Merhaba sevgili öğrencilerim,
Bugünkü alıştırmalarımızı birlikte adım adım çözeceğiz. Geometride eşlik ve benzerlik konuları çok keyiflidir, hadi gelin bu sorularla pekiştirelim.
1. Yandaki ABC ile KLM üçgenleri eştir. |AB| = 3 br, |BC| = (x + 1) br, |AC| = (z – 2) br, |KL| = y/2 br, |LM| = 4 br ve |KM| = 5 br ise x + y + z toplamı kaçtır?
Merhaba arkadaşlar, bu soruda bize iki üçgenin eş olduğu söyleniyor. Eş üçgenler, hem açılarının hem de kenar uzunluklarının birebir aynı olduğu üçgenlerdir. Tıpkı birbirinin kopyası gibidirler! Soruda bize verilen ABC ile KLM üçgenleri eştir ifadesi, köşelerin birbiriyle nasıl eşleştiğini de gösterir:
- A köşesi K köşesine,
- B köşesi L köşesine,
- C köşesi de M köşesine karşılık gelir.
Bu durumda, karşılıklı kenarlar da birbirine eşit olmalıdır.
|AB| = |KL|
|BC| = |LM|
|AC| = |KM|
Şimdi bu eşitlikleri kullanarak x, y ve z’yi bulalım.
Adım 1: y’yi bulalım.
|AB| = |KL| eşitliğini kullanacağız.
3 = y / 2
Burada içler dışlar çarpımı yaparsak (veya 2’yi karşıya çarpım olarak atarsak) 3 * 2 = y olur.
Yani, y = 6‘dır.
Adım 2: x’i bulalım.
|BC| = |LM| eşitliğini kullanacağız.
x + 1 = 4
Burada +1’i denklemin diğer tarafına -1 olarak geçiririz.
x = 4 – 1
Yani, x = 3‘tür.
Adım 3: z’yi bulalım.
|AC| = |KM| eşitliğini kullanacağız.
z – 2 = 5
Burada -2’yi denklemin diğer tarafına +2 olarak geçiririz.
z = 5 + 2
Yani, z = 7‘dir.
Adım 4: Toplamı bulalım.
Soru bizden x + y + z toplamını istiyordu.
x + y + z = 3 + 6 + 7
Sonuç: 16
Gördüğünüz gibi, eş üçgenlerde doğru kenarları birbiriyle eşleştirdiğimizde soru ne kadar da kolaylaşıyor!
2. Yandaki PRS ile VZY üçgenleri benzerdir. |PR| = 3 cm, |RS| = 2 cm, |PS| = (y – 2) cm, |VZ| = 6 cm, |ZY| = x cm ve |VY| = 8 cm ise x – y farkı kaçtır?
Bu soruda ise üçgenlerin benzer olduğu söylenmiş. Benzer üçgenler, açılarının aynı fakat kenar uzunluklarının orantılı olduğu üçgenlerdir. Biri diğerinin büyütülmüş ya da küçültülmüş hali gibidir. Bu orana benzerlik oranı (k) diyoruz.
Tıpkı eşlikte olduğu gibi, benzerlikte de köşelerin sırası önemlidir. PRS ile VZY üçgenleri benzer ise (PRS ~ VZY şeklinde gösterilir), karşılıklı kenarların oranı sabit olmalıdır.
|PR| / |VZ| = |RS| / |ZY| = |PS| / |VY| = k (benzerlik oranı)
Şimdi bu oranları kullanarak bilinmeyenleri bulalım.
Adım 1: Benzerlik oranını bulalım.
Uzunlukları bilinen kenar çiftini kullanarak benzerlik oranını (k) bulabiliriz. |PR| = 3 cm ve |VZ| = 6 cm olarak verilmiş.
k = |PR| / |VZ| = 3 / 6 = 1/2
Demek ki PRS üçgeni, VZY üçgeninin kenar uzunluklarının yarısı kadarmış.
Adım 2: x’i bulalım.
|RS| / |ZY| oranını benzerlik oranına eşitleyeceğiz.
2 / x = 1/2
İçler dışlar çarpımı yaparsak: 2 * 2 = 1 * x
x = 4 cm olur.
Adım 3: y’yi bulalım.
|PS| / |VY| oranını benzerlik oranına eşitleyeceğiz.
(y – 2) / 8 = 1/2
Yine içler dışlar çarpımı yapalım: 2 * (y – 2) = 1 * 8
2y – 4 = 8
-4’ü karşıya +4 olarak atalım: 2y = 8 + 4
2y = 12
Her iki tarafı 2’ye bölersek: y = 6 cm olur.
Adım 4: İstenen farkı bulalım.
Soru bizden x – y farkını istiyordu.
x – y = 4 – 6
Sonuç: -2
3. Yandaki KLMNOP ile ABCDEF altıgenlerinde verilen kenar uzunluklarına göre altıgenlerin benzer olup olmadığını belirleyiniz.
Çokgenlerin benzer olabilmesi için iki şart vardır:
- Karşılıklı açılarının ölçüleri eşit olmalı.
- Karşılıklı kenar uzunluklarının oranı sabit olmalı (yani hepsinde aynı benzerlik oranı olmalı).
Bu soruda açı bilgimiz yok, o yüzden sadece kenar oranlarına bakarak bir karara varacağız. Eğer tüm kenarların oranı aynı çıkmazsa, benzer değillerdir diyebiliriz.
Adım 1: Karşılıklı kenarları oranlayalım.
Altıgenlerin isim sırasına göre kenarları eşleştirelim: KL ile AB, LM ile BC şeklinde devam edeceğiz.
- |KL| / |AB| = 6 / 12 = 1/2
- |LM| / |BC| = 4 / 8 = 1/2
- |MN| / |CD| = 4 / 8 = 1/2
- |NO| / |DE| = 5 / 12
- |OP| / |EF| = 4 / 8 = 1/2
- |PK| / |FA| = 4 / 8 = 1/2
Adım 2: Sonucu yorumlayalım.
Gördüğünüz gibi, kenarların çoğunun oranı 1/2 iken, |NO| / |DE| oranı 5/12 çıktı. Bu oran 1/2’ye eşit değildir.
Sonuç:
Karşılıklı kenarların tamamı aynı orana sahip olmadığı için bu iki altıgen benzer değildir. Bir tane bile oranın farklı olması benzerliği bozar.
4. Aşağıdaki kareli kâğıtta verilen çokgene eş olan iki, benzer olan bir çokgen çiziniz.
Bu soruda çizim yapmamız isteniyor. Ben size nasıl çizeceğinizi tarif edeceğim, siz de defterinize kolayca çizebilirsiniz.
Eş Çokgenler Çizimi (2 tane):
Eş demek, şeklin aynısını, boyutlarını hiç değiştirmeden çizmek demektir. Sadece yerini veya yönünü değiştirebiliriz.
- 1. Eş Çizim: Şeklin aynısını, kareli kağıdın boş bir yerine, her bir kenarı sayarak birebir aynı şekilde çizin. Bu, şeklin ötelenmiş (taşınmış) halidir ve eşidir.
- 2. Eş Çizim: Şekli 90 derece sağa veya sola döndürerek çizin. Örneğin, şeklin 3 birimlik yatay tabanı, 3 birimlik dikey bir kenar haline gelir. Tüm kenarları aynı şekilde döndürdüğünüzde elde ettiğiniz yeni şekil de orijinal şekle eştir.
Benzer Çokgen Çizimi (1 tane):
Benzer demek, aynı şekli daha büyük veya daha küçük çizmek demektir. Bütün kenarları aynı sayıyla çarparak (büyütme) veya bölerek (küçültme) yaparız.
- Benzer Çizim (Büyütme): En kolayı, tüm kenar uzunluklarını 2 ile çarpmaktır. Yani benzerlik oranını 2 seçelim.
Orijinal şekilde 1 birim olan kenarları 2 birim uzunluğunda çizin.
Orijinal şekilde 3 birim olan kenarları 3 * 2 = 6 birim uzunluğunda çizin.Bunu yaptığınızda, orijinal şeklin tıpatıp aynısı ama her bir kenarı iki kat daha uzun olan daha büyük bir versiyonunu elde edersiniz. Bu yeni şekil, orijinal şekle benzerdir.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Unutmayın, geometri bol bol pratik yaparak öğrenilir. Başarılar dilerim!