Harika bir çalışma kağıdı! Hadi bu soruları birlikte, adım adım ve kolayca anlayacağın bir dille çözelim. Unutma, geometri formülleri ilk başta karmaşık görünebilir ama mantığını kavradığımızda hepsi birer yapboz parçası gibi yerine oturur.
11. Tabanındaki dairenin yarıçap uzunluğu 3 cm olan bir dik dairesel silindirin açınımında yan yüz bir karedir. Buna göre silindirin yan yüzünün alanı kaç cm²’dir (π’yi 3 alınız.)?
Merhaba! Bu soru aslında küçük bir hile içeriyor, ama çok kolay. Gel birlikte bakalım.
- Adım 1: Yan yüzü anlamak
Bir silindirin yan yüzünü açtığımızda bir dikdörtgen elde ederiz, değil mi? Bu dikdörtgenin bir kenarı silindirin yüksekliği (h), diğer kenarı ise tabandaki dairenin çevresi kadardır (2πr). Soru bize bu açınımın bir kare olduğunu söylüyor. Karenin en önemli özelliği neydi? Bütün kenarlarının eşit olması! - Adım 2: Kenarları eşitlemek
Madem bu bir kare, o zaman silindirin yüksekliği (h) ile taban çevresi (2πr) birbirine eşit olmalı. Hadi taban çevresini hesaplayalım:
Taban Çevresi = 2 * π * r
Taban Çevresi = 2 * 3 * 3 = 18 cm - Adım 3: Alanı hesaplamak
Çevreyi 18 cm bulduk. Bu, karenin bir kenar uzunluğu demek. Karenin alanı nasıl bulunuyordu? Bir kenarının kendisiyle çarpımıyla!
Yan Yüz Alanı (Karenin Alanı) = Kenar × Kenar
Alan = 18 * 18 = 324 cm²
Sonuç: Silindirin yan yüzünün alanı 324 cm²‘dir.
12. Taban yarıçap uzunluğu 10 cm, yüksekliği 15 cm olan yandaki dik dairesel silindirin yüzey alanını ve hacmini bulunuz (π’yi 3 alınız.).
Bu klasik bir silindir sorusu. İki şey isteniyor: yüzey alanı ve hacim. Sırayla gidelim.
Unutma: Yüzey alanı, silindirin dışını kaplamak için ne kadar kağıt gerektiğini, hacim ise içine ne kadar su doldurabileceğimizi söyler.
- Adım 1: Yüzey Alanını Hesaplama
Yüzey alanı, iki tane daire şeklindeki taban ile yan yüzdeki dikdörtgenin alanlarının toplamıdır.- Taban Alanı: π * r² = 3 * 10² = 3 * 100 = 300 cm². İki tane taban olduğu için 2 * 300 = 600 cm².
- Yanal Alan: 2 * π * r * h = 2 * 3 * 10 * 15 = 60 * 15 = 900 cm².
- Toplam Yüzey Alanı: Taban Alanları + Yanal Alan = 600 + 900 = 1500 cm².
- Adım 2: Hacmi Hesaplama
Hacim, taban alanının yükseklikle çarpılmasıyla bulunur.
Hacim = Taban Alanı * Yükseklik
Hacim = (π * r²) * h
Hacim = (3 * 10²) * 15 = 300 * 15 = 4500 cm³.
Sonuç: Silindirin yüzey alanı 1500 cm² ve hacmi 4500 cm³‘tür.
13. Bir dik dairesel silindirin yarıçap uzunluğu ve yüksekliği yarıya indirilirse hacmindeki değişim aşağıdakilerden hangisi gibi olur?
Bu soruda sayı vermemize gerek yok, sadece formül üzerinden oranları düşüneceğiz.
- Adım 1: İlk Hacmi Yazalım
Normal bir silindirin hacim formülü: V = π * r² * h - Adım 2: Değişiklikleri Uygulayalım
Yarıçap (r) yerine artık r/2 yazacağız.
Yükseklik (h) yerine artık h/2 yazacağız.
Şimdi bu yeni değerleri formüle koyalım:
Yeni Hacim = π * (r/2)² * (h/2) - Adım 3: Formülü Düzenleyelim
Yeni Hacim = π * (r²/4) * (h/2) (Çünkü (r/2)’nin karesi r²/4 yapar)
Yeni Hacim = (π * r² * h) / (4 * 2)
Yeni Hacim = (π * r² * h) / 8 - Adım 4: Karşılaştıralım
İlk hacmimiz (π * r² * h) idi. Yeni hacmimiz ise bunun 8’e bölünmüş hali. Yani ilk hacmin 1/8‘i kadar oldu.
Sonuç: Doğru seçenek C) İlk hacminin 1/8’i kadar olur.
14. Taban yarıçap uzunluğu 0,6 m, yüksekliği 3 m olan dik dairesel silindir biçimindeki bir tankerin deposunda 2 m³ mazot vardır. 1 m³ = 1000 L olduğuna göre, deponun tamamını doldurmak için kaç litre daha mazota ihtiyaç vardır (π’yi 3 alınız.)?
Bu problem, günlük hayattan güzel bir örnek. Adım adım gidelim.
- Adım 1: Tankerin Toplam Hacmini Bulalım
Önce tankerin ne kadar mazot alabildiğini (yani hacmini) metreküp (m³) cinsinden hesaplayalım.
Hacim = π * r² * h
Hacim = 3 * (0,6)² * 3
Hacim = 3 * 0,36 * 3
Hacim = 9 * 0,36 = 3,24 m³. Bu, tankerin toplam kapasitesi. - Adım 2: Doldurulması Gereken Boş Kısmı Bulalım
Tankerin toplam kapasitesi 3,24 m³ ve içinde zaten 2 m³ mazot var. Ne kadar boş yer kaldığını bulmak için çıkarma yaparız.
Boş Hacim = Toplam Hacim – Dolu Hacim
Boş Hacim = 3,24 – 2 = 1,24 m³. - Adım 3: Birim Dönüşümü Yapalım
Soru bizden cevabı litre olarak istiyor ve 1 m³’ün 1000 litre olduğunu söylüyor. O zaman bulduğumuz boş hacmi 1000 ile çarpmalıyız.
Gereken Mazot = 1,24 * 1000 = 1240 litre.
Sonuç: Depoyu doldurmak için 1240 litre daha mazota ihtiyaç vardır. Doğru cevap A şıkkı.
15. Bir asfalt düzeltme makinesinin ön tarafında bulunan silindirin taban yarıçap uzunluğu 60 cm, yüksekliği 1 m’dir. Dik dairesel silindir 10 tur attığında kaç m²’lik alanı düzeltmiş olur (π’yi 3 alınız.)?
Bu soruda dikkat etmemiz gereken en önemli şey birimler! Biri cm, diğeri m. Cevap da m² olarak isteniyor.
- Adım 1: Birimleri Eşitleyelim
Yarıçap 60 cm verilmiş. Bunu metreye çevirelim. 100 cm = 1 m olduğuna göre, 60 cm = 0,6 m‘dir. Yükseklik zaten 1 m. - Adım 2: Bir Turda Düzeltilen Alanı Bulalım
Silindir bir tam tur attığında, yan yüzü kadar bir alanı düzeltir. Yani silindirin yanal alanını hesaplamalıyız.
Yanal Alan = 2 * π * r * h
Yanal Alan = 2 * 3 * 0,6 * 1
Yanal Alan = 6 * 0,6 = 3,6 m². Bu, sadece bir turda düzelttiği alan. - Adım 3: 10 Turda Düzeltilen Alanı Bulalım
Makine 10 tur attığına göre, bir turda bulduğumuz alanı 10 ile çarparız.
Toplam Alan = 3,6 * 10 = 36 m².
Sonuç: Silindir 10 turda 36 m²‘lik alanı düzeltir.
16. Aşağıdakilerden hangisi, bir üçgen dik piramidin açınımı olabilir?
Bir cismin açınımını düşünürken, onu kartondan yapıp katladığını hayal et.
- Adım 1: Üçgen Piramit Nedir?
Adı üstünde: üçgen piramit. Demek ki tabanı üçgen olmalı. Yan yüzleri de tepe noktasında birleşen üçgenlerden oluşur. - Adım 2: Şıkları İnceleyelim
A, B ve C şıklarına baktığımızda, ortadaki taban şekillerinin hep kare (veya dikdörtgen) olduğunu görüyoruz. Bunlar katlandığında kare piramit oluşturur.
D şıkkında ise ortada bir üçgen taban ve kenarlarına bağlı üç tane üçgen yan yüz var. Bu şekli katladığımızda tam olarak bir üçgen piramit elde ederiz.
Sonuç: Doğru cevap D şıkkıdır.
17. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanların başındaki kutucuğa “D”, yanlış olanların başındaki kutucuğa “Y” yazınız.
Haydi bu bilgileri kontrol edelim.
- [Y] Ana doğru, prizmaların temel elemanıdır.
Açıklama:Yanlış. “Ana doğru” koni ve silindir gibi eğri yüzeyli cisimlere ait bir terimdir. Prizmaların kenarlarına “ayrıt” deriz. - [D] Dik dairesel silindirin 2 yüzü daire şeklindedir.
Açıklama:Doğru. Silindirin alt ve üst tabanları birer dairedir. - [D] Her dik koninin ekseni, tabana diktir.
Açıklama:Doğru. Zaten “dik” koni denmesinin sebebi budur. Eğer eksen tabana dik olmasaydı ona “eğik koni” derdik. - [Y] Bir piramitte tepe noktasından taban düzlemine indirilen dikme, piramidin ayrıtıdır.
Açıklama:Yanlış. Tepe noktasından tabana inilen dikmeye piramidin “yüksekliği” denir. “Ayrıt” ise tepeyi tabanın köşelerine birleştiren kenarlardır. - [D] Dik koninin temel elemanları; taban, tepe noktası, eksen, yükseklik, yan yüz, ana doğru ve yarıçaptır.
Açıklama:Doğru. Bu listede sayılanların hepsi bir koniyi oluşturan temel parçalardır.
Umarım çözümler net ve anlaşılır olmuştur. Takıldığın bir yer olursa çekinme, tekrar sorabilirsin. Başarılar dilerim!