Harika bir istek! Merhaba sevgili öğrencilerim, ben sizin 8. Sınıf Matematik öğretmeninizim. Gönderdiğiniz bu güzel sayfadaki soruları şimdi hep birlikte, tane tane anlayarak çözeceğiz. Konumuz “Aralarında Asal Olan Doğal Sayılar”. Haydi başlayalım!
Soru 1: Ahmet ile Ayşe, 17 ve 31 doğal sayılarının ortak çarpanlarını bulmak istiyorlar. 17 ve 31 sayılarının 1’den başka ortak çarpanı olup olmadığını tartışıyorlar. Sizce iki asal sayının 1’den başka ortak çarpanı olabilir mi? Nedenini açıklayınız.
Harika bir düşünce sorusu! Bu soruyu cevaplamak için önce asal sayı ne demekti, onu bir hatırlayalım. Asal sayı, sadece 1’e ve kendisine bölünebilen sayılardır. Yani çarpanları sadece 1 ve kendisidir.
Adım 1: 17 sayısının çarpanlarını bulalım.
17 bir asal sayıdır. Bu yüzden çarpanları sadece 1 ve 17‘dir.
Adım 2: 31 sayısının çarpanlarını bulalım.
31 de bir asal sayıdır. Bu yüzden onun da çarpanları sadece 1 ve 31‘dir.
Adım 3: Ortak olan çarpanları karşılaştıralım.
- 17’nin çarpanları: {1, 17}
- 31’in çarpanları: {1, 31}
Gördüğünüz gibi, bu iki listenin tek ortak elemanı 1‘dir.
Sonuç ve Açıklama:
İki farklı asal sayının 1’den başka ortak çarpanı olamaz. Çünkü her asal sayının tanımı gereği sadece iki çarpanı vardır: 1 ve kendisi. İki farklı asal sayı seçtiğimizde, her ikisinin de çarpan listesinde ortak olarak bulunacak tek sayı her zaman 1 olacaktır. Bu yüzden Ahmet ve Ayşe doğru bir konuyu tartışıyorlar; 17 ve 31’in 1’den başka ortak çarpanı yoktur.
Örnek 1: 34 ile 25 sayılarının aralarında asal olup olmadığını belirleyelim.
Şimdi bu iki sayının aralarında asal olup olmadığını kontrol edelim. Unutmayın, iki sayının aralarında asal olması için 1’den başka ortak bölenlerinin (çarpanlarının) olmaması gerekir. Sayıların kendilerinin asal olup olmaması önemli değil, önemli olan ortak bölenleri.
Adım 1: 34 sayısının çarpanlarını (bölenlerini) bulalım.
- 1 x 34 = 34
- 2 x 17 = 34
Yani 34’ün çarpanları: {1, 2, 17, 34}
Adım 2: 25 sayısının çarpanlarını (bölenlerini) bulalım.
- 1 x 25 = 25
- 5 x 5 = 25
Yani 25’in çarpanları: {1, 5, 25}
Adım 3: Ortak çarpanları bulalım.
İki sayının çarpan listelerine baktığımızda, ortak olan tek sayının 1 olduğunu görüyoruz.
Sonuç:
34 ve 25 sayılarının 1’den başka ortak çarpanı olmadığı için bu iki sayı aralarında asaldır.
Örnek 2: 18 ile 27 sayılarının aralarında asal olup olmadığını belirleyiniz.
Sıradaki örneğimize bakalım. Yine aynı adımları izleyeceğiz. Acaba 18 ve 27 aralarında asal mı?
Adım 1: 18 sayısının çarpanlarını bulalım.
- 1 x 18 = 18
- 2 x 9 = 18
- 3 x 6 = 18
18’in çarpanları: {1, 2, 3, 6, 9, 18}
Adım 2: 27 sayısının çarpanlarını bulalım.
- 1 x 27 = 27
- 3 x 9 = 27
27’nin çarpanları: {1, 3, 9, 27}
Adım 3: Ortak çarpanları bulalım.
İki sayının çarpan listelerini karşılaştırdığımızda ortak olan sayıların 1, 3 ve 9 olduğunu görüyoruz.
Sonuç:
18 ve 27 sayılarının, 1’den başka ortak çarpanları (3 ve 9) olduğu için bu iki sayı aralarında asal değildir.
Umarım açıklamalarım anlaşılır olmuştur. Unutmayın, “aralarında asallık” konusu çok önemlidir ve sık sık karşınıza çıkar. Bol bol pratik yapmayı ihmal etmeyin! Başarılar dilerim.