Merhaba sevgili öğrencim,
Harika bir konuyla ilgili sorular göndermişsin. Kareköklü ifadelerle çarpma ve sonucun doğal sayı olması konusu, LGS’de de sıkça karşımıza çıkan önemli bir temel. Gel, bu soruları birlikte, adım adım ve tane tane anlayarak çözelim.
Soru 1: Yukarıdaki birer kenar uzunluğu verilen karelerin alanları cm² biriminde doğal sayı mı, yoksa irrasyonel sayı mıdır? Bir kareköklü ifadenin kendisi ile çarpımı her zaman doğal sayı olur mu? Açıklayınız.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için önce bir karenin alanının nasıl bulunduğunu hatırlayalım. Karenin alanı, bir kenar uzunluğunun kendisiyle çarpılmasıyla bulunur. Yani Alan = Kenar x Kenar.
Haydi şimdi sırayla karelerimizin alanlarını hesaplayalım:
- Mavi Kare (ABCD):
Adım 1: Bu karenin bir kenarı √2 cm olarak verilmiş.
Adım 2: Alanını bulmak için kenar uzunluğunu kendisiyle çarparız: Alan = √2 ⋅ √2
Adım 3: Kareköklü sayılarda çarpma kuralını hatırlayalım: √a ⋅ √b = √(a⋅b). O halde, √2 ⋅ √2 = √(2⋅2) = √4 olur.
Adım 4: √4’ün değeri 2’dir. Sonuç: 2 cm². 2 bir doğal sayıdır.
- Turuncu Kare (EFGH):
Adım 1: Bu karenin bir kenarı √7 cm.
Adım 2: Alanını bulalım: Alan = √7 ⋅ √7
Adım 3: Çarpma işlemini yapalım: √7 ⋅ √7 = √(7⋅7) = √49.
Adım 4: √49’un değeri 7’dir. Sonuç: 7 cm². 7 de bir doğal sayıdır.
- Pembe Kare (KLMN):
Adım 1: Bu karenin bir kenarı 2√3 cm. Dikkat, burada kök dışında da bir katsayı var!
Adım 2: Alanını bulalım: Alan = (2√3) ⋅ (2√3)
Adım 3: Bu tür çarpmalarda katsayıları kendi arasında, kök içlerini de kendi arasında çarparız. Yani (2 ⋅ 2) ⋅ (√3 ⋅ √3).
Adım 4: İşlemi yapalım: 4 ⋅ √9 = 4 ⋅ 3 = 12. Sonuç: 12 cm². 12 de bir doğal sayıdır.
Sorunun ikinci kısmına gelelim:“Bir kareköklü ifadenin kendisi ile çarpımı her zaman doğal sayı olur mu?”
Yukarıdaki örneklerde gördüğümüz gibi, √2’yi kendisiyle çarptık 2 oldu, √7’yi kendisiyle çarptık 7 oldu, 2√3’ü kendisiyle çarptık 12 oldu. Hepsi birer doğal sayı!
Kural: Bir kareköklü ifade kendisi ile çarpıldığında, karekök ortadan kalkar ve içindeki sayı dışarı çıkar. Örneğin, √a ⋅ √a = a. Kökün içindeki sayı (a) pozitif bir sayı olduğu sürece, sonuç her zaman bir doğal sayı olur.
Yani sorunun cevabı: EVET, her zaman bir doğal sayı olur.
Örnek Soru: √50 sayısı ile çarpıldığında sonucu doğal sayı yapan sayılara örnek veriniz.
Çözüm:
Sevgili öğrencim, bu tür sorularda amacımız, kareköklü ifadenin içindeki sayıyı “kök dışına tamamen çıkarmak”tır. Bunun için de kökün içini bir tam kare sayı yapmamız gerekir.
Adım 1: √50 sayısını a√b şeklinde yazalım.
Bunun için 50’yi asal çarpanlarına ayırırız. 50 = 2 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2 ⋅ 5². Kök içinde çifti olan sayı (yani 5) dışarı çıkar, tek kalan (yani 2) içeride kalır.
Yani, √50 = 5√2.
Adım 2: Amacımızı belirleyelim.
Elimizdeki sayı 5√2. Bu sayıyı öyle bir sayıyla çarpacağız ki sonuç doğal sayı olacak. Buradaki “sorunlu” kısım, irrasyonel olan √2‘dir. Bu √2’den kurtulmamız lazım. Peki √2’den nasıl kurtuluruz? Tabii ki onu yine √2 ile çarparak!
Adım 3: Örnekler bulalım.
En basit örnek, köklü kısmı √2 olan bir sayıdır. Mesela √2‘nin kendisi.
- Örnek 1: √2 ile çarpalım.
(5√2) ⋅ (√2) = 5 ⋅ (√2 ⋅ √2) = 5 ⋅ 2 = 10. Gördüğün gibi 10 bir doğal sayı. Demek ki √2 doğru bir örnek.
Peki başka örnekler olabilir mi? Elbette! Önemli olan, çarpacağımız sayının köklü kısmının √2 olması.
- Örnek 2: √8 ile çarpalım.
Önce √8’i a√b şeklinde yazalım: √8 = √(4⋅2) = 2√2.
Şimdi çarpalım: (5√2) ⋅ (2√2) = (5 ⋅ 2) ⋅ (√2 ⋅ √2) = 10 ⋅ 2 = 20. Sonuç yine bir doğal sayı! Demek ki √8 de olur.
- Örnek 3: 3√2 ile çarpalım.
Çarpalım: (5√2) ⋅ (3√2) = (5 ⋅ 3) ⋅ (√2 ⋅ √2) = 15 ⋅ 2 = 30. Sonuç yine doğal sayı! 3√2 de doğru bir örnek.
- Örnek 4: √32 ile çarpalım.
Önce √32’yi a√b şeklinde yazalım: √32 = √(16⋅2) = 4√2.
Şimdi çarpalım: (5√2) ⋅ (4√2) = (5 ⋅ 4) ⋅ (√2 ⋅ √2) = 20 ⋅ 2 = 40. Bu da oldu!
Kısacası, √50 (yani 5√2) sayısını, içinde √2 çarpanı bulunduran herhangi bir kareköklü ifadeyle çarparsak sonuç bir doğal sayı olur.
Örneklerimiz: √2, √8, 3√2, √32, 5√2 … gibi sayılar olabilir.
Umarım açıklamalarım anlaşılır olmuştur. Kareköklü sayılarla pratik yaptıkça bu konu sana çok daha kolay gelecek. Başarılar dilerim!