Harika bir çalışma! Sevgili 8. sınıf öğrencilerim, bu alıştırmaları birlikte çözerek üçgen çizimi konusundaki bilgilerimizi pekiştirelim. Unutmayın, geometri çizerken ve düşünürken daha kolay öğrenilir. Hadi başlayalım!
Soru 1:Açıölçer, pergel ve cetvel kullanarak aşağıda bazı ölçüleri verilen ABC üçgenlerini çiziniz.
Çözüm:
Bu soruda bize verilen bilgilere göre üçgenlerimizi adım adım çizeceğiz. Geometri setleriniz hazır olsun!
a) |AB| = 10 cm, |BC| = 4 cm, m(ABC) = 60°
Burada bize iki kenar uzunluğu ve bu kenarların arasındaki açı verilmiş. Bu duruma biz Kenar-Açı-Kenar (K.A.K.) kuralı diyoruz.
- Adım 1: Cetvelinle 10 cm uzunluğunda bir [AB] doğru parçası çiz.
- Adım 2: Açıölçerini (iletki) B köşesine koy ve 60 derecelik bir açı belirle. Bu açıdan geçen bir ışın çiz.
- Adım 3: Şimdi cetvelinle B noktasından başlayarak bu ışın üzerinde 4 cm’lik bir uzunluk ölç ve bu noktayı C olarak isimlendir.
- Adım 4: Son olarak A ve C noktalarını birleştir. İşte ABC üçgenin hazır!
b) |AC| = 6 cm, m(BAC) = 50°, m(BCA) = 20°
Bu sefer de bir kenar uzunluğu ve bu kenarın uçlarındaki iki açı verilmiş. Buna da Açı-Kenar-Açı (A.K.A.) kuralı diyoruz.
- Adım 1: Cetvelinle 6 cm uzunluğunda bir [AC] doğru parçası çiz.
- Adım 2: Açıölçerini A köşesine koy ve 50 derecelik bir açı çizerek bir ışın uzat.
- Adım 3: Açıölçerini bu kez C köşesine koy ve 20 derecelik bir açı çizerek bir ışın uzat.
- Adım 4: Bu iki ışının kesiştiği nokta, üçgenimizin B köşesi olacak. İşte bu kadar!
c) |AB| = 8 cm, |BC| = 6 cm, |AC| = 4 cm
Burada ise üçgenin bütün kenar uzunlukları verilmiş. Bu çizim türüne Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K.) kuralı diyoruz. Bu çizim için pergel kullanacağız.
- Adım 1: Cetvelinle en uzun kenar olan 8 cm’lik [AB] doğru parçasını çiz.
- Adım 2: Pergelini 6 cm aç. Pergelin sivri ucunu B noktasına koy ve bir yay çiz.
- Adım 3: Şimdi pergelini 4 cm aç. Pergelin sivri ucunu bu sefer A noktasına koy ve önceki yayı kesecek şekilde yeni bir yay çiz.
- Adım 4: Yayların kesiştiği nokta, bizim C köşemizdir. A ve B noktalarını C noktasıyla birleştir. Üçgenin hazır!
Soru 2:Dik kenarlarından birinin uzunluğu 3 cm olan bir dik üçgenin çizilebilmesi için başka hangi ölçüye ya da ölçülere ihtiyaç vardır? Açıklayınız.
Çözüm:
Harika bir soru! Bir dik üçgen çizebilmek için elimizde zaten bir bilgi var: açılardan birinin 90° olduğu. Ayrıca bir dik kenarın da 3 cm olduğunu biliyoruz. Tek bir üçgen çizebilmemiz için ek bilgilere ihtiyacımız var. İşte olası durumlar:
- 1. Diğer dik kenarın uzunluğu: Eğer diğer dik kenarın da uzunluğunu bilirsek (mesela 4 cm olsun), 3 cm ve 4 cm’lik kenarları 90 derecelik açıyla birleştirir ve hipotenüsü çizerek üçgeni tamamlarız. (K.A.K. kuralı gibi)
- 2. Hipotenüsün uzunluğu: Eğer 90 derecenin karşısındaki kenar olan hipotenüsün uzunluğunu bilirsek (mesela 5 cm olsun), pergel ve cetvel yardımıyla üçgeni çizebiliriz.
- 3. Açılardan birinin ölçüsü: 90 derece dışındaki diğer iki açıdan birini bilirsek (mesela 40° olsun), diğer açıyı da hemen buluruz (180 – 90 – 40 = 50°). Böylece A.K.A kuralını kullanarak üçgeni çizebiliriz.
Kısacası, ikinci bir kenar uzunluğuna (dik kenar veya hipotenüs) ya da ikinci bir açı ölçüsüne ihtiyacımız vardır.
Soru 3:Yukarıdaki üçgenlerden hangileri çizilebilir?
Çözüm:
Bir üçgenin çizilebilmesi için belirli kurallarımız vardı, hatırlayalım:
- I. Üç kenarının uzunluğu bilinen bir üçgen:Evet, çizilebilir. Ancak bir şartla: üçgen eşitsizliği sağlanmalı. Yani herhangi iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyük, farkı ise küçük olmalı. Bu şart sağlandığı sürece K.K.K. kuralıyla çizeriz.
- II. İki kenarının uzunluğu bilinen bir üçgen:Hayır, tek bir üçgen çizilemez. Sadece iki kenarı bilmek yetmez. Aralarındaki açıyı bilmediğimiz için sonsuz farklı üçgen çizebiliriz.
- III. İki kenarının uzunluğu ve bu kenarların arasındaki açısının ölçüsü bilinen bir üçgen:Evet, çizilebilir. Bu K.A.K. kuralıdır ve tek bir üçgen belirtir.
- IV. İki açısının ölçüsü bilinen bir üçgen:Hayır, tek bir üçgen çizilemez. Üçüncü açıyı bulabiliriz ama kenar uzunluğu bilmediğimiz için aynı açılara sahip sonsuz sayıda (büyüklü küçüklü) üçgen çizebiliriz. Bunlara benzer üçgenler deriz.
- V. İki iç açısının ölçüsü ve bir kenarının uzunluğu bilinen bir üçgen:Evet, çizilebilir. İki açıyı bilince üçüncüyü de buluruz. Bir de kenar uzunluğu bildiğimiz için A.K.A. kuralını kullanarak tek bir üçgen çizebiliriz.
Sonuç: I, III ve V numaralı durumlarda verilen bilgilerle tek bir üçgen çizilebilir.
Soru 4:Kenar uzunlukları |DE| = 5 cm, |EF| = 12 cm ve |DF| = 13 cm olan DEF üçgenini pergel yardımıyla çiziniz. Çizdiğiniz üçgenin açılarına göre çeşidini belirtiniz.
Çözüm:
Bu bir K.K.K. çizimidir. Çizim adımları 1. sorunun c şıkkındaki gibidir. Gelelim üçgenin çeşidine. Açılarına göre çeşidini bulmak için Pisagor bağıntısını kontrol edebiliriz. En uzun kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamına eşit mi diye bakalım.
- Adım 1: En uzun kenar |DF| = 13 cm. Karesini alalım: 13² = 169.
- Adım 2: Diğer iki kenarın karelerini toplayalım: 5² + 12² = 25 + 144 = 169.
- Adım 3: Gördüğünüz gibi, 5² + 12² = 13² eşitliği sağlandı!
Bu eşitlik sadece dik açılı üçgenlerde geçerlidir. En uzun kenarın (hipotenüs) karşısındaki açı 90 derecedir.
Sonuç: DEF üçgeni bir dik açılı üçgendir. Dik açı E köşesindedir (m(DEF) = 90°).
Soru 5:|AB| = 7 cm ve m(ABC) = 30° olan bir ABC üçgeninin çizilebilmesi için başka hangi ölçü ya da ölçülerin bilinmesi yeterli olur?
Çözüm:
Elimizde bir kenar ([AB]) ve bu kenarın bir ucundaki açı (B açısı) var. Üçgen çizim kurallarını düşünelim:
- Eğer |BC| kenarının uzunluğunu bilirsek, K.A.K. kuralından üçgeni çizebiliriz.
- Eğer m(BAC) açısının ölçüsünü (A açısı) bilirsek, A.K.A. kuralından üçgeni çizebiliriz.
- Eğer m(BCA) açısının ölçüsünü (C açısı) bilirsek, A açısını (180 – 30 – C) bularak yine A.K.A. kuralından üçgeni çizebiliriz.
Yani, bu bilgilere ek olarak |BC| kenarını veya A açısını veya C açısını bilmemiz yeterlidir.
Soru 6:Açıölçer ve cetvel kullanarak |AB| = 4 cm, m(ABC) = 30° ve m(CAB) = 60° olacak şekilde bir ABC üçgeni çiziniz. Çizdiğiniz üçgenin çevre uzunluğunu cetvel yardımıyla bulunuz.
Çözüm:
Bu bir A.K.A. çizimidir. Önce çizimi yapalım, sonra çevresini ölçelim.
- Adım 1: Cetvelinle 4 cm uzunluğunda [AB] doğru parçasını çiz.
- Adım 2: Açıölçerini A köşesine koy ve 60 derecelik bir ışın çiz.
- Adım 3: Açıölçerini B köşesine koy ve 30 derecelik bir ışın çiz.
- Adım 4: Bu iki ışının kesiştiği yer C köşesidir. Üçgenimiz oluştu!
- Adım 5: Şimdi cetvelini al ve |AC| ile |BC| kenarlarının uzunluklarını dikkatlice ölç.
- Adım 6: Çevreyi bulmak için üç kenarın uzunluğunu topla: Çevre = |AB| + |BC| + |AC|.
İpucu: Bu üçgenin üçüncü açısı C açısı, 180° – (60° + 30°) = 90°’dir. Yani bu bir dik üçgendir. Doğru çizim yaptıysan |AC| kenarını yaklaşık 2 cm, |BC| kenarını ise yaklaşık 3,5 cm ölçmelisin. Bu durumda çevre yaklaşık olarak 4 + 3,5 + 2 = 9,5 cm olur. Senin ölçümün de bu değere çok yakın çıkmalı!
Soru 7:Cetvel ve pergel kullanarak |RS| = 2 cm, |PR| = 5 cm, |PS| = 3,5 cm olacak şekilde geniş açılı PSR üçgenini çiziniz. Çizdiğiniz üçgenin geniş açısının ölçüsünü açıölçer yardımıyla bulunuz.
Çözüm:
Yine bir K.K.K. çizimi sorusu. Önce üçgenimizi çizelim.
- Adım 1: Cetvelinle en uzun kenar olan 5 cm’lik [PR] doğru parçasını çiz.
- Adım 2: Pergelini 3,5 cm aç. Sivri ucunu P noktasına koy ve bir yay çiz.
- Adım 3: Pergelini bu kez 2 cm aç. Sivri ucunu R noktasına koy ve diğer yayı kesecek şekilde yeni bir yay çiz.
- Adım 4: Yayların kesişim noktası S köşesidir. S noktasını P ve R ile birleştir.
Şimdi geniş açıyı bulalım. Bir üçgende geniş açı (eğer varsa) her zaman en uzun kenarın karşısındaki açıdır. En uzun kenarımız |PR| = 5 cm olduğuna göre, geniş açı S köşesindedir.
- Adım 5: Açıölçerini S köşesine yerleştir ve PSR açısını ölç.
Ölçüm yaptığında bu açının 90 dereceden büyük olduğunu göreceksin. Bu da üçgenin geniş açılı olduğunu kanıtlar.
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Unutmayın, pratik yapmak en iyi öğretmendir. Başarılar dilerim!