Merhaba sevgili öğrencim,
Matematik dersimize hoş geldin! Bugün birlikte kareköklü sayılarla ilgili çok güzel alıştırmalar yapacağız. Gönderdiğin görseldeki soruları senin için adım adım, tane tane çözeceğim. Anlamadığın bir yer olursa hiç çekinme, tekrar üzerinden geçeriz. Hazırsan, haydi başlayalım!
7. Soru: Aşağıdaki dikdörtgen, dik üçgen ve karenin alanları ile çevre uzunluklarını bularak noktalı yerlere yazınız.
a) Dikdörtgenin Çevresi ve Alanı
Bu soruda bize kenar uzunlukları 5√2 cm ve √18 cm olan bir dikdörtgen verilmiş. Önce işimizi kolaylaştırmak için √18’i a√b şeklinde yazalım.
Adım 1: Kenar uzunluğunu sadeleştirme
√18, kök içinde 9 çarpı 2 demektir. 9 kök dışına 3 olarak çıkar. Yani, √18 = √(9 x 2) = 3√2 cm olur.
Artık dikdörtgenimizin kenarları 5√2 cm ve 3√2 cm. Harika!
Adım 2: Çevreyi bulma
Dikdörtgenin çevresi, bütün kenarlarının toplamıdır. Formülümüz: Çevre = 2 x (kısa kenar + uzun kenar).
Ç = 2 x (3√2 + 5√2)
Kök içleri aynı olduğu için katsayıları toplayabiliriz: 3 + 5 = 8.
Ç = 2 x (8√2) = 16√2 cm
Adım 3: Alanı bulma
Dikdörtgenin alanı, kısa kenar ile uzun kenarın çarpımıdır. Formülümüz: Alan = kısa kenar x uzun kenar.
A = (3√2) x (5√2)
Kareköklü sayılarda çarpma yaparken katsayıları kendi arasında, kök içlerini kendi arasında çarparız.
A = (3 x 5) x (√2 x √2) = 15 x √4 = 15 x 2 = 30 cm²
Sonuç:
Ç = 16√2 cm
A = 30 cm²
b) Dik Üçgenin Çevresi ve Alanı
Burada dik kenarları √12 cm, √3 cm ve hipotenüsü (en uzun kenarı) √15 cm olan bir dik üçgenimiz var. Yine √12’yi sadeleştirerek başlayalım.
Adım 1: Kenar uzunluğunu sadeleştirme
√12, kök içinde 4 çarpı 3 demektir. 4 kök dışına 2 olarak çıkar. Yani, √12 = √(4 x 3) = 2√3 cm.
Adım 2: Çevreyi bulma
Üçgenin çevresi, üç kenarının toplamıdır.
Ç = √12 + √3 + √15 = 2√3 + √3 + √15
Burada sadece kök içleri aynı olanları toplayabiliriz. Yani 2√3 ile √3’ü (aslında 1√3’ü) toplarız.
Ç = (2+1)√3 + √15 = 3√3 + √15 cm. Bu ifade daha fazla sadeleşmez, böyle kalır.
Adım 3: Alanı bulma
Dik üçgenin alanı, dik kenarlarının çarpımının yarısıdır. Formülümüz: Alan = (dik kenar x dik kenar) / 2.
A = (√12 x √3) / 2
A = √(12 x 3) / 2 = √36 / 2 = 6 / 2 = 3 cm²
Sonuç:
Ç = 3√3 + √15 cm
A = 3 cm²
c) Karenin Çevresi ve Alanı
Bir kenar uzunluğu 3√5 cm olan bir kare verilmiş. Karenin bütün kenarları eşittir, unutma!
Adım 1: Çevreyi bulma
Karenin çevresi bir kenar uzunluğunun 4 ile çarpılmasıyla bulunur. Formülümüz: Çevre = 4 x kenar.
Ç = 4 x (3√5) = 12√5 cm
Adım 2: Alanı bulma
Karenin alanı, bir kenarının kendisiyle çarpımıdır (yani karesidir). Formülümüz: Alan = kenar².
A = (3√5)² = (3√5) x (3√5)
A = (3 x 3) x (√5 x √5) = 9 x √25 = 9 x 5 = 45 cm²
Sonuç:
Ç = 12√5 cm
A = 45 cm²
8. Soru: Yukarıdaki kutucuklarda verilen kareköklü ifadelerden hangisi √6 ile çarpıldığında işlem sonucu bir doğal sayı olur?
Sevgili öğrencim, bir kareköklü sayının başka bir kareköklü sayıyla çarpıldığında doğal sayı olması için, kök içindeki sayıların çarpımının tam kare bir sayı olması gerekir. Veya daha basit bir yolla, çarptığımız √6’yı “kökten kurtaracak” bir ifade arıyoruz. Yani içinde √6 çarpanı olan bir sayı bulmalıyız.
Adım 1: Şıkları a√b şeklinde yazalım.
- √224 = √(16 x 14) = 4√14
- √210 = √(Hiçbir tam kareye bölünmez, olduğu gibi kalır)
- √125 = √(25 x 5) = 5√5
- √216 = √(36 x 6) = 6√6
Adım 2: √6 ile çarpalım.
Gördüğün gibi, √216’yı sadeleştirdiğimizde içinde √6 çarpanı olduğunu fark ettik. Şimdi bu sayıyı √6 ile çarpıp test edelim.
√216 x √6 = (6√6) x √6 = 6 x (√6 x √6) = 6 x 6 = 36
36 bir doğal sayıdır. Diğer şıkları çarpsaydık kök dışına tamamen çıkamazlardı.
Sonuç: Doğru cevap √216‘dır.
9. Soru: Kutucuklarda verilen kareköklü ifadelerin katsayılarını karekök içine alınız.
Bu işlemde kuralımız çok basit: Dışarıdaki katsayı, kökün içine girerken karesini alır ve içerideki sayıyla çarpılır. Yani a√b = √(a² x b).
- 3√5 = √(3² x 5) = √(9 x 5) = √45
- 7√10 = √(7² x 10) = √(49 x 10) = √490
- 6√3 = √(6² x 3) = √(36 x 3) = √108
- 3√12 = √(3² x 12) = √(9 x 12) = √108
10. Soru: Aşağıdaki mavi kutucuklarda bazı işlemler verilmiştir. İşlemler ile işlemlerin turuncu kutucuklarda verilen sonuçları eşleştirildiğinde hangi sonucun bulunduğu kutucuk açıkta kalır?
Bu soruyu çözmek için önce mavi kutulardaki işlemlerin sonuçlarını bulacağız, sonra da bu sonuçları turuncu kutularla eşleştireceğiz. Eşi olmayan turuncu kutu bizim cevabımız olacak.
Adım 1: Mavi kutuları tek tek çözelim.
- √45 + √175 – √245 = ?
√45 = √(9×5) = 3√5
√175 = √(25×7) = 5√7
√245 = √(49×5) = 7√5
İşlem: 3√5 + 5√7 – 7√5 = (3√5 – 7√5) + 5√7 = -4√5 + 5√7. Yani 5√7 – 4√5. (Bu sonuç turuncu kutularda var.)- √150 – 2√81 + 7√1 = ?
√150 = √(25×6) = 5√6
2√81 = 2 x 9 = 18
7√1 = 7 x 1 = 7
İşlem: 5√6 – 18 + 7 = 5√6 – 11. (Bu sonuç da turuncu kutularda var.)- √10 + √40 – √90 = ?
√40 = √(4×10) = 2√10
√90 = √(9×10) = 3√10
İşlem: √10 + 2√10 – 3√10 = (1+2-3)√10 = 0√10 = 0. (Bu sonuç da var.)- 11 + √216 – √24 = ?
√216 = √(36×6) = 6√6
√24 = √(4×6) = 2√6
İşlem: 11 + 6√6 – 2√6 = 11 + (6-2)√6 = 11 + 4√6. (Bu sonuç da var.)Adım 2: Açıkta kalan kutuyu bulalım.
Eşleşen sonuçlar: 5√7 – 4√5, 5√6 – 11, 0, ve 4√6 + 11 (11+4√6 ile aynı şey).
Turuncu kutulara baktığımızda, bu sonuçların hepsi var. Eşleşmeyen tek kutu 3√6 – 4√5 kutusudur.
Sonuç: Açıkta kalan kutu 3√6 – 4√5‘tir.
11. Soru: (√0,0016 + √0,0169) / √0,0001 – √0,09 işleminin sonucu kaçtır?
Ondalıklı sayıların karekökünü alırken en kolay yol, onları rasyonel sayıya (kesire) çevirmektir. Hadi yapalım!
Adım 1: Her bir kareköklü ifadeyi kesre çevirip kökten çıkaralım.
- √0,0016 = √(16 / 10000) = √16 / √10000 = 4 / 100
- √0,0169 = √(169 / 10000) = √169 / √10000 = 13 / 100
- √0,0001 = √(1 / 10000) = √1 / √10000 = 1 / 100
- √0,09 = √(9 / 100) = √9 / √100 = 3 / 10
Adım 2: Bulduğumuz değerleri işlemde yerlerine yazalım.
İşlemimiz şu hale geldi: ( (4/100) + (13/100) ) / (1/100) – (3/10)
Adım 3: Önce parantez içini ve bölmeyi yapalım.
Parantez içi: (4/100) + (13/100) = 17/100
Bölme işlemi: (17/100) / (1/100). Bir kesri diğerine bölerken, ikinci kesri ters çevirip çarparız.
(17/100) x (100/1) = 17
Adım 4: Son çıkarma işlemini yapalım.
İşlemin son hali: 17 – (3/10)
3/10, ondalık olarak 0,3 demektir.
17 – 0,3 = 16,7
Sonuç: İşlemin sonucu 16,7‘dir.
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Kareköklü sayılar pratik yaptıkça daha da kolaylaşacaktır. Başarılar dilerim