Harika bir çalışma! Sevgili öğrencim, gönderdiğin bu alıştırmaları senin için bir 8. sınıf matematik öğretmeni olarak adım adım, anlayacağın bir dille çözeceğim. Unutma, geometri görmekle ilgilidir. Sorulardaki üçgenleri fark ettiğin an, gerisi çorap söküğü gibi gelecektir. Haydi başlayalım!
1. Aşağıdaki kare ve dikdörtgenlerin köşegen uzunluklarını bulunuz.
Bu sorularda en yakın arkadaşımız Pisagor Teoremi olacak. Hatırlayalım: Bir dik üçgende, dik kenarların karelerinin toplamı, en uzun kenar olan hipotenüsün karesine eşittir. Yani a² + b² = c². Şekillerdeki köşegenler, aslında bir dik üçgenin hipotenüsüdür.
a)
Burada kenarları 4 cm ve 8 cm olan bir dikdörtgenimiz var. Köşegenin uzunluğuna ‘x’ diyelim.
x² = 4² + 8²
x² = 16 + 64
x² = 80
x = √80
Şimdi √80’i a√b şeklinde yazalım. 80, 16 ile 5’in çarpımıdır. 16 kök dışına 4 olarak çıkar.
Sonuç: x = 4√5 cm
b)
Bu bir kare, çünkü iki kenarı da 6 cm. Köşegenin uzunluğuna ‘y’ diyelim.
y² = 6² + 6²
y² = 36 + 36
y² = 72
y = √72
72, 36 ile 2’nin çarpımıdır. 36 kök dışına 6 olarak çıkar.
Sonuç: y = 6√2 cm
Öğretmeninin Notu: İkizkenar dik üçgenlerde (karenin köşegeni de böyle bir üçgen oluşturur) hipotenüs, dik kenarlardan birinin √2 katıdır. Yani kenar 6 cm ise köşegeni hiç işlem yapmadan direkt 6√2 cm bulabilirdin!
c)
Kenarları 5 cm ve 8 cm olan bir dikdörtgen. Köşegenin uzunluğuna ‘z’ diyelim.
z² = 5² + 8²
z² = 25 + 64
z² = 89
89 asal bir sayıdır, yani kök dışına çıkamaz.
Sonuç: z = √89 cm
ç)
Kenarları 12 cm olan bir kare. Köşegenin uzunluğuna ‘t’ diyelim.
t² = 12² + 12²
t² = 144 + 144
t² = 288
t = √288
288, 144 ile 2’nin çarpımıdır. 144 kök dışına 12 olarak çıkar.
Sonuç: t = 12√2 cm (Bak, yine öğretmeninin notundaki kural işe yaradı!)
2. Koordinat düzlemindeki K ve L noktalarının arasındaki uzaklık kaç br’dir?
Koordinat düzleminde iki nokta arasındaki en kısa uzaklığı bulmak için de Pisagor’dan faydalanırız. Hayali bir dik üçgen çizeceğiz.
Adım 1: Önce noktaların koordinatlarını yazalım.
- K noktası x ekseninde -3, y ekseninde -2’de. Yani K(-3, -2)
- L noktası x ekseninde 1, y ekseninde -4’te. Yani L(1, -4)
Adım 2: Hayali dik üçgenimizin dik kenar uzunluklarını bulalım. Bunun için x’ler arasındaki farkı ve y’ler arasındaki farkı buluruz.
- Yatay kenar uzunluğu (x’ler farkı): 1 – (-3) = 1 + 3 = 4 birim
- Dikey kenar uzunluğu (y’ler farkı): -2 – (-4) = -2 + 4 = 2 birim
Adım 3: Artık dik kenarları 4 ve 2 birim olan bir dik üçgenimiz var. K ve L arasındaki uzaklık ise bu üçgenin hipotenüsüdür. Uzaklığa ‘d’ diyelim.
d² = 4² + 2²
d² = 16 + 4
d² = 20
d = √20
20, 4 ile 5’in çarpımıdır. 4 kök dışına 2 olarak çıkar.
Sonuç: İki nokta arasındaki uzaklık 2√5 birimdir.
3. Yandaki ABCD dik yamuğunda |AB| = 16 cm, |AD| = 8 cm, |DC| = 10 cm ve |BC| = x cm ise x kaçtır?
Yamuk sorularında genellikle içine bir dikdörtgen ve bir üçgen gizlenmiştir. Bizim görevimiz onu ortaya çıkarmak!
Adım 1: C köşesinden aşağıya, AB kenarına bir dikme (yükseklik) indirelim. Dikmenin AB’yi kestiği noktaya H diyelim.
Adım 2: Bu dikmeyi çizince solda bir ADCH dikdörtgeni ve sağda bir CHB dik üçgeni oluştu. Dikdörtgende karşılıklı kenarlar eşittir. O zaman:
- |AD| = |CH| = 8 cm
- |DC| = |AH| = 10 cm
Adım 3: Şimdi CHB dik üçgeninin kenarlarına bakalım. |BC| = x bizim hipotenüsümüz. |CH| dik kenarını 8 cm bulduk. Diğer dik kenar olan |HB|’yi bulmalıyız.
|AB|’nin tamamı 16 cm idi. |AH| kısmı 10 cm ise, |HB|’ye ne kalır?
|HB| = |AB| – |AH| = 16 – 10 = 6 cm
Adım 4: Artık dik kenarları 6 cm ve 8 cm olan CHB üçgeninde Pisagor Teoremi’ni uygulayabiliriz.
x² = 6² + 8²
x² = 36 + 64
x² = 100
x = √100
Sonuç: x = 10 cm‘dir.
Öğretmeninin Notu: Gördün mü? Karşımıza yine özel bir üçgen çıktı: 6-8-10 üçgeni! Bu, en meşhur özel üçgen olan 3-4-5 üçgeninin kenarlarının 2 ile çarpılmış halidir. Bu özel üçgenleri tanıman sana sınavlarda çok zaman kazandırır.
4. Sinan, masanın üzerinde duran oyuncak uçağını almak istiyor. Sinan’ın masaya uzaklığı 90 cm, oyuncak uçağının ucunun Sinan’ın ayağına uzaklığı 90√2 cm olduğuna göre uçağın yerden yüksekliği kaç santimetredir?
Bu problem de aslında şekli çizilmemiş bir Pisagor sorusu. Gel birlikte bu durumu bir dik üçgene dönüştürelim.
Adım 1: Üçgenin kenarlarını hayal edelim.
- Birinci Dik Kenar: Sinan’ın masaya olan yatay uzaklığı. Soru bunu bize 90 cm olarak vermiş.
- İkinci Dik Kenar: Uçağın yerden yüksekliği. Soru bizden bunu istiyor. Bu kenara ‘h’ diyelim.
- Hipotenüs: Bu iki dik kenarın karşısındaki en uzun kenar, yani uçağın ucu ile Sinan’ın ayağı arasındaki direkt mesafe. Soru bunu da 90√2 cm olarak vermiş.
Adım 2: Pisagor Teoremi’ni yazalım ve çözelim.
(Birinci Dik Kenar)² + (İkinci Dik Kenar)² = (Hipotenüs)²
90² + h² = (90√2)²
8100 + h² = 90² * (√2)²
8100 + h² = 8100 * 2
8100 + h² = 16200
Şimdi ‘h’yi yalnız bırakmak için 8100’ü karşıya atalım.
h² = 16200 – 8100
h² = 8100
h = √8100
81’in karekökü 9 olduğuna göre, 8100’ün karekökü 90’dır.
Sonuç: Uçağın yerden yüksekliği (h) = 90 cm‘dir.
Sana bir sır vereyim mi? Bu soruyu işlem yapmadan da çözebilirdin! Birinci soruda verdiğim ipucunu hatırla. Bir dik üçgende dik kenarlardan biri ‘a’ ve hipotenüs ‘a√2’ ise, bu bir ikizkenar dik üçgendir ve diğer dik kenar da ‘a’ olmak zorundadır. Soruda bir dik kenar 90 cm, hipotenüs 90√2 cm ise, diğer dik kenar olan uçağın yüksekliği de direkt 90 cm olmalıydı! İşte geometri böyle eğlenceli bir oyundur.
Umarım açıklamalarım faydalı olmuştur. Anlamadığın bir yer olursa çekinmeden sorabilirsin. Başarılar dilerim!