Harika bir çalışma! Sevgili 8. sınıf öğrencilerim, bu “Öteleme” konusuyla ilgili alıştırmaları birlikte, adım adım ve anlayarak çözeceğiz. Unutmayın, geometri bir bulmaca gibidir ve öteleme en keyifli parçalarından biridir. Haydi başlayalım!
1. Soru: Noktalı kâğıtlarda verilen noktaların, belirtilen yönlerde ve belirtilen birim kadar öteleme sonucundaki görüntülerini bulunuz.
Bu soruda bizden verilen noktaları istenen yönlerde hareket ettirmemiz, yani ötelememiz isteniyor. Noktaları sayarak yeni yerlerini bulacağız.
- a) K noktası: 2 birim sağa ve 5 birim aşağıya
Adım 1: K noktasının üzerine parmağımızı koyalım. Önce bizden istenen ilk hareketi yapıyoruz: 2 birim sağa. K noktasından başlayarak sağa doğru iki nokta sayıyoruz.
Adım 2: Şimdi geldiğimiz bu yeni yerden ikinci hareketi yapıyoruz: 5 birim aşağıya. Sağa geldiğimiz yerden bu kez de aşağıya doğru beş nokta sayıyoruz.
Sonuç: İşte bu son geldiğimiz yer, K noktasının ötelenmiş hali olan K’ (K üssü) noktasıdır.
- b) A noktası: 3 birim sola ve 4 birim yukarıya
Adım 1: A noktasının üzerindeyiz. Önce 3 birim sola gidelim. A noktasından sola doğru üç nokta sayıyoruz.
Adım 2: Şimdi de bu yeni konumdan 4 birim yukarıya çıkalım. Yukarı doğru dört nokta sayıyoruz.
Sonuç: Ulaştığımız bu nokta, A noktasının yeni yeri olan A’ (A üssü) noktasıdır.
- c) N noktası: 1 birim sağa ve 6 birim yukarıya
Adım 1: N noktasından başlıyoruz. İlk olarak 1 birim sağa ilerliyoruz.
Adım 2: Geldiğimiz yerden hiç durmadan 6 birim yukarıya doğru sayıyoruz.
Sonuç: İşte bu son nokta, N noktasının ötelenmiş hali olan N’ (N üssü) noktasıdır.
2. Soru: Kareli kâğıttaki [CD], hangi yönlerde kaçar birim ötelenirse [PR] elde edilir?
Bu soruda bize bir doğru parçasının ötelenmiş hali verilmiş ve bu ötelemenin kuralını bulmamız isteniyor. Bunu yapmak için doğru parçasının başlangıç ve bitiş noktalarını karşılaştırabiliriz. Örneğin C noktası P noktasına nasıl gelmiş, ona bakalım.
Adım 1: C noktasından P noktasına gitmek için önce yatayda (sağa-sola) ne kadar hareket etmemiz gerektiğini bulalım. C noktasından başlayıp P noktasının hizasına gelene kadar sağa doğru kareleri sayalım. Saydığımızda 4 birim sağa gittiğimizi görürüz.
Adım 2: Şimdi de dikeyde (yukarı-aşağı) ne kadar hareket ettiğimize bakalım. Sağa doğru geldiğimiz yerden P noktasına ulaşmak için yukarı doğru kareleri sayalım. Saydığımızda 2 birim yukarı gittiğimizi görürüz.
Sağlamasını yapalım: Acaba D noktası da aynı hareketle R noktasına ulaşıyor mu? D noktasından 4 birim sağa ve 2 birim yukarı gidelim. Evet, tam olarak R noktasına ulaşıyoruz! Demek ki kuralımız doğru.
Sonuç: [CD] doğru parçası, 4 birim sağa ve 2 birim yukarıya ötelenirse [PR] doğru parçası elde edilir.
3. Soru: Noktalı kâğıttaki şeklin 3 birim sola ve 4 birim yukarıya öteleme sonucundaki görüntüsünü çiziniz. Şekil ile şeklin görüntüsünü karşılaştırınız.
Bir şekli ötelemek, aslında o şeklin bütün köşelerini aynı kurala göre ötelemek demektir. Şeklimizin her bir köşesini tek tek 3 birim sola ve 4 birim yukarıya taşıyacağız.
Adım 1: Şeklin bir köşesini seçelim. Örneğin en alttaki sol köşeyi. Bu köşeyi noktalı kağıt üzerinde 3 birim sola ve sonra 4 birim yukarıya taşıyıp yeni yerini işaretleyelim.
Adım 2: Aynı işlemi şeklin diğer bütün köşeleri için de yapalım. Her bir köşeyi 3 sola, 4 yukarı taşıyıp yeni yerlerini işaretleyelim.
Adım 3: İşaretlediğimiz bu yeni köşe noktalarını, orijinal şekilde olduğu gibi aynı sırayla birleştirelim. İşte karşımızda şeklimizin ötelenmiş hali!
Karşılaştırma: Yeni çizdiğimiz şekil ile ilk şekli karşılaştırdığımızda ne görüyoruz?
- Şeklin boyutu değişmedi.
- Şeklin yönü (duruşu) değişmedi, yani dönmedi.
- Şeklin biçimi, yani görüntüsü aynı kaldı.
Sonuç: Sadece şeklin konumu değişti. Öteleme, bir şeklin duruşunu ve boyutunu değiştirmeden sadece yerini değiştiren bir harekettir.
4. Soru: Kareli kâğıttaki koordinat sistemi üzerinde verilen şeklin 9 birim aşağıya ve 8 birim sağa öteleme sonucundaki görüntüsünü çiziniz. Şekil ile şeklin görüntüsünü karşılaştırınız. Şeklin görüntüsü, koordinat sisteminin kaçıncı bölgesinde oluştu?
Bu soruda da bir önceki gibi şeklin köşelerini öteleyeceğiz. Ama bu sefer bir de koordinat sistemi işin içine giriyor.
Adım 1: Şeklimizin her bir köşesini tek tek 9 birim aşağıya ve 8 birim sağa taşıyalım. Yine bir köşeden başlayıp kareleri sayarak ilerliyoruz. Önce 9 kare aşağı, sonra 8 kare sağa. Her köşe için bunu yapıp yeni yerleri işaretliyoruz.
Adım 2: İşaretlediğimiz yeni noktaları birleştirerek şeklin ötelenmiş halini çiziyoruz.
Karşılaştırma: Tıpkı 3. sorudaki gibi, şeklin boyutunda, biçiminde veya yönünde hiçbir değişiklik olmadığını görüyoruz. Sadece yeri değişti.
Bölge Tespiti: Koordinat sistemini hatırlayalım. Sağ üst köşe 1. bölge, sol üst köşe 2. bölge, sol alt köşe 3. bölge ve sağ alt köşe 4. bölgedir.
- Orijinal şeklimiz x’in negatif (-), y’nin pozitif (+) olduğu 2. bölgededir.
- Yeni çizdiğimiz şekle baktığımızda ise x değerlerinin pozitif (+), y değerlerinin ise negatif (-) olduğu bölgeye geldiğini görüyoruz.
Sonuç: Şeklin görüntüsü 4. bölgede oluşmuştur.
5. Soru: Kareli kâğıtta verilen ABCD dörtgeni hangi yönlerde kaçar birim ötelenirse A’B’C’D’ dörtgeni elde edilir?
Bu soru, 2. sorunun çok benzeri. Yine bize ötelemenin kuralını bulmamız söyleniyor. Bunun için birbiriyle eşleşen iki köşe seçmemiz yeterli. Mesela A noktası nasıl A’ noktası olmuş, ona bakalım.
Adım 1: A noktasından A’ noktasına gitmek için önce yatayda (sağa-sola) ne kadar gitmemiz gerektiğini sayalım. A noktasından başlayıp sola doğru saydığımızda A’ noktasının hizasına gelmek için 2 birim sola gitmemiz gerektiğini görürüz.
Adım 2: Şimdi de dikeyde (yukarı-aşağı) ne kadar gitmemiz gerektiğini bulalım. Sola geldiğimiz bu yerden A’ noktasına ulaşmak için yukarı doğru saydığımızda 4 birim yukarı çıkmamız gerektiğini görürüz.
Sağlamasını yapalım: Başka bir köşe seçelim, mesela C ve C’. C noktasından 2 birim sola ve 4 birim yukarı gittiğimizde tam olarak C’ noktasına ulaşıyor muyuz? Evet, ulaşıyoruz! Demek ki kuralımız tüm şekil için geçerli.
Sonuç: ABCD dörtgeni, 2 birim sola ve 4 birim yukarıya ötelenirse A’B’C’D’ dörtgeni elde edilir.