Merhaba sevgili öğrencilerim! Bugün sizlerle birlikte harika bir matematik macerasına çıkacağız. Elimizdeki soruları tek tek inceleyip, her birini adım adım çözeceğiz. Hazırsanız başlayalım!
8. Aşağıda verilen bilgilere göre üçgenlerdeki c ve k uzunluklarının “cm” biriminde alabileceği en büyük doğal sayı değerlerini bulunuz.
Bu soruda bizden iki farklı üçgen verilmiş ve bu üçgenlerdeki bazı kenar uzunlukları verilmiş. Bizden istenen ise, üçgen eşitsizliğini kullanarak c ve k kenar uzunluklarının alabileceği en büyük tam sayı değerlerini bulmak.
Hatırlayalım, bir üçgende herhangi iki kenarın uzunlukları toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan daima büyüktür. Aynı şekilde, iki kenarın uzunlukları farkı da üçüncü kenarın uzunluğundan daima küçüktür.
**a) Birinci Üçgen (c kenarı için):**
Bu üçgenin kenar uzunlukları $a=7$ cm ve $b=5$ cm olarak verilmiş. Bizden c kenarının alabileceği en büyük tam sayı değerini bulmamız isteniyor.
* **Adım 1:** Üçgen eşitsizliğini uygulayalım. c kenarının uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları farkından büyük olmalıdır.
$|7 – 5| < c$
$2 < c$
* **Adım 2:** Üçgen eşitsizliğinin diğer kısmına göre, c kenarının uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük olmalıdır.
$c < 7 + 5$
$c < 12$
* **Adım 3:** Şimdi bu iki eşitsizliği birleştirelim.
$2 < c < 12$
* **Adım 4:** Bizden c'nin alabileceği en büyük **doğal sayı** değeri isteniyor. Bu aralıktaki en büyük tam sayı 11'dir.
Yani, c'nin alabileceği en büyük doğal sayı değeri 11 cm'dir.
**b) İkinci Üçgen (k kenarı için):**
Bu üçgenin kenar uzunlukları $m=7$ cm ve $n=10$ cm olarak verilmiş. Bizden k kenarının alabileceği en büyük tam sayı değerini bulmamız isteniyor.
* **Adım 1:** Üçgen eşitsizliğini uygulayalım. k kenarının uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları farkından büyük olmalıdır.
$|10 - 7| < k$
$3 < k$
* **Adım 2:** Üçgen eşitsizliğinin diğer kısmına göre, k kenarının uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük olmalıdır.
$k < 10 + 7$
$k < 17$
* **Adım 3:** Şimdi bu iki eşitsizliği birleştirelim.
$3 < k < 17$
* **Adım 4:** Bizden k'nin alabileceği en büyük **doğal sayı** değeri isteniyor. Bu aralıktaki en büyük tam sayı 16'dır.
Yani, k'nin alabileceği en büyük doğal sayı değeri 16 cm'dir.
**Sonuç:**
c kenarının alabileceği en büyük doğal sayı değeri: $textbf{11}$ cm
k kenarının alabileceği en büyük doğal sayı değeri: $textbf{16}$ cm
---
9. Yukarıda numaralandırılmış kutucuklardaki verilenlerden hangileri kullanılarak belirli bir üçgen çizilebilir?
Bir üçgen çizebilmemiz için bazı kurallar vardır. Bu kurallardan en önemlileri şunlardır:
* **Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşliği:** İki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açının ölçüsü biliniyorsa, üçgen çizilebilir.
* **Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşliği:** Bir kenar uzunluğu ve bu kenarın iki ucundaki açıların ölçüsü biliniyorsa, üçgen çizilebilir.
* **Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşliği:** Üç kenar uzunluğu biliniyorsa, üçgen çizilebilir. (Bu durumda üçgen eşitsizliği de sağlanmalıdır.)
Şimdi verilen her bir kutucuğu inceleyelim:
* **I. IVYI = 8 cm, İYZI = 4 cm, m($widehat{VYZ}$) = 40°**
Burada iki kenar uzunluğu (IVYI ve İYZI) ve bu kenarlar arasındaki açı (m($widehat{VYZ}$)) verilmiş. Bu, **Kenar-Açı-Kenar (KAK) eşliğidir**. Bu bilgilerle belirli bir üçgen çizebiliriz.
* **II. İKLI = 6 cm, İLMI = 2 cm, İKMI = 7 cm**
Burada üç kenar uzunluğu (İKLI, İLMI ve İKMI) verilmiş. Bu, **Kenar-Kenar-Kenar (KKK) eşliğidir**. Ancak, bu üç kenar uzunluğuyla üçgen çizilebilmesi için üçgen eşitsizliğinin sağlanması gerekir.
En uzun kenar 7 cm. Diğer iki kenarın toplamı: $6 + 2 = 8$ cm.
$8 > 7$ olduğu için üçgen eşitsizliği sağlanır. Bu bilgilerle de belirli bir üçgen çizebiliriz.
* **III. İDEI = 2 cm, İEFİ = 5 cm**
Burada sadece iki kenar uzunluğu verilmiş. Üçüncü kenar hakkında veya herhangi bir açı hakkında bilgi yok. Bu bilgilerle sonsuz sayıda farklı üçgen çizebiliriz. Dolayısıyla, belirli bir üçgen çizilemez.
* **IV. m($widehat{ABC}$) = 20°, m($widehat{CAB}$) = 50°, m($widehat{BCA}$) = 110°**
Burada üç açının ölçüsü verilmiş. Bir üçgenin iç açıları toplamı 180° olmalıdır. Kontrol edelim: $20° + 50° + 110° = 180°$.
Ancak, sadece açıların ölçüleri bilinirse, üçgenin kenar uzunlukları hakkında bilgi sahibi olmayız. Bu bilgilerle benzer üçgenler çizebiliriz ama belirli bir üçgen çizemeyiz. Yani, bu bilgilerle bir üçgenin sadece şekli belirlenir, boyutu belirlenmez.
**Sonuç:**
Belirli bir üçgen çizilebilen kutucuklar: $textbf{I ve II}$
—
10. Açıölçer ve cetvel kullanarak; m($widehat{BAC}$) = 70°, IABI = IACI = 3 cm olacak şekilde bir ABC üçgeni çiziniz. Çizdiğiniz üçgendeki IBCI kaç cm’dir? Cetvelle ölçerek bulunuz.
Bu soruda bizden bir üçgen çizmemiz ve sonra bir kenar uzunluğunu ölçmemiz isteniyor.
* **Adım 1: Üçgeni Çizme**
* Öncelikle, bir cetvel yardımıyla 3 cm uzunluğunda bir AB doğru parçası çizin.
* Şimdi, A noktasından başlayarak açıölçer yardımıyla 70 derecelik bir açı çizin. Bu çizdiğiniz ışın üzerinde AC kenarı yer alacak.
* Aynı şekilde, A noktasından başlayarak cetvelinizle 3 cm uzunluğunda AC doğru parçasını çizin.
* Son olarak, B noktasından C noktasına bir doğru parçası çizerek üçgeni tamamlayın.
* Bu çizimde, $m(widehat{BAC}) = 70°$, $IABI = 3$ cm ve $IACI = 3$ cm olmalıdır. Bu bir ikizkenar üçgendir çünkü iki kenar uzunluğu birbirine eşittir.
* **Adım 2: IBCI Kenarını Ölçme**
* Çiziminiz bittikten sonra, cetvelinizi kullanarak BC kenarının uzunluğunu ölçün.
**Sonuç:**
Çizdiğiniz üçgende cetvelle ölçtüğünüzde IBCI kenarının uzunluğu yaklaşık olarak **3.5 cm** civarında olacaktır. (Çizim hassasiyetinize göre bu değerde küçük farklılıklar olabilir.)
—
11. Aşağıdaki dik üçgenlerin verilmeyen kenar uzunluklarını bulunuz.
Dik üçgenlerde Pisagor teoremini kullanırız. Pisagor teoremi der ki: Bir dik üçgende, dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün (dik açının karşısındaki kenar) karesine eşittir. Yani, $a^2 + b^2 = c^2$ (burada a ve b dik kenarlar, c hipotenüstür).
**a) Birinci Dik Üçgen:**
Bu üçgende dik kenarlar 5 cm ve $2sqrt{3}$ cm olarak verilmiş. Hipotenüs ise x olarak verilmiş.
* **Adım 1:** Pisagor teoremini uygulayalım.
$(2sqrt{3})^2 + 5^2 = x^2$
* **Adım 2:** Kare alma işlemlerini yapalım.
$(2sqrt{3})^2 = 2^2 times (sqrt{3})^2 = 4 times 3 = 12$
$5^2 = 25$
* **Adım 3:** Elde ettiğimiz değerleri denklemde yerine koyalım.
$12 + 25 = x^2$
$37 = x^2$
* **Adım 4:** x’i bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım.
$x = sqrt{37}$ cm
**Sonuç:**
x kenarının uzunluğu: $textbf{sqrt{37}}$ cm
**b) İkinci Dik Üçgen:**
Bu üçgende bir dik kenar 4 cm, hipotenüs ise 12 cm olarak verilmiş. Diğer dik kenar ise y olarak verilmiş.
* **Adım 1:** Pisagor teoremini uygulayalım.
$4^2 + y^2 = 12^2$
* **Adım 2:** Kare alma işlemlerini yapalım.
$4^2 = 16$
$12^2 = 144$
* **Adım 3:** Elde ettiğimiz değerleri denklemde yerine koyalım.
$16 + y^2 = 144$
* **Adım 4:** $y^2$’yi yalnız bırakalım.
$y^2 = 144 – 16$
$y^2 = 128$
* **Adım 5:** y’yi bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım.
$y = sqrt{128}$
* **Adım 6:** $sqrt{128}$’i sadeleştirelim. $128 = 64 times 2$ olduğundan,
$y = sqrt{64 times 2} = sqrt{64} times sqrt{2} = 8sqrt{2}$ cm
**Sonuç:**
y kenarının uzunluğu: $textbf{8sqrt{2}}$ cm
**c) Üçüncü Dik Üçgen:**
Bu üçgende bir dik kenar 8 cm, hipotenüs ise a olarak verilmiş. Diğer dik kenar da ‘a’ olarak verilmiş. Bu bir ikizkenar dik üçgen.
* **Adım 1:** Pisagor teoremini uygulayalım.
$a^2 + a^2 = 8^2$
* **Adım 2:** Denklemi düzenleyelim.
$2a^2 = 64$
* **Adım 3:** $a^2$’yi yalnız bırakalım.
$a^2 = frac{64}{2}$
$a^2 = 32$
* **Adım 4:** a’yı bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım.
$a = sqrt{32}$
* **Adım 5:** $sqrt{32}$’yi sadeleştirelim. $32 = 16 times 2$ olduğundan,
$a = sqrt{16 times 2} = sqrt{16} times sqrt{2} = 4sqrt{2}$ cm
**Sonuç:**
a kenarının uzunluğu: $textbf{4sqrt{2}}$ cm
—
12. Yandaki şekilde, ADC dik üçgendir. m($widehat{DAB}$) = m($widehat{ADC}$) = 90°, IADI = 12 cm, ICDI = 5 cm ve IABI = 21 cm olduğuna göre ABC üçgeninin çevre uzunluğunun, ADC üçgeninin çevre uzunluğuna oranı kaçtır?
Bu soruda bizden iki farklı üçgenin çevre uzunluklarının oranını bulmamız isteniyor.
* **Adım 1: ADC Üçgeninin Kenar Uzunluklarını Bulma**
* ADC üçgeni bir dik üçgendir.
* Dik kenarlar IADI = 12 cm ve ICDI = 5 cm olarak verilmiş.
* Hipotenüs (AC kenarı) ise Pisagor teoremi ile bulunur.
$AC^2 = AD^2 + CD^2$
$AC^2 = 12^2 + 5^2$
$AC^2 = 144 + 25$
$AC^2 = 169$
$AC = sqrt{169}$
$AC = 13$ cm
* **Adım 2: ADC Üçgeninin Çevre Uzunluğunu Hesaplama**
* Çevre, tüm kenar uzunluklarının toplamıdır.
* Çevre(ADC) = IADI + ICDI + IACDI
* Çevre(ADC) = 12 cm + 5 cm + 13 cm
* Çevre(ADC) = 30 cm
* **Adım 3: ABC Üçgeninin Kenar Uzunluklarını Bulma**
* ABC üçgeni de bir dik üçgendir çünkü m($widehat{DAB}$) = 90° verilmiş.
* Dik kenarlardan biri IADI = 12 cm (bu kenar hem ADC hem de ABC üçgeninde ortak).
* Diğer dik kenar ise IAB = IADI + IDBI şeklinde düşünülebilir. Bize IABI = 21 cm verilmiş. Bu uzunluk D noktasını da içeriyor. Yani, $IAB = 21$ cm’dir. Bu kenar AB’dir.
* Bir dik kenarı AD = 12 cm, diğer dik kenarı AB = 21 cm olarak verilmiş.
* Hipotenüs (BC kenarı) ise Pisagor teoremi ile bulunur.
$BC^2 = AB^2 + AC^2$
Burada dikkatli olalım, ABC üçgeninde dik açı A’dadır. Dolayısıyla kenarlar AB ve AC’dir. Hipotenüs BC’dir.
$BC^2 = 21^2 + 13^2$
$21^2 = 441$
$13^2 = 169$
$BC^2 = 441 + 169$
$BC^2 = 610$
$BC = sqrt{610}$ cm
* **Adım 4: ABC Üçgeninin Çevre Uzunluğunu Hesaplama**
* Çevre(ABC) = IABI + IACI + IBCI
* Çevre(ABC) = 21 cm + 13 cm + $sqrt{610}$ cm
* Çevre(ABC) = $(34 + sqrt{610})$ cm
* **Adım 5: Oranı Hesaplama**
* Bizden istenen oran: $frac{text{Çevre(ABC)}}{text{Çevre(ADC)}}$
* Oran = $frac{(34 + sqrt{610}) text{ cm}}{30 text{ cm}}$
**Sonuç:**
ABC üçgeninin çevre uzunluğunun, ADC üçgeninin çevre uzunluğuna oranı: $textbf{frac{34 + sqrt{610}}{30}}$
Umarım bu çözümlerimiz anlaşılır olmuştur. Anlamadığınız yerleri lütfen çekinmeden sorun! Başarılar dilerim!