Harika bir çalışma sayfası! Merhaba sevgili öğrencim, bu soruları birlikte adım adım, kolayca anlayacağın bir şekilde çözeceğiz. Matematikten korkmana hiç gerek yok, mantığını kavradığımızda hepsi birer bulmaca gibi. Haydi başlayalım!
Soru 1:Yandaki şekilde k//n, m(ABC) = (3x/5) + 40° ve m(EFB) = x – 20° ise x kaç derecedir?
Bu soruda bize iki tane paralel doğru (k ve n doğruları) ve bu doğruları kesen bir başka doğru verilmiş. Bu tür sorularda açıların birbiriyle olan ilişkisini bulmamız gerekir.
Adım 1: Açıları Tanıyalım
Şekle dikkatlice baktığımızda, ABC açısı ile EFB açısının “dış ters açılar” olduğunu görüyoruz. Paralel iki doğru bir kesenle kesildiğinde, dış ters açıların ölçüleri her zaman birbirine eşittir.
Eğer bu kuralı hatırlamakta zorlanıyorsan, şöyle de düşünebilirsin: EFB açısı ile GFA açısı ters açılar olduğu için ölçüleri eşittir, yani m(GFA) = x – 20° olur. GFA açısı ile de ABC açısı “yöndeş açılar” olduğu için yine birbirine eşittir. Sonuç olarak her zaman m(ABC) = m(EFB) eşitliğine ulaşırız.
Adım 2: Denklemi Kuralım ve Çözelim
Madem bu iki açı birbirine eşit, o zaman bize verilen cebirsel ifadeleri de birbirine eşitleyebiliriz.
(3x/5) + 40 = x - 20Şimdi bu denklemi çözelim. Bilinenleri bir tarafa, bilinmeyenleri (yani x’li terimleri) diğer tarafa toplayalım. Genellikle küçük olan x’li terimi büyüğün yanına atmak işimizi kolaylaştırır.
40 + 20 = x - (3x/5)
60 = (5x/5) - (3x/5)(Burada x’in paydasını 5 ile genişlettik.)
60 = 2x/5Şimdi x’i yalnız bırakmak için eşitliğin her iki tarafını önce 5 ile çarpalım, sonra 2’ye bölelim.
60 * 5 = 2x
300 = 2x
x = 300 / 2
x = 150
Sonuç:x = 150 derecedir.
Soru 2:Yandaki DEFG dikdörtgeninin çevre uzunluğu 25 br’dir. Buna göre, dikdörtgenin alanı kaç br²’dir?
Bu soruda bize bir dikdörtgenin çevre uzunluğu ve kenar uzunlukları x cinsinden verilmiş. Bizden istenen ise alanı. Alanı bulmak için önce x’i bulup kenar uzunluklarını hesaplamamız gerekiyor.
Adım 1: Çevre Formülünü Hatırlayalım ve Denklemi Kuralım
Bir dikdörtgenin çevresi, iki kısa kenar ile iki uzun kenarın toplamına eşittir. Yani: Çevre = 2 * (Kısa Kenar + Uzun Kenar)
Verilenleri formülde yerine yazalım:
Kısa Kenar = x/6
Uzun Kenar = (8x/3) + 4
Çevre = 25
25 = 2 * [ (x/6) + ( (8x/3) + 4 ) ]Adım 2: Denklemi Çözelim
Önce eşitliğin her iki tarafını 2’ye bölerek başlayalım:
25 / 2 = (x/6) + (8x/3) + 4Şimdi rasyonel ifadeleri toplayabilmek için paydalarını eşitleyelim. Paydaları 6’da birleştirebiliriz.
25 / 2 = (x/6) + (16x/6) + 4
25 / 2 = (17x/6) + 4Şimdi 4’ü eşitliğin diğer tarafına atalım (-4 olarak geçer):
(25/2) - 4 = 17x/6
(25/2) - (8/2) = 17x/6
17/2 = 17x/6Burada her iki tarafta da 17 çarpanı var, bunları sadeleştirebiliriz.
1/2 = x/6Şimdi içler-dışlar çarpımı yapalım:
1 * 6 = 2 * x
6 = 2x
x = 3Adım 3: Kenar Uzunluklarını ve Alanı Bulalım
x’i bulduğumuza göre artık kenar uzunluklarını hesaplayabiliriz.
Kısa Kenar = x/6 = 3/6 = 1/2 br
Uzun Kenar = (8x/3) + 4 = (8*3/3) + 4 = 8 + 4 = 12 br
Dikdörtgenin alanı, kısa kenar ile uzun kenarın çarpımıdır: Alan = Kısa Kenar * Uzun Kenar
Alan = (1/2) * 12 = 6
Sonuç:Dikdörtgenin alanı 6 br²’dir.
Soru 3:Aşağıdaki denklemleri çözerek denklemlerdeki x değerlerini bulunuz.
Burada bize verilen denklemleri tek tek çözeceğiz. Amaç her zaman x’i yalnız bırakmak!
a) (4x – 5) / 3 = 9
4x - 5 = 9 * 3(İçler-dışlar çarpımı yaptık)
4x - 5 = 27
4x = 27 + 5
4x = 32
x = 32 / 4
x = 8b) x – (3x/5) = 16
(5x/5) - (3x/5) = 16(Paydaları eşitledik)
2x/5 = 16
2x = 16 * 5
2x = 80
x = 80 / 2
x = 40c) 3(x + 4) = (x/4) – 10
3x + 12 = (x/4) - 10(Parantezi dağıttık)Bölmeden kurtulmak için denklemin her terimini 4 ile çarpalım.
4 * (3x) + 4 * (12) = 4 * (x/4) - 4 * (10)
12x + 48 = x - 40
12x - x = -40 - 48
11x = -88
x = -88 / 11
x = -8ç) (2x/5) – (3x/2) = 1/10
Paydaları 10’da eşitleyelim.
(4x/10) - (15x/10) = 1/10Paydalar eşit olduğu için artık paydaları görmezden gelebiliriz.
4x - 15x = 1
-11x = 1
x = -1/11d) (3x/5) – (2x/3) = -1
Paydaları 15’te eşitleyelim.
(9x/15) - (10x/15) = -1
-x/15 = -1
-x = -1 * 15
-x = -15
x = 15e) 3/2 = (x + 1)/4
İçler-dışlar çarpımı yapalım.
3 * 4 = 2 * (x + 1)
12 = 2x + 2
12 - 2 = 2x
10 = 2x
x = 10 / 2
x = 5
Soru 4:Yandaki tabloda belirtilen denklemleri çözerek bulduğunuz x değerlerini tablodaki renkli bölgelere yazınız.
Bu da bir denklem çözme alıştırması. Hadi sırayla çözelim ve tabloyu dolduralım.
1. Denklem (Turuncu Bölge): x – (x/3) = 4
(3x/3) - (x/3) = 4
2x/3 = 4
2x = 12
x = 62. Denklem (Pembe Bölge): (x/3) – (x-1)/6 = 1
Paydaları 6’da eşitleyelim.
(2x/6) - (x-1)/6 = 1Eksiyi paranteze dağıtmaya dikkat edelim!
(2x - (x - 1)) / 6 = 1
(2x - x + 1) / 6 = 1
(x + 1) / 6 = 1
x + 1 = 6
x = 53. Denklem (Sarı Bölge): 2x + 1 = (x – 4)/2
2 * (2x + 1) = x - 4
4x + 2 = x - 4
4x - x = -4 - 2
3x = -6
x = -24. Denklem (Yeşil Bölge): (x+1)/3 – 5 = 3x/2
x’li terimleri bir tarafa, sayıları diğer tarafa toplayalım.
(x+1)/3 - (3x/2) = 5Paydaları 6’da eşitleyelim.
(2(x+1)/6) - (3(3x)/6) = 5
(2x + 2 - 9x) / 6 = 5
(-7x + 2) / 6 = 5
-7x + 2 = 30
-7x = 28
x = 28 / -7
x = -4
Soru 5:Hangi sayının çeyreğinin 25 fazlası, o sayının 2/3’üne eşittir?
Bu bir “problem kurma” sorusu. Cümleleri adım adım matematik diline çevireceğiz.
Adım 1: Denklemi Kuralım
Aradığımız sayıya x diyelim.
- “Sayının çeyreği” demek, sayıyı 4’e bölmek demektir: x/4
- “Çeyreğinin 25 fazlası” demek, bu ifadeye 25 eklemek demektir: (x/4) + 25
- “O sayının 2/3’ü” demek, sayıyı 2/3 ile çarpmak demektir: 2x/3
Şimdi bu iki ifade birbirine “eşittir” deniyor. O zaman denklemimiz:
(x/4) + 25 = 2x/3Adım 2: Denklemi Çözelim
x’li terimleri bir araya toplayalım.
25 = (2x/3) - (x/4)Paydaları eşitlememiz gerekiyor. 3 ve 4’ün ortak katı 12’dir.
25 = (8x/12) - (3x/12)
25 = 5x/12Şimdi x’i yalnız bırakalım. Önce 12 ile çarpalım.
25 * 12 = 5x
300 = 5xŞimdi de 5’e bölelim.
x = 300 / 5
x = 60
Sonuç:Bu sayı 60’tır.
Soru 6:Bir sınıftaki öğrencilerin sayısının 1/3’ü ile çeyreği arasındaki fark 2 olduğuna göre sınıfta kaç öğrenci vardır?
Bu da bir önceki soruya benziyor. Yine adım adım denkleme dönüştüreceğiz.
Adım 1: Denklemi Kuralım
Sınıftaki öğrenci sayısına x diyelim.
- “Öğrenci sayısının 1/3’ü”: x/3
- “Öğrenci sayısının çeyreği”: x/4
Bu ikisi arasındaki “fark” 2 imiş. (Bir sayının 1/3’ü, 1/4’ünden her zaman daha büyüktür, o yüzden büyükten küçüğü çıkarırız.)
(x/3) - (x/4) = 2Adım 2: Denklemi Çözelim
Yine paydaları eşitleyelim. 3 ve 4, 12’de birleşir.
(4x/12) - (3x/12) = 2
x/12 = 2x’i bulmak için her iki tarafı 12 ile çarpalım.
x = 2 * 12
x = 24
Sonuç:Sınıfta 24 öğrenci vardır.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Unutma, denklem çözmenin temeli, bilinmeyeni (x’i) yalnız bırakmaktır. Bunun için de eşitliğin her iki tarafına aynı işlemleri yaparak adım adım ilerleriz. Başarılar dilerim!