Harika bir soru! Sevgili öğrenciler, gelin bu görseldeki soruları birlikte analiz edelim ve adım adım çözelim. Unutmayın, geometri aslında etrafımızdaki şekilleri anlamaktır. Bu etkinlik de tam olarak bunu yapmamızı sağlıyor.
Soru 1: Bir tesiste sular kesildiğinde kullanılmak üzere dik dairesel silindir biçiminde su depoları bulunmaktadır. Bir su deposu tamamen dolu iken içindeki suyun yaklaşık olarak yarısı kullanıldığında kalan suyun miktarının bulunabilmesi için nasıl bir yol izlenmelidir? Açıklayınız.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için aslında silindirin hacim formülünü düşünmemiz yeterli. Haydi gelin, bu soruyu birlikte düşünelim.
Hatırlatma: Geometrik cisimlerin hacmi, o cismin ne kadar yer kapladığı veya içine ne kadar sıvı alabildiğidir. Prizmaların ve silindirin hacim formülü temelde aynı mantığa dayanır: Hacim = Taban Alanı x Yükseklik
Adım 1: Deponun Tam Hacmini Bulma
Öncelikle, depodaki toplam su miktarını, yani silindirin tam hacmini bulmamız gerekir. Silindirin tabanı bir dairedir ve dairenin alanı πr² formülüyle bulunur. (Burada ‘r’ dairenin yarıçapıdır).
Silindirin tam hacmi ise: Vtam = (Taban Alanı) x (Yükseklik) = πr²h formülüyle hesaplanır.
Adım 2: Kalan Suyu Hesaplama
Soruda bize suyun yarısının kullanıldığı söyleniyor. Bu durumda depoda suyun yarısı kalmıştır. Kalan su miktarını bulmak için iki farklı yol izleyebiliriz:
- Yöntem 1: Toplam hacmi bulup ikiye bölebiliriz.
Vkalan = Vtam / 2 = (πr²h) / 2 - Yöntem 2: Suyun yarısı kullanıldığında, suyun yüksekliği de yarıya inmiş demektir. Yani yeni yüksekliğimiz h/2 olur. Bu durumda kalan suyun hacmini bu yeni yükseklikle hesaplayabiliriz.
Vkalan = (Taban Alanı) x (Yeni Yükseklik) = πr²(h/2)
Gördüğünüz gibi, her iki yöntem de bize aynı sonucu verir. Kısacası, kalan su miktarını bulmak için önce silindir şeklindeki deponun tam hacmini hesaplar, sonra da bulduğumuz bu değeri ikiye böleriz.
Etkinlik Soruları:
Şimdi de etkinlikteki adımları sırasıyla takip edelim. Bu bir uygulama etkinliği olduğu için ben örnek ölçülerle size yol göstereceğim. Siz de evdeki bir ilaç kutusu ve madeni paralarla bu adımları kendiniz deneyebilirsiniz.
Soru 2: Kare prizma biçimindeki ilaç kutusunun ayrıt uzunluklarını cetvelle ölçerek not edelim. Kare prizmanın taban alanını hesaplayalım. Bulduğumuz taban alanı ile kare prizmanın yüksekliğini çarparak hacmini hesaplayalım.
Çözüm:
Diyelim ki elimizdeki ilaç kutusunu ölçtük ve şu sonuçları bulduk:
- Tabanının bir kenarı (a) = 4 cm
- Yüksekliği (h) = 10 cm
Adım 1: Taban Alanını Hesaplama
Kare prizmanın tabanı bir karedir. Karenin alanı bir kenarının kendisiyle çarpımıdır.
Taban Alanı = a x a = 4 cm x 4 cm = 16 cm²
Adım 2: Hacmini Hesaplama
Prizmanın hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımıdır.
Hacim = Taban Alanı x Yükseklik = 16 cm² x 10 cm = 160 cm³
Böylece ilaç kutusunun hacmini 160 santimetreküp olarak bulmuş olduk.
Soru 3: 1 TL’lik madenî paraları üst üste koyarak bir dik dairesel silindir modeli oluşturalım. Bu modelin taban yarıçapını ve yüksekliğini ölçelim. π’yi 3,14 alarak taban alanını hesaplayalım.
Çözüm:
Şimdi de madeni paralarla oluşturduğumuz silindiri ölçtüğümüzü varsayalım:
- Madeni paranın yarıçapı (r) = 1,3 cm (Çapını 2,6 cm ölçüp 2’ye böldük)
- Paraları üst üste koyunca oluşan yükseklik (h) = 3 cm
Adım 1: Taban Alanını Hesaplama
Silindirin tabanı daire olduğu için dairenin alan formülünü kullanacağız (π ≈ 3,14).
Taban Alanı = πr² = 3,14 x (1,3 cm)² = 3,14 x 1,69 cm² ≈ 5,3 cm² (Sonucu yuvarladım)
Soru 4: Kare dik prizmanın hacmini bulduğunuz yöntemi kullanarak dik dairesel silindirin hacmini hesaplayabilir misiniz? Açıklayınız.
Çözüm:
Kesinlikle evet! Çünkü hem prizmanın hem de silindirin hacim mantığı aynıdır: Hacim = Taban Alanı x Yükseklik.
Adım 1: Yöntemi Uygulama
Kare prizmada taban alanı a² idi, silindirde ise taban alanı πr². Değişen tek şey tabanın şekli, ama hacim bulma mantığı hiç değişmiyor.
Bir önceki adımda silindirimizin taban alanını yaklaşık 5,3 cm² bulmuştuk. Yüksekliği ise 3 cm idi.
Hacim = Taban Alanı x Yükseklik = 5,3 cm² x 3 cm = 15,9 cm³
Açıklama: Dik dairesel silindiri, tabanı daire olan özel bir prizma gibi düşünebiliriz. Bu yüzden prizmalar için kullandığımız temel hacim formülü (Taban Alanı x Yükseklik) silindir için de geçerlidir.
Soru 5: Kullandığınız yöntemden yararlanarak dik dairesel silindirin hacmini bulmaya yönelik bir bağıntı (formül) yazınız.
Çözüm:
Harika, artık formülü kendimiz çıkarabiliriz!
Adım 1: Temel Formülü Hatırlayalım
Temel formülümüz: Hacim = (Taban Alanı) x (Yükseklik)
Adım 2: Bilgileri Yerine Koyalım
Dik dairesel silindirin tabanı bir dairedir. Dairenin alanı πr²‘dir.
Silindirin yüksekliğine de h diyelim.
Adım 3: Formülü Oluşturalım
Şimdi temel formüldeki “Taban Alanı” yerine dairenin alan formülünü, “Yükseklik” yerine de ‘h’ harfini yazalım.
Hacim = (πr²) x (h)
İşte bu kadar! Dik dairesel silindirin hacim formülünü bulduk:
V = πr²h
Umarım bu açıklamalar konuyu daha iyi anlamanıza yardımcı olmuştur. Başarılar dilerim!