Merhaba sevgili öğrencilerim! Bugün birlikte matematik dersinde öğrendiğimiz konularla ilgili harika sorular çözeceğiz. Hazırsanız başlayalım!
8. Aşağıdaki ondalık gösterimleri, 10’un tam sayı kuvvetlerini kullanarak çözümleyiniz.
a) 0,024
Bu soruda, ondalık sayıyı 10’un kuvvetleri şeklinde yazmamız isteniyor.
0,024 sayısını çözümlediğimizde:
0,024 = 2 x 10-2 + 4 x 10-3
b) 3,402
Bu sayıyı da aynı şekilde 10’un kuvvetleri şeklinde yazalım:
3,402 = 3 x 100 + 4 x 10-1 + 2 x 10-3
c) 79,43
Bu sayıyı çözümleyelim:
79,43 = 7 x 101 + 9 x 100 + 4 x 10-1 + 3 x 10-2
ç) 0,005
Bu sayıyı da 10’un kuvvetleri şeklinde yazalım:
0,005 = 5 x 10-3
9. $frac{1}{2^{-5}}$ ifadesinin değeri kaçtır?
Bu soruda bir üslü ifade görüyoruz. Hatırlayalım, bir sayının negatif üssü, o sayının çarpma işlemine göre tersinin pozitif üssü olarak yazılır. Yani, $a^{-n} = frac{1}{a^n}$ ve $frac{1}{a^{-n}} = a^n$ şeklinde yazabiliriz.
Adım 1: Sorudaki ifadeyi inceleyelim. $frac{1}{2^{-5}}$ şeklinde verilmiş.
Adım 2: Üslü sayılarda bölme kuralını hatırlayalım. $frac{1}{a^{-n}}$ ifadesi $a^n$’ye eşittir.
Adım 3: Bu kuralı sorudaki ifadede uygulayalım. Burada $a=2$ ve $n=5$’tir.
Adım 4: O halde, $frac{1}{2^{-5}} = 2^5$ olur.
Adım 5: $2^5$’in değerini hesaplayalım. $2^5 = 2 times 2 times 2 times 2 times 2 = 32$.
Sonuç: 32
a) 32
b) $frac{1}{32}$
c) $-frac{1}{32}$
d) -32
Doğru cevap **a) 32**’dir.
10. Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz.
a) $frac{(-1)^{14} cdot 3^{22} cdot 2^{-10}}{3^{20} cdot 2^{-9}}$
Bu soruda üslü ifadelerin çarpma ve bölme işlemlerini yapacağız. Üslü sayılarda çarpma yaparken tabanlar aynıysa üsler toplanır, tabanlar farklıysa dokunmayız. Bölme yaparken ise tabanlar aynıysa üsler çıkarılır. Ayrıca, negatif üsleri pozitif hale getirmek için pay ve paydayı değiştirebiliriz.
Adım 1: İfadeyi yeniden yazalım ve negatif üsleri pozitif hale getirelim.
$frac{(-1)^{14} cdot 3^{22} cdot 2^{-10}}{3^{20} cdot 2^{-9}} = frac{(-1)^{14} cdot 3^{22}}{3^{20} cdot 2^9 cdot 2^{-10}}$
Adım 2: $(-1)^{14}$’ün değerini hesaplayalım. Negatif bir sayının çift kuvveti pozitiftir. Bu yüzden $(-1)^{14} = 1$.
Adım 3: Üslü ifadeleri gruplandıralım.
$frac{1 cdot 3^{22}}{3^{20} cdot 2^9 cdot 2^{-10}} = frac{3^{22}}{3^{20}} cdot frac{1}{2^9 cdot 2^{-10}}$
Adım 4: Tabanları aynı olan üslü ifadeleri bölelim. Üsleri çıkaracağız.
$3^{22-20} = 3^2$
$2^9 cdot 2^{-10} = 2^{9+(-10)} = 2^{-1}$
Adım 5: Elde ettiğimiz sonuçları birleştirelim.
$frac{3^2}{2^{-1}}$
Adım 6: $2^{-1}$ ifadesini pozitif üslü hale getirelim.
$2^{-1} = frac{1}{2}$
Adım 7: Bölme işlemini yapalım.
$frac{3^2}{frac{1}{2}} = 3^2 times 2 = 9 times 2 = 18$
Sonuç: 18
b) $2^{-2} cdot (-1)^{11} cdot 2^4$
Bu soruda da üslü ifadelerin çarpma işlemini yapacağız.
Adım 1: İfadeyi yeniden yazalım.
$2^{-2} cdot (-1)^{11} cdot 2^4$
Adım 2: Tabanları aynı olan üslü ifadeleri bir araya getirelim.
$2^{-2} cdot 2^4 cdot (-1)^{11}$
Adım 3: Tabanları aynı olan üslü ifadeleri çarparken üsleri toplayalım.
$2^{-2+4} cdot (-1)^{11} = 2^2 cdot (-1)^{11}$
Adım 4: $(-1)^{11}$’in değerini hesaplayalım. Negatif bir sayının tek kuvveti negatiftir. Bu yüzden $(-1)^{11} = -1$.
Adım 5: Sonucu hesaplayalım.
$2^2 cdot (-1) = 4 cdot (-1) = -4$
Sonuç: -4
c) $frac{25 cdot 5^4}{125}$
Bu soruda hem çarpma hem de bölme işlemi var. Sayıları asal çarpanlarına ayırarak işlem yaparsak daha kolay olur.
Adım 1: Sayıları asal çarpanlarına ayıralım.
$25 = 5^2$
$125 = 5^3$
Adım 2: İfadeyi yeniden yazalım.
$frac{5^2 cdot 5^4}{5^3}$
Adım 3: Paydaki üslü ifadeleri çarparken üsleri toplayalım.
$frac{5^{2+4}}{5^3} = frac{5^6}{5^3}$
Adım 4: Tabanları aynı olan üslü ifadeleri bölerken üsleri çıkaralım.
$5^{6-3} = 5^3$
Adım 5: $5^3$’ün değerini hesaplayalım.
$5^3 = 5 times 5 times 5 = 125$
Sonuç: 125
d) $frac{2^4 cdot 4^2}{-2^6}$
Bu soruda dikkat etmemiz gereken şey paydadaki negatif işaret ve tabanların farklı olması.
Adım 1: Paydadaki $4^2$’yi tabanı 2 olacak şekilde yazalım. $4 = 2^2$, bu yüzden $4^2 = (2^2)^2 = 2^{2 times 2} = 2^4$.
Adım 2: İfadeyi yeniden yazalım.
$frac{2^4 cdot 2^4}{-2^6}$
Adım 3: Paydaki üslü ifadeleri çarparken üsleri toplayalım.
$frac{2^{4+4}}{-2^6} = frac{2^8}{-2^6}$
Adım 4: Şimdi bölme işlemini yapalım. Üsleri çıkaracağız.
$frac{2^8}{2^6} = 2^{8-6} = 2^2$
Adım 5: Paydadaki eksi işareti unutmayalım. Sonuç negatif olmalı.
$-frac{2^8}{2^6} = -2^2$
Adım 6: $2^2$’nin değerini hesaplayalım. $2^2 = 4$.
Sonuç: -4
Sonuç: -4
e) $1,08 cdot 10^{-2} cdot 10^{-3}$
Bu soruda ondalık sayılarla üslü ifadelerin çarpımı var.
Adım 1: Tabanları aynı olan üslü ifadeleri bir araya getirelim.
$1,08 cdot (10^{-2} cdot 10^{-3})$
Adım 2: Üslü ifadeleri çarparken üsleri toplayalım.
$10^{-2} cdot 10^{-3} = 10^{-2 + (-3)} = 10^{-5}$
Adım 3: Sonucu hesaplayalım.
$1,08 cdot 10^{-5}$
Bu ifade zaten bilimsel gösterim formatında. İstersek ondalık olarak da yazabiliriz. $10^{-5}$ demek, sayıyı 5 basamak sağa kaydırmak demek.
$1,08 cdot 10^{-5} = 0,0000108$
Sonuç: $1,08 cdot 10^{-5}$ (veya 0,0000108)
11. Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını noktalı yerlere yazınız.
a) $frac{500 cdot 10^{-4} cdot 2^3}{40 cdot 10^{-5}}$
Bu soruda da üslü sayılar ve sayılar var. Sayıları ve üslü ifadeleri ayrı ayrı düzenleyelim.
Adım 1: Sayıları ve 10’un kuvvetlerini gruplandıralım.
$frac{500 cdot 2^3}{40} cdot frac{10^{-4}}{10^{-5}}$
Adım 2: İlk kesri sadeleştirelim.
$frac{500 cdot 8}{40} = frac{4000}{40} = 100$
Adım 3: İkinci kesri bölelim. Tabanlar aynı olduğu için üsleri çıkaracağız.
$frac{10^{-4}}{10^{-5}} = 10^{-4 – (-5)} = 10^{-4+5} = 10^1 = 10$
Adım 4: Elde ettiğimiz sonuçları çarpalım.
$100 cdot 10 = 1000$
Sonuç: 1000
b) $(-0,4)^{2+3-(-1)}$
Bu soruda üssü hesaplayıp sonra tabanla işlem yapacağız.
Adım 1: Üsteki işlemi yapalım.
$2+3-(-1) = 2+3+1 = 6$
Adım 2: Şimdi tabanla üssü birleştirelim.
$(-0,4)^6$
Bu ifadeyi daha da açabiliriz ama genellikle bu şekilde bırakılır veya hesap makinesiyle hesaplanır. Eğer ondalık olarak istiyorsak:
$(-0,4)^6 = (0,4)^6$ (Çünkü çift kuvvet pozitif yapar)
$0,4^6 = (4/10)^6 = 4^6 / 10^6 = 4096 / 1000000 = 0,004096$
Sonuç: $(-0,4)^6$ veya 0,004096
c) $frac{27 cdot 3^{-4}}{9^2}$
Bu soruda da tabanları aynı hale getirmeye çalışalım.
Adım 1: Sayıları 3’ün kuvvetleri şeklinde yazalım.
$27 = 3^3$
$9 = 3^2$, bu yüzden $9^2 = (3^2)^2 = 3^4$.
Adım 2: İfadeyi yeniden yazalım.
$frac{3^3 cdot 3^{-4}}{3^4}$
Adım 3: Paydaki üslü ifadeleri çarparken üsleri toplayalım.
$frac{3^{3+(-4)}}{3^4} = frac{3^{-1}}{3^4}$
Adım 4: Tabanları aynı olan üslü ifadeleri bölerken üsleri çıkaralım.
$3^{-1-4} = 3^{-5}$
Adım 5: Negatif üssü pozitif hale getirelim.
$3^{-5} = frac{1}{3^5}$
Adım 6: $3^5$’in değerini hesaplayalım. $3^5 = 3 times 3 times 3 times 3 times 3 = 243$.
Sonuç: $frac{1}{243}$
Sonuç: $frac{1}{243}$
d) $frac{5^{20} cdot 5^{20} cdot 5^{20}}{(5^{10})^3}$
Bu soruda çarpma ve üssün üssü işlemleri var.
Adım 1: Paydaki $5^{20}$’leri çarparken üsleri toplayalım.
$5^{20} cdot 5^{20} cdot 5^{20} = 5^{20+20+20} = 5^{60}$
Adım 2: Paydadaki üssün üssünü alırken üsleri çarpalım.
$(5^{10})^3 = 5^{10 times 3} = 5^{30}$
Adım 3: İfadeyi yeniden yazalım.
$frac{5^{60}}{5^{30}}$
Adım 4: Tabanları aynı olan üslü ifadeleri bölerken üsleri çıkaralım.
$5^{60-30} = 5^{30}$
Sonuç: $5^{30}$
e) $frac{1}{3^8 cdot 5^{-8}} cdot (frac{1}{5^2})^{-4} cdot frac{1}{3^{-2}}$
Bu soruda biraz daha karmaşık ifadeler var, adım adım ilerleyelim.
Adım 1: İlk terimi düzenleyelim. Negatif üssü pozitif yapmak için pay ve paydayı yer değiştirebiliriz veya ayrı ayrı düşünebiliriz.
$frac{1}{3^8 cdot 5^{-8}} = frac{1}{3^8} cdot frac{1}{5^{-8}} = frac{1}{3^8} cdot 5^8$
Adım 2: İkinci terimi düzenleyelim. Üssün üssünü alırken üsleri çarpalım.
$(frac{1}{5^2})^{-4} = (frac{1}{5^2 cdot 1})^{-4} = (frac{1}{5^2})^{-4} = frac{1^{-4}}{(5^2)^{-4}} = frac{1}{5^{2 times -4}} = frac{1}{5^{-8}} = 5^8$
Alternatif olarak:
$(frac{1}{5^2})^{-4} = (5^{-2})^{-4} = 5^{-2 times -4} = 5^8$
Adım 3: Üçüncü terimi düzenleyelim. Negatif üssü pozitif yapmak için pay ve paydayı yer değiştirelim.
$frac{1}{3^{-2}} = 3^2$
Adım 4: Şimdi tüm düzenlenmiş terimleri bir araya getirelim ve çarpalım.
$(frac{1}{3^8} cdot 5^8) cdot 5^8 cdot 3^2$
Adım 5: Tabanları aynı olanları bir araya getirelim.
$frac{1}{3^8} cdot 3^2 cdot 5^8 cdot 5^8$
Adım 6: Çarpma ve bölme işlemlerini yapalım.
$frac{3^2}{3^8} cdot 5^{8+8} = 3^{2-8} cdot 5^{16} = 3^{-6} cdot 5^{16}$
Adım 7: Sonucu pozitif üslü olarak yazalım.
$frac{5^{16}}{3^6}$
Sonuç: $frac{5^{16}}{3^6}$
12. 0,000000048 ve 176 000 000 sayılarını, 10’un beş farklı kuvvetini kullanarak ifade ediniz.
Bu soruda sayıları bilimsel gösterimle yazmamız isteniyor. Bilimsel gösterim, bir sayının $a times 10^n$ şeklinde yazılmasıdır, burada $1 le |a| < 10$ ve $n$ bir tam sayıdır. Adım 1: İlk sayıyı ele alalım: 0,000000048 Bu sayıyı $a times 10^n$ şeklinde yazacağız. Virgülü 0,000000048'den 4,8'e kaydırmamız gerekiyor. Virgülü 8 basamak sağa kaydırdık. Bu yüzden $n = -8$ olur.
0,000000048 = 4,8 x 10-8
Adım 2: İkinci sayıyı ele alalım: 176 000 000
Bu sayıyı $a times 10^n$ şeklinde yazacağız. Virgülü 176 000 000’dan 1,76’ya kaydırmamız gerekiyor. Virgülü 8 basamak sola kaydırdık. Bu yüzden $n = 8$ olur.
176 000 000 = 1,76 x 108
Bu iki sayının 10’un beş farklı kuvvetini kullanarak ifade edilmiş halleridir.
Sonuç:
0,000000048 = 4,8 x 10-8
176 000 000 = 1,76 x 108
13. Aşağıda verilen sayıların bilimsel gösterimlerini noktalı yerlere yazınız.
a) 5618 x 10-20
Bu soruda verilen sayı zaten 10’un bir kuvvetiyle çarpılmış. Ancak bilimsel gösterim için katsayının 1 ile 10 arasında olması gerekiyor.
Adım 1: 5618 sayısını bilimsel gösterim formatına getirelim. Virgülü 5,618’e kaydırmalıyız. Virgülü 3 basamak sola kaydırdığımız için $10^3$ ile çarpmamız gerekir.
5618 = 5,618 x 103
Adım 2: Şimdi bu ifadeyi orijinal sorudaki $10^{-20}$ ile çarpalım.
$5,618 times 10^3 times 10^{-20}$
Adım 3: Tabanları aynı olan üslü ifadeleri çarparken üsleri toplayalım.
$5,618 times 10^{3 + (-20)} = 5,618 times 10^{-17}$
Sonuç: 5,618 x 10-17
b) 61,238 x 10-4
Adım 1: Katsayıyı 1 ile 10 arasına getirelim. Virgülü 6,1238’e kaydırmalıyız. Virgülü 1 basamak sola kaydırdığımız için $10^1$ ile çarpmalıyız.
61,238 = 6,1238 x 101
Adım 2: Orijinal sorudaki $10^{-4}$ ile çarpalım.
$6,1238 times 10^1 times 10^{-4}$
Adım 3: Üsleri toplayalım.
$6,1238 times 10^{1 + (-4)} = 6,1238 times 10^{-3}$
Sonuç: 6,1238 x 10-3
c) 400 000
Bu sayıyı bilimsel gösterimle yazalım.
Adım 1: Sayıyı 1 ile 10 arasına getirelim. Virgülü 4’ün yanına getirmeliyiz.
400 000 = 4 x 100 000
Adım 2: 100 000’i 10’un kuvveti olarak yazalım. 100 000’de 5 tane sıfır var, yani $10^5$.
400 000 = 4 x 105
Sonuç: 4 x 105
ç) 48 x 10-28
Adım 1: Katsayıyı 1 ile 10 arasına getirelim. Virgülü 4,8’e kaydırmalıyız. Virgülü 1 basamak sola kaydırdığımız için $10^1$ ile çarpmalıyız.
48 = 4,8 x 101
Adım 2: Orijinal sorudaki $10^{-28}$ ile çarpalım.
$4,8 times 10^1 times 10^{-28}$
Adım 3: Üsleri toplayalım.
$4,8 times 10^{1 + (-28)} = 4,8 times 10^{-27}$
Sonuç: 4,8 x 10-27
d) 0,0528 x 104
Adım 1: Katsayıyı 1 ile 10 arasına getirelim. Virgülü 5,28’e kaydırmalıyız. Virgülü 2 basamak sağa kaydırdığımız için $10^{-2}$ ile çarpmalıyız.
0,0528 = 5,28 x 10-2
Adım 2: Orijinal sorudaki $10^4$ ile çarpalım.
$5,28 times 10^{-2} times 10^4$
Adım 3: Üsleri toplayalım.
$5,28 times 10^{-2 + 4} = 5,28 times 10^2$
Sonuç: 5,28 x 102
14. Aşağıda verilen bilimsel gösterimleri karşılaştırınız.
a) 5,03 x 10-6 ile 5,3 x 10-6
Bu iki sayıyı karşılaştırmak için öncelikle 10’un kuvvetlerine bakarız. Eğer 10’un kuvvetleri aynıysa, katsayıları karşılaştırırız.
Adım 1: Her iki sayının 10’un kuvveti aynıdır: $10^{-6}$.
Adım 2: Katsayıları karşılaştıralım: 5,03 ve 5,3.
Adım 3: 5,3 sayısı 5,03 sayısından daha büyüktür.
Sonuç: 5,3 x 10-6 > 5,03 x 10-6
b) 9,48 x 1010 ile 1,3 x 109
Bu iki sayının 10’un kuvvetleri farklı. Karşılaştırmayı kolaylaştırmak için 10’un kuvvetlerini eşitlememiz gerekir. Genellikle daha küçük olan kuvvete eşitlemek daha pratiktir.
Adım 1: İkinci sayının 10’un kuvvetini $10^{10}$ yapalım. Bunun için 1,3 sayısını 10’a bölüp 10 ile çarpmalıyız. Yani virgülü bir basamak sola kaydırıp 10’un kuvvetini bir artırmalıyız.
1,3 x 109 = 0,13 x 1010
Adım 2: Şimdi sayıları karşılaştıralım: 9,48 x 1010 ile 0,13 x 1010.
Adım 3: Katsayıları karşılaştıralım: 9,48 ve 0,13.
Adım 4: 9,48 sayısı 0,13 sayısından daha büyüktür.
Sonuç: 9,48 x 1010 > 1,3 x 109
c) 3,8 x 10-20 ile 3,8 x 10-22
Adım 1: Her iki sayının katsayısı aynıdır: 3,8.
Adım 2: Şimdi 10’un kuvvetlerini karşılaştıralım: $10^{-20}$ ve $10^{-22}$.
Adım 3: Negatif sayılarda, mutlak değeri küçük olan sayı daha büyüktür. Yani -20, -22’den daha büyüktür.
Sonuç: 3,8 x 10-20 > 3,8 x 10-22
Umarım bu çözümlerimiz hepinize faydalı olmuştur. Anlamadığınız yerleri lütfen sormaktan çekinmeyin! Başarılar dilerim!