Harika bir fikir! Merhaba sevgili öğrencilerim, ben sizin 8. Sınıf Matematik öğretmeniniz. Bana gönderdiğiniz bu görseldeki soruları çok beğendim. Tam da öğrendiğimiz konuları pekiştirecek, harika sorular. Gelin şimdi bu soruları hep birlikte, adım adım, anlayarak çözelim. Hazırsanız, başlayalım!
13. ABCD dik yamuğunda |AD| = 6 cm, m(ADC) = m(DAB) = 90°, |CD| = 4 cm ve |AB| = 12 cm’dir. Buna göre ABCD dik yamuğunun çevre uzunluğu kaç cm’dir?
Merhaba arkadaşlar, bu soruda bir dik yamuğun çevresini bulmamız isteniyor. Çevre demek, bütün kenar uzunluklarını toplamak demek. Şekle baktığımızda üç kenarı biliyoruz: AD, DC ve AB. Ama BC kenarının uzunluğunu bilmiyoruz. Onu bulmadan çevreyi hesaplayamayız.
Peki, BC kenarını nasıl bulacağız? İşte burada en yakın arkadaşımız Pisagor Teoremi devreye giriyor! Ama önce bir dik üçgen oluşturmamız lazım.
- Adım 1: C noktasından AB kenarına bir dikme indirelim. Bu dikmenin AB kenarını kestiği noktaya E diyelim. Böylece CEB adında bir dik üçgen oluşturmuş olduk. Aynı zamanda ADCE şeklinde bir dikdörtgen elde ettik.
- Adım 2: Oluşturduğumuz ADCE dikdörtgeninde karşılıklı kenarlar eşittir. Yani;
- |AD| = |CE| = 6 cm
- |DC| = |AE| = 4 cm
- Adım 3: AB kenarının tamamı 12 cm idi. AE kısmını 4 cm bulduk. Geriye kalan EB uzunluğunu bulalım:
|EB| = |AB| – |AE| = 12 – 4 = 8 cm.
- Adım 4: Artık CEB dik üçgenimizin dik kenarlarını biliyoruz: |CE| = 6 cm ve |EB| = 8 cm. Şimdi Pisagor Teoremi’ni kullanarak hipotenüsü, yani |BC| uzunluğunu bulabiliriz.
|CE|² + |EB|² = |BC|²
6² + 8² = |BC|²
36 + 64 = |BC|²
100 = |BC|²
|BC| = 10 cm
(Unutmayın, bu aslında 3-4-5 özel dik üçgeninin 2 katı olan 6-8-10 üçgenidir. Bunu fark ederseniz işlem yapmadan direkt 10 cm diyebilirsiniz!)
- Adım 5: Artık yamuğun tüm kenarlarını biliyoruz. Çevresini toplayarak bulalım.
Çevre = |AB| + |BC| + |CD| + |DA|
Çevre = 12 + 10 + 4 + 6 = 32 cm
Sonuç: 32
Doğru cevap D şıkkıdır.
14. Aşağıda verilen dikdörtgenlerden hangisinin köşegen uzunluğu diğerlerinden büyüktür?
Sevgili gençler, bir dikdörtgenin köşegeni, dikdörtgeni iki eş dik üçgene ayırır. Köşegen de bu dik üçgenlerin hipotenüsü olur. Yani her şık için ayrı ayrı Pisagor Teoremi’ni uygulayıp en uzun köşegeni bulacağız.
- A) Kenarları 3√2 cm ve √3 cm olan dikdörtgen:
Köşegen² = (3√2)² + (√3)²
Köşegen² = (9 * 2) + 3
Köşegen² = 18 + 3 = 21
Köşegen = √21 cm
- B) Kenarları 4 cm ve 2 cm olan dikdörtgen:
Köşegen² = 4² + 2²
Köşegen² = 16 + 4 = 20
Köşegen = √20 cm
- C) Kenarları 4 cm ve √2 cm olan dikdörtgen:
Köşegen² = 4² + (√2)²
Köşegen² = 16 + 2 = 18
Köşegen = √18 cm
- D) Kenarları 2√3 cm ve √3 cm olan dikdörtgen:
Köşegen² = (2√3)² + (√3)²
Köşegen² = (4 * 3) + 3
Köşegen² = 12 + 3 = 15
Köşegen = √15 cm
Şimdi bulduğumuz uzunlukları karşılaştıralım: √21, √20, √18, √15. Kareköklü sayılarda sıralama yaparken kök içindeki sayıya bakarız. Kök içi en büyük olan sayı en büyüktür.
Burada en büyük sayı 21’dir. Dolayısıyla en uzun köşegen √21 cm’dir.
Sonuç: √21 cm
Doğru cevap A şıkkıdır.
15. Sezin Hanım, bir apartmanın 3. katında oturmaktadır. Anahtarını evde unuttuğu için evin penceresine merdiven dayamıştır. Merdivenin uzunluğu 10 m ve merdivenin yere değdiği noktanın binaya olan uzaklığı 6 m olduğuna göre Sezin Hanım’ın evinin penceresi, yerden kaç metre yüksekliktedir?
Arkadaşlar, bu tür problem soruları gözünüzü korkutmasın. Aslında hepsi birer gizli dik üçgen sorusudur. Gelin bu problemi bir dik üçgene dönüştürelim.
- Adım 1: Merdiven, duvar ve yer bir dik üçgen oluşturur.
- Merdivenin kendisi, eğik durduğu için hipotenüs olur. Uzunluğu 10 m.
- Merdivenin yere değdiği noktanın binaya uzaklığı, üçgenin dik kenarlarından biri olur. Uzunluğu 6 m.
- Pencerenin yerden yüksekliği ise bizim aradığımız diğer dik kenar olur. Buna ‘h’ diyelim.
- Adım 2: Şimdi Pisagor Teoremi’ni yazalım:
(Dik Kenar)² + (Diğer Dik Kenar)² = (Hipotenüs)²
6² + h² = 10²
- Adım 3: Denklemi çözelim.
36 + h² = 100
h² = 100 – 36
h² = 64
h = √64
h = 8 metre
(Bakın, yine bir özel üçgen! 6-8-10 üçgeni. Eğer bunu hatırlarsanız, bu soruyu saniyeler içinde çözebilirsiniz.)
Sonuç: 8 metre
16. Kenar uzunlukları √7 cm, √14 cm ve 2√7 cm olan bir üçgenin dik üçgen olup olmadığını belirleyiniz.
Bir üçgenin dik üçgen olup olmadığını anlamanın tek bir yolu vardır: Pisagor Teoremi’ni sağlayıp sağlamadığını kontrol etmek. Yani, en uzun kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamına eşit mi?
- Adım 1: Önce en uzun kenarı bulalım. Kök dışındaki sayılar kafamızı karıştırabilir, bu yüzden hepsinin karesini alarak karşılaştıralım.
- (√7)² = 7
- (√14)² = 14
- (2√7)² = 4 * 7 = 28
Gördüğümüz gibi en uzun kenar 2√7 cm’dir. Eğer bu bir dik üçgen ise, hipotenüs bu kenar olmalıdır.
- Adım 2: Şimdi Pisagor kontrolünü yapalım. Diğer iki kenarın kareleri toplamı, en uzun kenarın karesine eşit mi?
(√7)² + (√14)² = (2√7)²
7 + 14 = 28
21 ≠ 28
- Adım 3: Eşitlik sağlanmadığı için bu üçgen Pisagor Teoremi’nin şartını yerine getirmiyor.
Sonuç: Bu üçgen bir dik üçgen değildir.
17. Koordinat sisteminde A(8, 0) ile B(0, a) noktaları arasındaki uzaklık 10 br’dir. Buna göre a pozitif tam sayısı kaçtır?
Koordinat sistemi soruları da aslında birer dik üçgen sorusudur. A noktası x ekseni üzerinde, B noktası y ekseni üzerinde. Bu iki noktayı birleştirdiğimizde, eksenlerle birlikte bir dik üçgen oluşur.
- Adım 1: Oluşan dik üçgenin kenarlarını hayal edelim.
- Orijinden (0,0) A(8,0) noktasına kadar olan yatay kenarın uzunluğu 8 birimdir.
- Orijinden (0,0) B(0,a) noktasına kadar olan dikey kenarın uzunluğu a birimdir.
- A ve B noktaları arasındaki uzaklık ise bu dik üçgenin hipotenüsüdür ve soruda 10 birim olarak verilmiş.
- Adım 2: Yine Pisagor Teoremi’ni uyguluyoruz.
8² + a² = 10²
64 + a² = 100
a² = 100 – 64
a² = 36
a = 6
(Evet, yine 6-8-10 özel üçgeni karşımıza çıktı! Bu özel üçgenleri bilmek ne kadar işimizi kolaylaştırıyor, değil mi?)
- Adım 3: Soruda ‘a’nın pozitif tam sayı olduğu belirtilmiş. Biz de 6 bulduk. O halde çözümümüz doğru.
Sonuç: a = 6
18. Yandaki KPRS ve ALMN dörtgenlerinde verilenlere göre dörtgenlerin eş olup olmadığını belirleyiniz.
İki çokgenin eş (kongruent) olması için hem karşılıklı kenar uzunluklarının hem de karşılıklı açılarının birbirine eşit olması gerekir. Gelin bu iki dörtgeni karşılaştıralım.
- Adım 1: Önce verilmeyen açıları bulalım. Bir dörtgenin iç açıları toplamı 360°’dir.
- KPRS Dörtgeni:
m(R) = 360° – (90° + 64° + 140°)
m(R) = 360° – 294° = 66°
- ALMN Dörtgeni:
m(N) = 360° – (90° + 64° + 66°)
m(N) = 360° – 220° = 140°
- KPRS Dörtgeni:
- Adım 2: Şimdi açıları ve kenarları sırasıyla karşılaştıralım. Köşeleri eşleştirmeye çalışalım.
K açısı (64°) ile A açısı (64°) eşleşiyor.
P açısı (90°) ile L açısı (90°) eşleşiyor.
R açısı (66°) ile M açısı (66°) eşleşiyor.
S açısı (140°) ile N açısı (140°) eşleşiyor.
Tüm karşılıklı açılar eşit! Bu harika bir başlangıç.
- Adım 3: Şimdi de kenarlara bakalım. Açıların sırasına göre kenarları da kontrol etmeliyiz.
- K(64°) ile P(90°) arasındaki kenar |KP| = 8 cm. A(64°) ile L(90°) arasındaki kenar |AL| = 8 cm. Bunlar eşit.
- P(90°) ile R(66°) arasındaki kenar |PR| = 8 cm. L(90°) ile M(66°) arasındaki kenar |LM| = 8 cm. Bunlar da eşit.
- R(66°) ile S(140°) arasındaki kenar |RS| = 6 cm. M(66°) ile N(140°) arasındaki kenar |MN| = 6 cm. Bunlar da eşit.
- Adım 4: Hem karşılıklı açılar hem de bu açıların arasındaki kenarlar sırasıyla birbirine eşit olduğu için bu iki dörtgenin eş olduğunu kesin olarak söyleyebiliriz.
Sonuç: Evet, bu iki dörtgen eştir. (KPRS ≅ ALMN)
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Unutmayın, geometri görmekle ilgilidir. Bol bol soru çözerek bu “görme” yeteneğinizi geliştirebilirsiniz. Hepinize başarılar dilerim!