Harika bir çalışma! Merhaba sevgili öğrencim, gönderdiğin alıştırma sayfasındaki soruları senin için analiz ettim ve adım adım çözeceğim. Bu konular 8. sınıfın en önemli konularından, o yüzden dikkatle takip etmeni istiyorum. Anlamadığın bir yer olursa çekinme, tekrar üzerinden geçeriz. Haydi başlayalım!
Soru 1: Aşağıda verilen şemalardaki boş kutucuklara uygun cebirsel ifadeleri yazınız.
Bu soruda çarpan ağacı yöntemini kullanarak ifadeleri en temel çarpanlarına kadar ayırmamız isteniyor. Tıpkı sayılarda yaptığımız gibi, şimdi de cebirsel ifadelerle yapacağız.
a)
Adım 1: En üstteki kutucukta 2x³ – 18x ifadesi var. İlk olarak bu ifadede ortak bir çarpan var mı diye bakmalıyız. Her iki terimde de hem ‘2’ sayısı hem de ‘x’ değişkeni ortak. O zaman bu ifadeyi 2x ortak parantezine alabiliriz.
2x³ – 18x = 2x(x² – 9)
Bu durumda şemadaki ilk satırın boş kutucuğuna x² – 9 ifadesi gelmelidir.
Adım 2: Şimdi elimizde x² – 9 ifadesi var. Bu ifade sana bir yerden tanıdık geliyor mu? Evet, bu bir iki kare farkı özdeşliğidir! Yani a² – b² = (a – b)(a + b) kuralını kullanacağız. Burada a yerine ‘x’, b yerine ise ‘3’ gelmiş (çünkü 9, 3’ün karesidir).
x² – 9 = (x – 3)(x + 3)
Bu durumda en alttaki iki boş kutucuğa da (x – 3) ve (x + 3) ifadeleri gelir.
b)
Adım 1: Bu şemada ise bize çarpanlar verilmiş ve en baştaki ifadeyi bulmamız isteniyor. İkinci satırdaki kutucuklarda ‘x’ ve ‘x² – 121’ var. Bu ikisini çarparak en üstteki boş kutucuğu bulabiliriz.
x * (x² – 121) = x³ – 121x
En üstteki boş kutucuğa x³ – 121x yazmalıyız.
Adım 2: Şimdi de ‘x² – 121’ ifadesini çarpanlarına ayıralım. Bu da tıpkı az önceki gibi bir iki kare farkı özdeşliğidir. 121, 11’in karesi olduğuna göre:
x² – 121 = (x – 11)(x + 11)
En alttaki iki boş kutucuğa da (x – 11) ve (x + 11) ifadelerini yazarız.
Soru 2: Kutucukta, iki kare farkı özdeşliğinden yararlanılarak bir çarpanlara ayırma işlemi verilmiştir. Buna göre a + b toplamı kaçtır? (401² – 199² = a · b)
Bu soruda bize yine en sevdiğimiz özdeşliklerden biri olan iki kare farkı sorulmuş. Unutma, kuralımız şuydu: x² – y² = (x – y)(x + y)
Adım 1: Verilen ifadede x yerine 401, y yerine ise 199 gelmiş. Kuralımızı uygulayalım:
401² – 199² = (401 – 199) * (401 + 199)
Adım 2: Soruda bu işlemin sonucunun a · b olduğu söyleniyor. O zaman parantez içindeki işlemlerden biri ‘a’, diğeri de ‘b’ olacak.
- a = 401 – 199 = 202
- b = 401 + 199 = 600
Adım 3: Soru bizden a + b toplamını istiyor. Bulduğumuz değerleri toplayalım.
a + b = 202 + 600
Sonuç: 802
Soru 3: Aşağıda çarpanlara ayrılan ifadelerde □ yerine uygun sayıları yazınız.
Bu soruda da tam kare özdeşliklerini kullanacağız. Hatırlayalım:
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a – b)² = a² – 2ab + b²
a) x² + □ · x + 9 = (x + 3)²
Burada (x + 3)² ifadesini açarak boşluğu bulabiliriz. Birincinin karesi (x²), birinci ile ikincinin çarpımının iki katı (2·x·3 = 6x), ikincinin karesi (3² = 9). Yani ifade x² + 6x + 9 olmalı. O zaman □ yerine 6 gelmelidir.
b) 4x² – 20x + □ = (2x – 5)²
Yine (2x – 5)² ifadesini açalım. Birincinin karesi ((2x)² = 4x²), birinci ile ikincinin çarpımının iki katı (2·2x·5 = 20x), ikincinin karesi (5² = 25). Yani ifade 4x² – 20x + 25 olmalı. Bu durumda □ yerine 25 gelmelidir.
c) x² – □ · x + 256 = (x – 16)²
(x – 16)² ifadesini açalım. Birincinin karesi (x²), birinci ile ikincinin çarpımının iki katı (2·x·16 = 32x), ikincinin karesi (16² = 256). İfade x² – 32x + 256 olmalı. O zaman □ yerine 32 gelmelidir.
ç) □ · x² – 24x + 16 = (3x – 4)²
(3x – 4)² ifadesini açalım. Birincinin karesi ((3x)² = 9x²), birinci ile ikincinin çarpımının iki katı (2·3x·4 = 24x), ikincinin karesi (4² = 16). İfade 9x² – 24x + 16 olmalı. O zaman □ yerine 9 gelmelidir.
Soru 4: Yukarıdaki kutucuklarda verilen cebirsel ifadelerin ortak çarpanlarını bulunuz.
Bu soruda iki ifadeyi de ayrı ayrı çarpanlarına ayırıp, sonra da aynı olan çarpanları bulacağız.
Adım 1: İlk ifadeyi çarpanlarına ayıralım: x³ – 36x
Önce ortak çarpan parantezine alırız. İki terimde de ‘x’ ortak.
x(x² – 36)
Şimdi parantez içindeki ifadeye bakıyoruz, bu bir iki kare farkı! (x² – 6²)
x(x – 6)(x + 6)
Adım 2: İkinci ifadeyi çarpanlarına ayıralım: x³ – 12x² + 36x
Yine önce ortak çarpan parantezine alıyoruz. Bütün terimlerde ‘x’ ortak.
x(x² – 12x + 36)
Parantez içindeki ifade ise bir tam kare özdeşliğidir. (x – 6)² şeklinde yazılabilir.
x(x – 6)(x – 6)
Adım 3: Şimdi her iki ifadenin de çarpanlarına bakalım ve ortak olanları işaretleyelim.
- Birinci ifadenin çarpanları: x, (x – 6), (x + 6)
- İkinci ifadenin çarpanları: x, (x – 6), (x – 6)
Gördüğümüz gibi her ikisinde de ortak olan çarpanlar x ve (x – 6)‘dır.
Sonuç: Ortak çarpanlar x ve (x – 6)‘dır.
Soru 5: Aşağıdakilerden hangisi, x³ – 64x ifadesinin bir çarpanı değildir?
Bu soruyu çözmek için önce bize verilen ifadeyi çarpanlarına ayırmalıyız. Sonra şıklardaki ifadelerden hangisinin bizim bulduğumuz çarpanlar arasında olmadığını kontrol edeceğiz.
Adım 1:x³ – 64x ifadesini çarpanlarına ayıralım.
Önce ortak çarpan olan ‘x’ parantezine alalım.
x(x² – 64)
Parantez içindeki ifade (x² – 64) bir iki kare farkıdır, çünkü 64=8²’dir.
x(x – 8)(x + 8)
Adım 2: İfadenin çarpanları: x, (x – 8), ve (x + 8)‘dir. Şimdi şıkları kontrol edelim.
- A. x → Bu bir çarpandır.
- B. x – 8 → Bu da bir çarpandır.
- C. x + 8 → Bu da bir çarpandır.
- D. x + 16 → Bu ifade bizim bulduğumuz çarpanlar arasında yok.
Sonuç:D) x + 16 ifadesi, x³ – 64x ifadesinin bir çarpanı değildir.
Soru 6: x² + 2x + 1 cebirsel ifadesini modelleyerek çarpanlara ayırınız.
Cebir karolarıyla modelleme yaptığımızı düşünelim. Elimizde 1 tane büyük kare (x²), 2 tane uzun dikdörtgen (x) ve 1 tane de minik birim kare (1) var. Bu parçaları birleştirerek daha büyük bir kare oluşturmaya çalışırız. Bu parçalarla kenar uzunlukları (x+1) olan bir kare oluşturabiliriz. Bu karenin alanı da (x+1)·(x+1) yani (x+1)² olur.
Cebirsel olarak ise bu ifade bir tam kare özdeşliğidir.
x² + 2x + 1 = (x)² + 2·x·1 + (1)²
Bu ifade (a+b)² = a² + 2ab + b² kuralına birebir uyuyor. Burada a=x ve b=1’dir.
Sonuç: (x + 1)²
Soru 7: Aşağıdaki cebirsel ifadeleri çarpanlara ayırınız.
Haydi sırayla tüm ifadeleri çarpanlarına ayıralım. Unutma, ilk adımımız her zaman “ortak çarpan var mı?” diye kontrol etmek olmalı.
a) 2x² + 4x
Her iki terimde de ‘2’ ve ‘x’ ortaktır. 2x parantezine alalım.
Sonuç: 2x(x + 2)
b) 7x² – 700
Her iki terim de 7’ye bölünür. 7 ortak parantezine alalım.
7(x² – 100)
Parantez içi iki kare farkıdır (x² – 10²).
Sonuç: 7(x – 10)(x + 10)
c) x³ – 144x
Her iki terimde de ‘x’ ortaktır. x parantezine alalım.
x(x² – 144)
Parantez içi iki kare farkıdır (x² – 12²).
Sonuç: x(x – 12)(x + 12)
ç) 16a² + 16a + 4
Tüm terimler 4’e bölünür. 4 ortak parantezine alalım.
4(4a² + 4a + 1)
Parantez içindeki ifade bir tam kare özdeşliğidir. (2a + 1)² şeklinde yazılır.
Sonuç: 4(2a + 1)²
d) x² – 6x + 9
Bu ifade doğrudan bir tam kare özdeşliğidir. (x – 3)²’nin açılımıdır.
Sonuç: (x – 3)²
e) x² + 22x + 121
Bu ifade de bir tam kare özdeşliğidir. 121, 11’in karesidir. Ortadaki terim de 2·x·11 = 22x olduğuna göre bu (x + 11)²’nin açılımıdır.
Sonuç: (x + 11)²
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Özdeşlikler konusunu bol bol pratik yaparak çok daha iyi bir şekilde öğrenebilirsin. Başarılar dilerim!