz tam kare sayılara olan uzaklığına bakacağız. Hangi tam kareye daha yakınsa, onun karekökü olan doğal sayıya da daha yakındır.
a) ……….. < √252 < ...........
Adım 1: 252’ye en yakın tam kareleri düşünelim. 15’in karesi 225, 16’nın karesi 256’dır. Demek ki √252, 15 ile 16 arasındadır. Boşlukları dolduralım: 15< √252 < 16.
Adım 2: Şimdi hangisine daha yakın, ona bakalım. 252’nin 225’e olan uzaklığı: 252 – 225 = 27. 252’nin 256’ya olan uzaklığı: 256 – 252 = 4.
Sonuç: 4, 27’den daha küçük olduğu için √252 sayısı √256’ya, yani 16‘ya daha yakındır. O zaman 16’yı yuvarlak içine alıyoruz.
b) ……….. < √30 < ...........
Adım 1: 30’a en yakın tam kareler 25 (5²) ve 36 (6²)’dır. Boşlukları dolduralım: 5< √30 < 6.
Adım 2: Uzaklıklara bakalım. 30 – 25 = 5. 36 – 30 = 6.
Sonuç: 5, 6’dan küçük olduğu için √30 sayısı √25’e, yani 5‘e daha yakındır. O zaman 5’i yuvarlak içine alıyoruz.
c) ……….. < √5 < ...........
Adım 1: 5’e en yakın tam kareler 4 (2²) ve 9 (3²)’dur. Boşlukları dolduralım: 2< √5 < 3.
Adım 2: Uzaklıklara bakalım. 5 – 4 = 1. 9 – 5 = 4.
Sonuç: 1, 4’ten küçük olduğu için √5 sayısı √4’e, yani 2‘ye daha yakındır. O zaman 2’yi yuvarlak içine alıyoruz.
ç) ……….. < √7 < ...........
Adım 1: 7’ye en yakın tam kareler 4 (2²) ve 9 (3²)’dur. Boşlukları dolduralım: 2< √7 < 3.
Adım 2: Uzaklıklara bakalım. 7 – 4 = 3. 9 – 7 = 2.
Sonuç: 2, 3’ten küçük olduğu için √7 sayısı √9’a, yani 3‘e daha yakındır. O zaman 3’ü yuvarlak içine alıyoruz.
Soru 3:Kareköklü ifadeler ile bu ifadelerin değerlerinin en yakın olduğu doğal sayılar eşleştirildiğinde hangi doğal sayı açıkta kalır?
Bu soruda da 2. sorudaki mantığı kullanacağız. Soldaki her bir kareköklü ifadenin en yakın olduğu doğal sayıyı bulup sağdaki sayılarla eşleştireceğiz. Bakalım hangi sayı tek başına kalacak.
√12: √9 (yani 3) ile √16 (yani 4) arasındadır.
12’nin 9’a uzaklığı: 12 – 9 = 3.
12’nin 16’ya uzaklığı: 16 – 12 = 4.
Daha yakın olduğu sayı 3‘tür.√42: √36 (yani 6) ile √49 (yani 7) arasındadır.
42’nin 36’ya uzaklığı: 42 – 36 = 6.
42’nin 49’a uzaklığı: 49 – 42 = 7.
Daha yakın olduğu sayı 6‘dır.√30: √25 (yani 5) ile √36 (yani 6) arasındadır.
30’un 25’e uzaklığı: 30 – 25 = 5.
30’un 36’ya uzaklığı: 36 – 30 = 6.
Daha yakın olduğu sayı 5‘tir.√18: √16 (yani 4) ile √25 (yani 5) arasındadır.
18’in 16’ya uzaklığı: 18 – 16 = 2.
18’in 25’e uzaklığı: 25 – 18 = 7.
Daha yakın olduğu sayı 4‘tür.Eşleştirmeleri yapalım:
√12 → 3
√42 → 6
√30 → 5
√18 → 4
Sonuç: Gördüğümüz gibi sağdaki kutucuklarda yer alan 3, 4, 5 ve 6 sayıları eşleşti. Ancak 7 sayısı hiçbir kareköklü ifade ile eşleşmedi.
Açıkta kalan sayı 7‘dir.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Kareköklü sayılarla işlem yapmak aslında bir bulmaca çözmek gibidir. Bol bol pratik yaparak bu konuda ustalaşabilirsiniz. Başarılar dilerim!