Merhaba sevgili öğrencilerim, hadi bu alıştırmaları birlikte çözelim. Silindirin yüzey alanı konusunu pekiştirmek için harika sorular! Unutmayın, bir silindirin yüzey alanı, yanal alanı ile iki taban alanının toplamına eşittir. Formülümüzü hatırlayalım:
Yüzey Alanı = Yanal Alan + 2 * Taban Alanı
Yüzey Alanı = (2 * π * r * h) + (2 * π * r²)
Haydi başlayalım!
1. Soru: Aşağıdaki dik dairesel silindirlerin yüzey alanlarını hesaplayınız (π’yi 3 alınız).
a) Yarıçapı (r) = 3 cm, yüksekliği (h) = 2 cm olan silindir
Çözüm:
Bu silindirin yüzey alanını bulmak için önce taban alanını ve yanal alanını hesaplamalıyız.
- Adım 1: Taban Alanını Bulalım
Tabanımız bir daire ve dairenin alanı π * r² formülüyle bulunur.
Taban Alanı = 3 * (3 cm)² = 3 * 9 cm² = 27 cm²
Silindirin iki tane tabanı olduğu için toplam taban alanı: 2 * 27 cm² = 54 cm² - Adım 2: Yanal Alanı Bulalım
Yanal alan, taban çevresi ile yüksekliğin çarpımıdır: 2 * π * r * h
Yanal Alan = 2 * 3 * 3 cm * 2 cm = 36 cm² - Adım 3: Toplam Yüzey Alanını Hesaplayalım
Toplam Yüzey Alanı = Toplam Taban Alanı + Yanal Alan
Toplam Yüzey Alanı = 54 cm² + 36 cm² = 90 cm²
Sonuç: 90 cm²
b) Yarıçapı (r) = 2 cm, yüksekliği (h) = 4 cm olan silindir
Çözüm:
Yine aynı adımları izleyeceğiz.
- Adım 1: Taban Alanını Bulalım
Taban Alanı = π * r² = 3 * (2 cm)² = 3 * 4 cm² = 12 cm²
İki taban alanı: 2 * 12 cm² = 24 cm² - Adım 2: Yanal Alanı Bulalım
Yanal Alan = 2 * π * r * h = 2 * 3 * 2 cm * 4 cm = 48 cm² - Adım 3: Toplam Yüzey Alanını Hesaplayalım
Toplam Yüzey Alanı = 24 cm² + 48 cm² = 72 cm²
Sonuç: 72 cm²
c) Çapı = 2 cm, yüksekliği (h) = 9 cm olan silindir
Çözüm:
Dikkat! Bu soruda bize çap verilmiş. Önce yarıçapı bulmalıyız. Yarıçap, çapın yarısıdır.
Yarıçap (r) = Çap / 2 = 2 cm / 2 = 1 cm
- Adım 1: Taban Alanını Bulalım
Taban Alanı = π * r² = 3 * (1 cm)² = 3 * 1 cm² = 3 cm²
İki taban alanı: 2 * 3 cm² = 6 cm² - Adım 2: Yanal Alanı Bulalım
Yanal Alan = 2 * π * r * h = 2 * 3 * 1 cm * 9 cm = 54 cm² - Adım 3: Toplam Yüzey Alanını Hesaplayalım
Toplam Yüzey Alanı = 6 cm² + 54 cm² = 60 cm²
Sonuç: 60 cm²
ç) Çapı = 7 cm, yüksekliği (h) = 4 cm olan silindir
Çözüm:
Yine önce yarıçapı bulalım.
Yarıçap (r) = 7 cm / 2 = 3,5 cm
- Adım 1: Taban Alanını Bulalım
Taban Alanı = π * r² = 3 * (3,5 cm)² = 3 * 12,25 cm² = 36,75 cm²
İki taban alanı: 2 * 36,75 cm² = 73,5 cm² - Adım 2: Yanal Alanı Bulalım
Yanal Alan = 2 * π * r * h = 2 * 3 * 3,5 cm * 4 cm = 6 * 14 cm² = 84 cm² - Adım 3: Toplam Yüzey Alanını Hesaplayalım
Toplam Yüzey Alanı = 73,5 cm² + 84 cm² = 157,5 cm²
Sonuç: 157,5 cm²
2. Soru: Yan yüzünün alanı 880 cm², yüksekliği 20 cm olan yandaki dik dairesel silindirin yüzey alanını bulunuz (π’yi 22/7 alınız).
Çözüm:
Bu soruda bize yanal alan verilmiş, toplam yüzey alanını bulmamız isteniyor. Toplam alan için taban alanlarına ihtiyacımız var. Taban alanı için de yarıçapı (r) bilmemiz gerekiyor. Öyleyse yanal alan formülünü kullanarak önce yarıçapı bulalım.
- Adım 1: Yarıçapı (r) Bulalım
Yanal Alan = 2 * π * r * h
880 = 2 * (22/7) * r * 20
880 = (44/7) * r * 20
880 = (880/7) * r
Bu eşitlikte r’yi bulmak için 880’i (880/7)’ye böleriz. Bu da 880’i (7/880) ile çarpmak demektir.
r = 880 * (7 / 880) = 7 cm - Adım 2: Taban Alanını Bulalım
Yarıçapı artık biliyoruz. Şimdi taban alanını hesaplayabiliriz.
Taban Alanı = π * r² = (22/7) * (7 cm)² = (22/7) * 49 cm²
Taban Alanı = 22 * 7 cm² = 154 cm²
İki taban alanı: 2 * 154 cm² = 308 cm² - Adım 3: Toplam Yüzey Alanını Hesaplayalım
Toplam Yüzey Alanı = Yanal Alan + İki Taban Alanı
Toplam Yüzey Alanı = 880 cm² + 308 cm² = 1188 cm²
Sonuç: 1188 cm²
3. Soru: Taban alanı 314 cm², yüksekliği 6 cm olan dik dairesel silindirin yan yüzünün alanı kaç cm²’dir (π’yi 3,14 alınız)?
Çözüm:
Bu sefer de taban alanı verilmiş ve bizden yanal alanı bulmamız isteniyor. Yanal alan için yarıçapı bilmemiz gerek. Haydi taban alanı formülünden yarıçapı bulalım.
- Adım 1: Yarıçapı (r) Bulalım
Taban Alanı = π * r²
314 = 3,14 * r²
r²’yi bulmak için 314’ü 3,14’e bölelim.
r² = 314 / 3,14 = 100
Karesi 100 olan sayı 10’dur. Yani yarıçapımız r = 10 cm. - Adım 2: Yanal Alanı Hesaplayalım
Artık yanal alanı hesaplamak için her şeyimiz var.
Yanal Alan = 2 * π * r * h
Yanal Alan = 2 * 3,14 * 10 cm * 6 cm
Yanal Alan = 6,28 * 60 cm² = 376,8 cm²
Sonuç: 376,8 cm²
4. Soru: Kenar uzunlukları 6 cm ve 18 cm olan dikdörtgen şeklindeki eş kartonlar aşağıdaki gibi kıvrılarak ve tabanlarına daireler yerleştirilerek iki farklı dik dairesel silindir oluşturuluyor. Buna göre oluşturulan dik dairesel silindirlerin yüzey alanlarının farkı kaç cm²’dir (π’yi 3 alınız)?
Çözüm:
Çok güzel bir soru! Aynı dikdörtgeni farklı kenarları yükseklik olacak şekilde kıvırarak iki ayrı silindir yapacağız. İkisinin de yüzey alanını bulup farkını alacağız.
I. Silindir (Yükseklik 6 cm)
Bu silindirde yükseklik (h₁) 6 cm’dir. Dikdörtgenin 18 cm’lik kenarı ise taban dairesinin çevresi olur.
- Adım 1: Yarıçapı (r₁) Bulalım
Taban Çevresi = 2 * π * r₁
18 = 2 * 3 * r₁
18 = 6 * r₁ =>r₁ = 3 cm - Adım 2: Yüzey Alanını (A₁) Bulalım
Yanal Alan₁ = Dikdörtgenin Alanı = 18 cm * 6 cm = 108 cm²
Taban Alanı₁ = π * r₁² = 3 * (3 cm)² = 27 cm²
Toplam Alan₁ = Yanal Alan₁ + 2 * Taban Alanı₁ = 108 + 2 * 27 = 108 + 54 = 162 cm²
II. Silindir (Yükseklik 18 cm)
Bu silindirde yükseklik (h₂) 18 cm’dir. Dikdörtgenin 6 cm’lik kenarı ise taban dairesinin çevresi olur.
- Adım 1: Yarıçapı (r₂) Bulalım
Taban Çevresi = 2 * π * r₂
6 = 2 * 3 * r₂
6 = 6 * r₂ =>r₂ = 1 cm - Adım 2: Yüzey Alanını (A₂) Bulalım
Yanal Alan₂ = Dikdörtgenin Alanı = 6 cm * 18 cm = 108 cm²
Taban Alanı₂ = π * r₂² = 3 * (1 cm)² = 3 cm²
Toplam Alan₂ = Yanal Alan₂ + 2 * Taban Alanı₂ = 108 + 2 * 3 = 108 + 6 = 114 cm²
Farkı Bulalım
Yüzey Alanları Farkı = A₁ – A₂ = 162 cm² – 114 cm² = 48 cm²
Sonuç: 48 cm²
5. Soru: Taban çap uzunluğu ve yüksekliği verilen yandaki dik dairesel silindir biçimindeki kutunun dışı boyanacaktır. Buna göre kaç cm²’lik alan boyanacaktır (π’yi 3 alınız)?
Çözüm:
“Kutunun dışının boyanması” demek, aslında bize silindirin toplam yüzey alanının sorulduğu anlamına gelir. Verilenleri not alalım: Çap = 30 cm, Yükseklik (h) = 40 cm.
- Adım 1: Yarıçapı (r) Bulalım
Yarıçap, çapın yarısıdır. r = 30 cm / 2 = 15 cm. - Adım 2: Taban Alanını Bulalım
Taban Alanı = π * r² = 3 * (15 cm)² = 3 * 225 cm² = 675 cm²
İki tabanımız var (alt ve üst kapak), o yüzden: 2 * 675 cm² = 1350 cm² - Adım 3: Yanal Alanı Bulalım
Yanal Alan = 2 * π * r * h = 2 * 3 * 15 cm * 40 cm
Yanal Alan = 6 * 15 * 40 cm² = 90 * 40 cm² = 3600 cm² - Adım 4: Toplam Boyanacak Alanı Hesaplayalım
Toplam Alan = Yanal Alan + İki Taban Alanı
Toplam Alan = 3600 cm² + 1350 cm² = 4950 cm²
Sonuç: Kutunun dışını boyamak için 4950 cm²‘lik alan boyanacaktır.
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Anlamadığınız bir yer olursa sormaktan çekinmeyin. İyi çalışmalar!