Merhaba sevgili öğrencilerim,
Harika bir konuyla karşınızdayım: **Özdeşlikler!** Bu konu, cebirsel ifadelerin sırlarını çözmemize yardımcı olacak. Bazen birbirine çok benzeyen ama aslında farklı olan ifadelerle, bazen de farklı görünseler bile aslında tamamen aynı olan ifadelerle karşılaşırız. İşte görseldeki sorular tam da bu konuyu anlamamız için bize yol gösterecek.
Hadi gelin, görseldeki soruları adım adım birlikte analiz edip çözelim.
Soru 1: Filiz, tahtaya yazdığı ifadenin değerinin, Ebru’nun yazdığı ifadenin değerine eşit olduğunu söylüyor. Ebru ise yazdıkları ifadelerin değerlerinin eşit olmadığını iddia ediyor. Sizce hangi öğrenci söylediğinde haklıdır? Açıklayınız.
Tahtada Filiz’in yazdığı ifade 3x + 6 ve Ebru’nun yazdığı ifade 3 ∙ (x + 2) olarak görünüyor. Bakalım bu iki ifade birbirine gerçekten eşit mi?
Adım 1: Filiz’in ifadesi zaten en sade halinde: 3x + 6. Bu ifadeyle şimdilik bir işlem yapmamıza gerek yok.
Adım 2: Ebru’nun ifadesi olan 3 ∙ (x + 2)‘yi ele alalım. Burada parantezin dışındaki 3 sayısını, parantezin içindeki her bir terimle çarpmamız gerekiyor. Bu işleme biz “dağılma özelliği” diyorduk, hatırladınız mı?
İşlemi yapalım:
3 ∙ (x + 2) = (3 ∙ x) + (3 ∙ 2)
Bu da bize 3x + 6 sonucunu verir.
Adım 3: Şimdi iki ifadeyi karşılaştıralım. Filiz’in ifadesi 3x + 6 idi. Ebru’nun ifadesini düzenlediğimizde onu da 3x + 6 olarak bulduk. Gördüğünüz gibi, iki ifade birbirinin tıpatıp aynısı!
Sonuç: Bu durumda Filiz haklıdır. Çünkü 3x + 6 ile 3 ∙ (x + 2) ifadeleri birbirine eşittir. Bu tür ifadelere, içindeki bilinmeyene (yani ‘x’e) hangi sayıyı verirseniz verin sonuç hep aynı çıktığı için özdeşlik diyoruz.
Soru 2: Yukarıdaki I. ve II. eşitlikleri sağlayan x değerlerini, x yerine farklı sayılar yazarak bulalım.
Bu soruda bize verilen iki eşitliğin “özdeşlik” mi yoksa “denklem” mi olduğunu anlamamız isteniyor. Unutmayın, eğer bir eşitlik x’in bütün değerleri için doğruysa o bir özdeşliktir. Eğer sadece bazı veya tek bir değer için doğruysa o bir denklemdir.
I. (x – 1) ∙ (x + 1) = x² – 1
Adım 1: Eşitliğin sol tarafındaki çarpma işlemini yapalım. Burada da dağılma özelliğini kullanacağız. Birinci parantezdeki her terimi, ikinci parantezdeki her terimle tek tek çarpacağız.
(x – 1) ∙ (x + 1) = x ∙ (x + 1) – 1 ∙ (x + 1)
= (x ∙ x) + (x ∙ 1) – (1 ∙ x) – (1 ∙ 1)
= x² + x – x – 1
Adım 2: Bulduğumuz ifadeyi sadeleştirelim. `+x` ile `-x` birbirini götürür (yani toplamları sıfır olur).
x² + 0 – 1 = x² – 1
Adım 3: Sonuca bakalım. Eşitliğin sol tarafını x² – 1 bulduk. Sağ tarafı ise zaten x² – 1 idi. İki taraf birbirine tamamen eşit çıktı.
Sonuç: Bu eşitlik, x yerine hangi sayıyı yazarsak yazalım her zaman doğru çıkacaktır. Bu yüzden (x – 1) ∙ (x + 1) = x² – 1 bir özdeşliktir. Bu özdeşliğin özel bir adı da var: İki Kare Farkı Özdeşliği. Bunu ileride çok sık kullanacağız!
II. 5 ∙ (x – 3) + 2 = 2 + 2x
Adım 1: Eşitliğin sol tarafını düzenleyerek başlayalım. Yine dağılma özelliğini kullanıyoruz.
5 ∙ (x – 3) + 2 = (5 ∙ x) – (5 ∙ 3) + 2
= 5x – 15 + 2
= 5x – 13
Adım 2: Şimdi eşitliğimizin yeni halini yazalım: 5x – 13 = 2 + 2x. Gördüğünüz gibi sol taraf ile sağ taraf birbirinin aynısı değil. Bu bize bunun bir özdeşlik olmayabileceği ipucunu veriyor. Hadi x’i bulmaya çalışalım.
Adım 3: Bilinenleri bir tarafa, bilinmeyenleri (x’li terimleri) diğer tarafa toplayalım. Sağdaki `2x`’i sola `-2x` olarak, soldaki `-13`’ü sağa `+13` olarak atalım.
5x – 2x = 2 + 13
3x = 15
Adım 4: x’i yalnız bırakmak için her iki tarafı da 3’e bölelim.
x = 15 / 3
x = 5
Sonuç: Bu eşitlik sadece ve sadece x = 5 değeri için doğrudur. Başka herhangi bir değer verirseniz eşitlik sağlanmaz. Örneğin x=1 için deneyelim: `5 ∙ (1-3) + 2 = -8` olurken, `2 + 2 ∙ 1 = 4` olur. `-8` ve `4` eşit değildir. Bu yüzden 5 ∙ (x – 3) + 2 = 2 + 2x ifadesi bir özdeşlik değil, bir denklemdir.
Umarım bu açıklamalar konuyu daha iyi anlamanıza yardımcı olmuştur. Unutmayın, matematiğin sırrı adım adım ve anlayarak ilerlemektir. Başarılar dilerim