Harika bir çalışma! Sevgili 8. sınıf öğrencilerim, bu alıştırmaları birlikte adım adım çözeceğiz. Geometrinin bu temel konularını anladığınızda, daha karmaşık soruların ne kadar kolaylaştığını göreceksiniz. Haydi başlayalım!
Soru 1:Yandaki ABC geniş açılı üçgeninde verilenlere göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Çözüm:
Bu soruda üçgenin yardımcı elemanlarını tanımamız isteniyor. Bunlar yükseklik, açıortay ve kenarortaydı. Hadi tanımlarını hatırlayarak şıklara bakalım.
a. ABC üçgenindeki hangi doğru parçası yüksekliktir?
Adım 1: Yüksekliğin ne olduğunu hatırlayalım. Yükseklik, bir köşeden karşı kenara (veya kenarın uzantısına) indirilen dik doğru parçasıdır. Dik olduğunu da genellikle küçük bir kare sembolü ile anlarız.
Adım 2: Şekle baktığımızda, A köşesinden BC kenarının uzantısına indirilen ve H noktasında dik kesişen [AH] doğru parçasını görüyoruz. Oradaki diklik sembolü bize ipucunu veriyor.
Sonuç: Bu yüzden ABC üçgeninin BC kenarına ait yüksekliği [AH] doğru parçasıdır.
b. ABC üçgeninde bulunan [AL], üçgenin hangi elemanını belirtir?
Adım 1: Kenarortayın ne olduğunu hatırlayalım. Kenarortay, bir köşeyi, karşısındaki kenarın orta noktası ile birleştiren doğru parçasıdır.
Adım 2: Soruda bize |BL| = |LC| bilgisi verilmiş. Bu, L noktasının [BC] kenarını tam ortadan ikiye böldüğü anlamına gelir. Yani L noktası, BC kenarının orta noktasıdır.
Adım 3: [AL] doğru parçası da A köşesini, karşı kenarın orta noktası olan L ile birleştiriyor.
Sonuç: Bu nedenle [AL] doğru parçası, üçgenin kenarortayıdır.
c. ABC üçgeninde bulunan [AK], üçgenin hangi elemanını belirtir?
Adım 1: Açıortayın ne olduğunu hatırlayalım. Açıortay, bir köşedeki açıyı iki eş açıya bölen doğru parçasıdır.
Adım 2: Soruda bize m(BÂK) = m(CÂK) bilgisi verilmiş. Bu, [AK] doğru parçasının A köşesindeki açıyı (BÂC açısını) iki eşit parçaya ayırdığı anlamına gelir.
Sonuç: Dolayısıyla [AK] doğru parçası, üçgenin açıortayıdır.
Soru 2:Aşağıdaki ifadelerden doğru olanların başındaki kutucuğa “D”, yanlış olanların başındaki kutucuğa “Y” yazınız.
Çözüm:
Bu soruda üçgenlerin yardımcı elemanlarının kesişim noktalarıyla ilgili bilgilerimizi test edeceğiz. Cümleleri tek tek inceleyelim.
[ D ]Dik üçgendeki yükseklikler, dik açının köşesinde kesişir.
Açıklama: Bu ifade doğrudur. Çünkü dik üçgende, dik kenarlar zaten birbirinin yüksekliğidir. Üçüncü yükseklik de dik köşeden hipotenüse çizilir. Dolayısıyla üç yükseklik de dik açının olduğu köşede buluşur.
[ Y ]Her üçgende açıortaylar, üçgenin dış bölgesindeki bir noktada kesişir.
Açıklama: Bu ifade yanlıştır. Açıortaylar, üçgenin türü ne olursa olsun (dar, dik, geniş) her zaman üçgenin iç bölgesinde bir noktada kesişir. Bu noktaya “iç teğet çemberin merkezi” denir.
[ D ]Geniş açılı üçgenlerde, yüksekliklerden ikisi üçgenin dış bölgesindedir.
Açıklama: Bu ifade doğrudur. Geniş açılı bir üçgen hayal edin. Sadece geniş açının karşısındaki kenara ait yükseklik üçgenin içinde kalır. Diğer iki dar açıdan çizilen yükseklikler, karşı kenarların uzantılarına indiği için üçgenin dışında kalır. Yüksekliklerin uzantıları ise üçgenin dışında bir noktada kesişir.
[ Y ]Dar açılı üçgenlerde yükseklikler, üçgenin dış bölgesinde kesişir.
Açıklama: Bu ifade yanlıştır. Dar açılı üçgenlerde bütün yükseklikler üçgenin içindedir ve kesiştikleri nokta da (diklik merkezi) yine üçgenin iç bölgesindedir.
[ D ]İkizkenar üçgenlerde, eş açıların karşısındaki kenarlara ait kenarortaylar eştir.
Açıklama: Bu ifade doğrudur. İkizkenar üçgenin bir özelliğidir bu. Eşit olan kenarlara çizilen kenarortayların uzunlukları da birbirine eşit olur.
Soru 3:Kareli kâğıttaki BAC ikizkenar üçgeninin kenarortaylarını çizerek kenarortayların kesişim noktasını belirleyiniz.
Çözüm:
Kenarortayları çizmek için önce her kenarın orta noktasını bulmalıyız.
Adım 1:BC kenarının orta noktasını bulalım. B noktası soldan 4 birim, C noktası sağdan 4 birim uzaklıkta. BC kenarı toplam 8 birim uzunluğunda. Orta noktası tam ortadaki, yani A köşesinin hizasındaki noktadır. Bu noktaya D diyelim. Şimdi A köşesi ile D noktasını birleştirelim. İşte ilk kenarortayımız [AD].
Adım 2:AC kenarının orta noktasını bulalım. A noktasından C noktasına gitmek için 4 birim sağa, 4 birim aşağı gitmemiz gerekiyor. Orta noktayı bulmak için yarısını gidelim: 2 birim sağa, 2 birim aşağı. Bu noktaya E diyelim. Şimdi karşı köşe olan B ile E noktasını birleştirelim. İkinci kenarortayımız [BE] oldu.
Adım 3:AB kenarının orta noktasını bulalım. A noktasından B noktasına gitmek için 4 birim sola, 4 birim aşağı gitmemiz gerekiyor. Orta noktayı bulmak için yarısını gidelim: 2 birim sola, 2 birim aşağı. Bu noktaya F diyelim. Şimdi karşı köşe olan C ile F noktasını birleştirelim. Üçüncü kenarortayımız da [CF].
Sonuç: Bu üç kenarortayı ([AD], [BE], [CF]) çizdiğimizde, hepsinin tek bir noktada kesiştiğini göreceksiniz. Bu kesişim noktasına üçgenin ağırlık merkezi denir.
Soru 4:İzometrik kâğıttaki KLM eşkenar üçgeninin açıortay, kenarortay ve yüksekliklerini inşa ediniz.
Çözüm:
Bu soru çok özel ve güzel bir bilgiyi hatırlatıyor bize.
Adım 1: Unutmayalım ki eşkenar üçgende, bir köşeden karşı kenara çizilen yükseklik, aynı zamanda o köşenin açıortayı ve o kenarın kenarortayıdır. Yani üçü de aynı doğru parçasıdır!
Adım 2: K köşesinden başlayalım. LM kenarının tam orta noktasını bulalım. Bu nokta, K’nin tam altındaki noktadır. Bu noktaya N diyelim.
Adım 3: K ile N’yi birleştiren [KN] doğru parçasını çizelim.
Sonuç: İşte bu çizdiğimiz [KN] doğru parçası;
- LM kenarına ait yüksekliktir (çünkü dik iner).
- K açısına ait açıortaydır (60 dereceyi 30-30 böler).
- LM kenarına ait kenarortaydır (kenarı ikiye böler).
Aynı işlemi L ve M köşeleri için de yapabiliriz. Her köşeden çizilen bu özel doğru parçaları tek bir doğru parçası olacaktır.
Soru 5:Noktalı kâğıda bir dik üçgen çiziniz. Çizdiğiniz dik üçgendeki yüksekliklerin kesişim noktasını belirleyiniz.
Çözüm:
Bu soruyu 2. sorudaki ilk maddede aslında cevaplamıştık. Şimdi çizerek görelim.
Adım 1: Noktalı kâğıda bir dik üçgen çizelim. Köşeleri A, B, C olsun ve B köşesi 90 derece olsun. Yani [AB] kenarı ile [BC] kenarı birbirine dik olsun.
Adım 2: Şimdi bu üçgenin yüksekliklerini bulalım.
- BC kenarına ait yükseklik: A köşesinden BC kenarına inen dikmedir. Bu zaten [AB] kenarının kendisidir.
- AB kenarına ait yükseklik: C köşesinden AB kenarına inen dikmedir. Bu da zaten [BC] kenarının kendisidir.
- AC (hipotenüs) kenarına ait yükseklik: B köşesinden AC kenarına bir dikme çizeriz. Buna da [BH] diyelim.
Adım 3: Bu üç yüksekliğin ([AB], [BC] ve [BH]) nerede kesiştiğine bakalım. [AB] ve [BC] zaten B köşesinde kesişiyor. [BH] da B köşesinden başladığı için o da diğerleriyle B köşesinde kesişir.
Sonuç: Dik üçgende yüksekliklerin kesişim noktası (diklik merkezi), her zaman 90 derecelik açının olduğu köşedir.
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Unutmayın, geometri görmek ve çizmekle öğrenilir. Bol bol pratik yapın! Başarılar dilerim.