Harika bir çalışma! Hadi bu alıştırmaları birlikte, adım adım çözelim. Unutma, kareköklü sayılarla işlem yapmak aslında çok zevklidir, sadece kuralları doğru hatırlamamız gerekiyor. Tıpkı elmalarla armutları toplayamadığımız gibi, kök içleri farklı olan sayıları da toplayıp çıkaramayız.
1. Soru: 7 – 3√7 – √49 işleminin sonucu, yukarıdaki kutucukların hangisinde verilmiştir?
Bu soruyu çözmek için önce işlemdeki her bir sayıyı en sade haline getirmeliyiz. Haydi başlayalım!
Adım 1: İşlemdeki sayılara bir göz atalım: 7, -3√7 ve -√49 var. Burada √49’un tam kare bir sayı olduğunu hemen fark etmeliyiz. 49, 7’nin karesidir. O halde √49 = 7 olur.
Adım 2: Şimdi √49 yerine 7 yazarak işlemi yeniden düzenleyelim.
7 – 3√7 – 7
Adım 3: Bu işlemde tam sayılar (7 ve -7) ve köklü bir ifade (-3√7) var. Kendi aralarında işlem yapabileceğimiz terimleri bir araya getirelim. Yani 7’den 7’yi çıkaralım.
(7 – 7) – 3√7 = 0 – 3√7
Sonuç: İşlemin sonucu -3√7‘dir. Bu da IV numaralı kutucukta verilmiştir.
2. Soru: Yandaki tabloda verilen işlemlerin sonuçlarını, karşılarındaki boşluklara yazınız.
Bu tabloda bizden istenen, kareköklü sayılarla toplama ve çıkarma işlemleri yapmak. Kuralımız neydi? Kök içleri aynı olan sayıların katsayılarını toplayıp çıkarabiliriz.
- İşlem: √5 – √125 + √25
Çözüm: Önce kökleri en sade hale getirelim. √125 = √(25 · 5) = 5√5 ve √25 = 5’tir.
İşlemimiz şuna dönüştü: √5 – 5√5 + 5
Şimdi kök içleri aynı olanları (yani √5 olanları) kendi arasında işleme sokalım. √5’in başında gizli bir 1 olduğunu unutma! (1 – 5)√5 = -4√5.
Sonuç:-4√5 + 5- İşlem: √45 + √5 – 4
Çözüm: Yine kökleri sadeleştirelim. √45 = √(9 · 5) = 3√5.
İşlemimiz: 3√5 + √5 – 4
Kök içleri aynı olanları toplayalım: (3 + 1)√5 = 4√5.
Sonuç:4√5 – 4- İşlem: 5 – 3√2 – √5
Çözüm: Bu işlemdeki terimlere bakalım: 5 (tam sayı), -3√2 (kök içi 2), -√5 (kök içi 5). Kök içleri farklı olduğu için bu terimler arasında toplama veya çıkarma yapamayız. Bu ifade en sade halindedir.
Sonuç:5 – 3√2 – √5- İşlem: 3 + √7 + √175
Çözüm: √175’i sadeleştirmemiz gerekiyor. 175 = 25 · 7 olduğunu görürsek, √175 = √(25 · 7) = 5√7 olur.
İşlemimiz: 3 + √7 + 5√7
Kök içleri aynı olanları toplayalım: (1 + 5)√7 = 6√7.
Sonuç:3 + 6√7
3. Soru: Aşağıdaki işlemlerde verilen noktalı yerlere uygun sayıları yazınız.
Burada denklemler var gibi düşünebiliriz. Boşlukları bulmak için bilinenlerden yola çıkacağız.
a) √5 – ………… = 4√5
Çözüm: √5’ten ne çıkarırsak sonuç 4√5 olur diye düşüneceğiz. Sonucun katsayısı (4), baştaki sayının katsayısından (1) daha büyük. Bu ancak negatif bir sayı çıkarırsak olur. (1 – ?) = 4 ise ? = -3 olmalıdır. O halde boşluğa -3√5 gelmelidir.b) √3 + √2 – ………… = √3 – 3√2
Çözüm: Eşitliğin solunda √3 var, sağında da var. Demek ki √3’e dokunulmamış. Sol tarafta +√2 varken, sağ tarafta -3√2 olmuş. (+1)’den ne çıkarırsak -3 olur? (+1) – (?) = -3 ise ? = 4’tür. O halde boşluğa 4√2 gelmelidir.c) √36 + ………… – 4√6 = 6
Çözüm: √36 = 6’dır. İşlemimiz: 6 + ………… – 4√6 = 6 oldu. Eşitliğin her iki tarafında da 6 var. Bunlar birbirini götürür. Geriye ………… – 4√6 = 0 kalır. Bu durumda boşluğa 4√6 gelmelidir ki sonuç 0 olsun.ç) 5 – √25 + 3√5 = …………
Çözüm: √25 = 5’tir. İşlem: 5 – 5 + 3√5. 5 – 5 = 0 olduğuna göre, sonuç 3√5‘tir.d) 8√2 – √2 + 10 – 2√25 = …………
Çözüm: √25 = 5’tir. İşlemi yeniden yazalım: 8√2 – √2 + 10 – 2·5 = 8√2 – √2 + 10 – 10. Kök içleri aynı olanları (8√2 – √2 = 7√2) ve tam sayıları (10 – 10 = 0) kendi arasında işleme sokalım. Sonuç 7√2 olur.e) 1 – √9 – ………… = -11
Çözüm: √9 = 3’tür. İşlem: 1 – 3 – ………… = -11. Yani -2 – ………… = -11. -2’den kaç çıkarırsak -11 olur? Cevap 9’dur. Boşluğa 9 gelmelidir.f) √72 + ………… = 0
Çözüm: Bir sayıyla neyi toplarsak 0 olur? O sayının ters işaretlisini! Önce √72’yi sadeleştirelim: √72 = √(36 · 2) = 6√2. O halde boşluğa -6√2 gelmelidir.g) √64 – √3 + ………… = 8 + 4√3
Çözüm: √64 = 8’dir. İşlem: 8 – √3 + ………… = 8 + 4√3. Eşitliğin iki tarafındaki 8’ler birbirini götürür. Geriye –√3 + ………… = 4√3 kalır. -√3’e ne eklersek 4√3 olur? Cevap 5√3’tür. Boşluğa 5√3 gelmelidir.
4. Soru: Yandaki tabloda verilen işlemleri örnekteki gibi yaparak tabloyu doldurunuz.
Bu bir toplama tablosu. Satırdaki sayıyla sütundaki sayıyı toplayıp kesiştikleri yere yazacağız. Ama önce dikkat! -√20 diye bir sayımız var. Onu hemen sadeleştirelim: -√20 = -√(4 · 5) = -2√5. Şimdi tabloyu doldurmak çok daha kolay olacak.
- √5 + (-√5) = 0
- √5 + 3√5 = 4√5
- √5 + √5 = 2√5
- 2√5 + (-√5) = √5
- 2√5 + 3√5 = 5√5
- 2√5 + √5 = 3√5
- -8√5 + 2√5 = -6√5
- -8√5 + (-√5) = -9√5
- -8√5 + 3√5 = -5√5
- -8√5 + √5 = -7√5
- -2√5 + 2√5 = 0
- -2√5 + (-√5) = -3√5
- -2√5 + 3√5 = √5
- -2√5 + √5 = -√5
5. Soru: Aşağıdaki üçgenin, altıgenin ve dikdörtgenin çevre uzunluklarını bularak noktalı yerlere yazınız.
Çevre demek, bir şeklin etrafındaki tüm kenar uzunluklarını toplamak demektir. Haydi sırayla bulalım.
a) Üçgen:
Adım 1: Üçgenin kenar uzunlukları 3√5 cm, 3√5 cm ve 7√2 cm’dir.
Adım 2: Çevresini bulmak için bu üç uzunluğu toplarız: Ç = 3√5 + 3√5 + 7√2
Adım 3: Kök içleri aynı olan terimleri (3√5 ve 3√5) toplayabiliriz: (3+3)√5 = 6√5. 7√2’nin kök içi farklı olduğu için onu ayrı yazarız.
Sonuç: Ç = 6√5 + 7√2 cmb) Altıgen:
Adım 1: Şekle baktığımızda tüm kenarlarında bir çizgi olduğunu görüyoruz. Bu, bütün kenarların eşit uzunlukta olduğu anlamına gelir. Yani bu bir düzgün altıgendir. Bir kenarı √3 cm olarak verilmiş.
Adım 2: Altıgenin 6 kenarı olduğuna göre, çevresini bulmak için bir kenar uzunluğunu 6 ile çarparız: Ç = 6 × √3
Sonuç: Ç = 6√3 cmc) Dikdörtgen:
Adım 1: Dikdörtgenin kısa kenarı √2 cm, uzun kenarı 2√2 cm’dir.
Adım 2: Çevresini bulmak için iki yöntem kullanabiliriz. Ya bütün kenarları toplarız (2√2 + 2√2 + √2 + √2) ya da kısa ve uzun kenarı toplayıp 2 ile çarparız. İkinci yol daha pratiktir: Ç = 2 × (Uzun Kenar + Kısa Kenar)
Adım 3: Ç = 2 × (2√2 + √2). Önce parantez içini yapalım: 2√2 + √2 = 3√2.
Adım 4: Şimdi 2 ile çarpalım: Ç = 2 × (3√2) = 6√2.
Sonuç: Ç = 6√2 cm
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Kareköklü sayılarla pratik yaptıkça çok daha kolay hale gelecektir. Başarılar dilerim