Harika bir istek! Merhaba sevgili öğrencim, ben senin 8. Sınıf Matematik öğretmeninim. Gönderdiğin görseldeki soruları senin için adım adım, kolayca anlayacağın bir dille çözeceğim. Konumuz, tam kare olmayan sayıların kareköklerinin hangi tam sayılar arasında olduğunu bulmak. Bu, hem çok zevkli hem de çok önemli bir konu. Haydi başlayalım!
Soru 1: Öğretmeni tahtaya üç farklı kareköklü ifade yazarak Betül’e bu ifadelerin değerlerinin tam sayı olup olmadığını sordu. Betül, öğretmenine nasıl bir cevap vermelidir? Açıklayınız.
(Tahtadaki ifadeler: √81, √110, √144)
Çözüm:
Bu soruyu cevaplayabilmek için önce “tam kare sayı” ne demek, onu hatırlamamız gerekiyor. Bir tam sayının kendisiyle çarpılması sonucu elde edilen sayılara tam kare sayı diyoruz. Mesela 5×5=25 olduğu için 25 bir tam kare sayıdır. Bir sayının karekökünün tam sayı olabilmesi için, kök içindeki sayının mutlaka bir tam kare sayı olması gerekir.
Şimdi tahtadaki sayılara bu gözle bakalım:
- Adım 1: √81’i inceleyelim.
81 sayısı, bir sayının kendisiyle çarpımı mıdır? Evet! 9 x 9 = 81’dir. Bu yüzden 81 bir tam kare sayıdır. Dolayısıyla √81 = 9 olur. Sonuç olarak √81 bir tam sayıdır.
- Adım 2: √144’ü inceleyelim.
144 sayısı, bir sayının kendisiyle çarpımı mıdır? Evet! 12 x 12 = 144’tür. Bu yüzden 144 de bir tam kare sayıdır. Dolayısıyla √144 = 12 olur. Sonuç olarak √144 de bir tam sayıdır.
- Adım 3: √110’u inceleyelim.
Peki 110 sayısı bir tam kare sayı mıdır? Bildiğimiz tam kare sayıları düşünelim: 10×10 = 100 ve 11×11 = 121. Gördüğün gibi 110 sayısı, 100 ile 121 arasındadır ve hiçbir tam sayının karesi değildir. Bu yüzden 110 tam kare bir sayı değildir. Sonuç olarak √110 bir tam sayı değildir. Değeri 10 ile 11 arasında bir ondalıklı sayıdır.
Sonuç:
Betül öğretmenine şöyle bir cevap vermelidir:
“Öğretmenim, bir kareköklü ifadenin değerinin tam sayı olabilmesi için kök içindeki sayının tam kare olması gerekir. Tahtadaki sayılardan 81 (9’un karesi) ve 144 (12’nin karesi) tam kare sayılar olduğu için √81 ve √144 ifadelerinin değerleri tam sayıdır. Ancak 110 sayısı bir tam kare sayı olmadığı için √110 ifadesinin değeri bir tam sayı değildir.”
Soru 2: 18 sayısının karekök değerinin hangi ardışık iki doğal sayı arasında olduğunu ve hangi doğal sayıya daha yakın olduğunu belirleyelim.
Çözüm:
Bu tür sorularda amacımız, kök içindeki sayıyı (yani 18’i) en yakınındaki iki tam kare sayının arasına sıkıştırmaktır. Buna “sandviç metodu” da diyebiliriz. 🙂
- Adım 1: 18’e en yakın tam kare sayıları bulalım.
Tam kare sayıları sayalım: 1, 4, 9, 16, 25, 36… Gördüğün gibi 18 sayısı, 16 ile 25 arasındadır.
- Adım 2: Bu durumu eşitsizlik olarak yazalım.
16 < 18 < 25
- Adım 3: Eşitsizlikteki her sayının karekökünü alalım.
√16 < √18 < √25
- Adım 4: Tam kare olanların kök dışına nasıl çıktığını yazalım.
√16 = 4 ve √25 = 5 olduğuna göre eşitsizliğimiz şuna dönüşür:
4 < √18 < 5
Böylece sorunun ilk kısmını cevapladık! √18 sayısı, 4 ile 5 doğal sayıları arasındadır.
- Adım 5: Hangi sayıya daha yakın olduğunu bulalım.
Bunu anlamak için 18’in, arasına sıkıştırdığımız tam kare sayılara olan uzaklığına bakarız.
- 18’in 16’ya olan uzaklığı: 18 – 16 = 2 birim
- 18’in 25’e olan uzaklığı: 25 – 18 = 7 birim
Gördüğün gibi 18 sayısı, 16’ya çok daha yakın!
Sonuç:
18 sayısı 16’ya daha yakın olduğu için, √18 sayısı da √16’ya, yani 4’e daha yakındır.