Merhaba sevgili öğrencim,
Harika sorular göndermişsin! Matematik, adımları doğru takip ettiğimizde bir bulmaca çözmek gibidir. Şimdi bu soruları birlikte, tane tane ve anlayacağın bir dilde çözelim. Hazırsan, haydi başlayalım!
***
21. Soru: b bir reel sayı olmak üzere aşağıdaki eşitsizlikleri sayı doğrusu üzerinde gösteriniz.
Bu soruda bizden verilen eşitsizlikleri sayı doğrusunda göstermemiz isteniyor. Unutma, eğer eşitsizlikte ≤ veya ≥ işareti varsa, sayının kendisi de çözüme dahil olduğu için sayı doğrusunda o noktanın içini doldururuz (●). Eğer < veya > işareti varsa, sayının kendisi dahil olmadığı için o noktanın içini boş bırakırız (○).
a) 3 < b ≤ 7
Adım 1: Bu ifade “b sayısı 3’ten büyük ve 7’den küçük veya 7’ye eşittir” anlamına gelir.
Adım 2: Sayı doğrusunda 3 ve 7 sayılarını buluruz.
Adım 3: 3’ün yanında “<" işareti olduğu için 3'ün üzerine içi boş bir halka (○) koyarız.
Adım 4: 7’nin yanında “≤” işareti olduğu için 7’nin üzerine içi dolu bir halka (●) koyarız.
Adım 5: Son olarak, bu iki halkanın arasını çizeriz. İşte bu kadar!
b) -1 ≤ b < 4
Adım 1: Bu ifade “b sayısı -1’e eşit veya -1’den büyük ve 4’ten küçüktür” demektir.
Adım 2: Sayı doğrusunda -1 ve 4 sayılarını işaretleriz.
Adım 3: -1’in yanında “≤” olduğu için içini doldururuz (●).
Adım 4: 4’ün yanında “<" olduğu için içini boş bırakırız (○).
Adım 5: Bu iki noktanın arasını birleştiririz.
c) 6 ≤ b ≤ 10
Adım 1: Bu ifade “b sayısı 6 ile 10 arasındadır ve 6 ile 10 da bu aralığa dahildir” anlamına gelir.
Adım 2: Sayı doğrusunda 6 ve 10’u buluruz.
Adım 3: Her iki sayının yanında da “≤” işareti olduğu için ikisinin de üzerine içi dolu halka (●) koyarız.
Adım 4: Aralarını çizeriz.
ç) -7 < b < -5
Adım 1: Bu ifade “b sayısı -7’den büyük ve -5’ten küçüktür” demektir.
Adım 2: Sayı doğrusunda -7 ve -5’i buluruz.
Adım 3: Her iki sayının yanında da “<" işareti olduğu için ikisinin de üzerine içi boş halka (○) koyarız.
Adım 4: Bu iki halkanın arasını birleştiririz.
***
22. Soru: Yukarıda verilen ABCD karesinin çevre uzunluğu 12 cm ve KLMN dikdörtgeninin çevre uzunluğu 32 cm’dir. Buna göre aşağıdaki ifadelerden doğru olanların başındaki kutucuğa “D”, yanlış olanların başındaki kutucuğa “Y” yazınız.
Bu soruyu çözmek için önce kare ve dikdörtgenin kenar uzunluklarını bulmalıyız. Adım adım gidelim.
Adım 1: Karenin bir kenarını bulalım.
Karenin dört kenarı da birbirine eşittir. Çevresi 12 cm ise bir kenarını bulmak için 12’yi 4’e böleriz.
12 ÷ 4 = 3 cm. Yani ABCD karesinin bir kenarı 3 cm‘dir.
Adım 2: “x” değerini bulalım.
Karenin bir kenar uzunluğu bize (x+1)/3 olarak verilmiş. Bu uzunluğun 3 cm olduğunu bulduk. Öyleyse eşitleyelim:
(x + 1) / 3 = 3
x + 1 = 3 * 3
x + 1 = 9
x = 9 – 1
x = 8‘dir.
Adım 3: Dikdörtgenin kenarlarını bulalım.
Dikdörtgenin bir kenarı (x+2)/2 olarak verilmiş. x’i 8 bulmuştuk, yerine yazalım:
(8 + 2) / 2 = 10 / 2 = 5 cm. Bu dikdörtgenin bir kenarıdır.
Dikdörtgenin çevresi 32 cm idi. Çevre = 2 * (kısa kenar + uzun kenar).
32 = 2 * (5 + uzun kenar)
İki tarafı da 2’ye bölelim: 16 = 5 + uzun kenar
uzun kenar = 16 – 5 = 11 cm.
Adım 4: Şimdi şıkları kontrol edelim.
- [D] Dikdörtgenin uzun kenarı, 11 cm uzunluğundadır.
Açıklama: Evet, hesaplamamızda uzun kenarı 11 cm bulduk. Bu ifade Doğru.
- [Y] Karenin alanı, 64 cm²’dir.
Açıklama: Karenin bir kenarı 3 cm’ydi. Alanı = kenar * kenar = 3 * 3 = 9 cm² olmalı. Bu ifade Yanlış.
- [D] Karenin çevre uzunluğunun, dikdörtgenin çevre uzunluğuna oranı 3/8’dir.
Açıklama: Karenin çevresi 12 cm, dikdörtgenin çevresi 32 cm. Oranları 12/32’dir. Bu kesri 4 ile sadeleştirirsek 3/8 buluruz. Bu ifade Doğru.
- [Y] Dikdörtgenin kısa kenarının uzunluğu, karenin bir kenar uzunluğunun 16/3 katıdır.
Açıklama: Dikdörtgenin kısa kenarı 5 cm, karenin bir kenarı 3 cm. “3’ün 16/3 katı”nı bulalım: 3 * (16/3) = 16. Sonuç 5 çıkmadı. Bu ifade Yanlış.
- [D] Dikdörtgenin alanı 55 cm²’dir.
Açıklama: Dikdörtgenin kenarları 5 cm ve 11 cm. Alanı = 5 * 11 = 55 cm². Bu ifade Doğru.
***
23. Soru: “Bir reel sayının 3 fazlasının yarısı, 14’ten büyüktür.” Yukarıdaki ifadeye uygun eşitsizliği yazınız. Eşitsizliğin çözümünü bularak sayı doğrusunda gösteriniz.
Sözel ifadeleri matematik diline çevirmek çok önemlidir. Cümleyi parça parça ele alalım.
Adım 1: Eşitsizliği yazalım.
“Bir reel sayı”ya x diyelim.
“3 fazlası” demek x + 3 demektir.
“yarısı” demek bunu 2’ye bölmektir: (x + 3) / 2
“14’ten büyüktür” demek > 14 demektir.
Hepsini birleştirince eşitsizliğimiz: (x + 3) / 2 > 14
Adım 2: Eşitsizliği çözelim.
(x + 3) / 2 > 14
Eşitsizliğin her iki tarafını 2 ile çarpalım:
x + 3 > 28
Şimdi 3’ü karşıya atalım (yani her iki taraftan 3 çıkaralım):
x > 28 – 3
x > 25
Adım 3: Sayı doğrusunda gösterelim.
Sayı doğrusunda 25 sayısını buluruz. Eşitsizlik “>” olduğu için (eşitlik yok), 25’in üzerine içi boş bir halka (○) koyarız. “x”, 25’ten büyük olduğu için, bu halkanın sağ tarafını sonsuza kadar tararız ve ucuna bir ok koyarız.
***
24. Soru: Çözümü yukarıdaki sayı doğrusunda gösterilen eşitsizlik, aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Bu soruda tersten gideceğiz. Önce sayı doğrusunu okuyup ne anlattığını bulacağız, sonra şıkları tek tek çözüp hangisinin aynı sonucu verdiğini bulacağız.
Adım 1: Sayı doğrusunu okuyalım.
Sayı doğrusunda -1 noktasında içi boş bir halka var. Bu, sayımızın -1’e eşit olmadığını gösterir. Çizgi, -1’den sola doğru, yani daha küçük sayılara doğru gidiyor. O halde bu sayı doğrusu bize x < -1 eşitsizliğini anlatıyor.
Adım 2: Şıkları deneyelim.
a) 2x + 4 > 3x => 4 > 3x – 2x => 4 > x (yani x < 4). Bu değil.
b) 2x ≤ x – 1 => 2x – x ≤ -1 => x ≤ -1. Bu da değil, çünkü sayı doğrusunda eşitlik yok (halka boş).
c) 2 * (x – 1) > -1 => 2x – 2 > -1 => 2x > 1 => x > 1/2. Bu hiç değil.
d) (x + 4) / 3 < 1 => x + 4 < 3 * 1 => x + 4 < 3 => x < 3 - 4 =>x < -1.
Sonuç: Aradığımız cevap D şıkkı!
***
25. Soru: Terazilerde modellenen eşitsizlikleri, altlarındaki noktalı yerlere yazınız.
Terazi soruları eşitsizliklerin en keyifli halidir. Ağır basan taraf daha büyüktür, hafif kalan taraf daha küçüktür. Unutmayalım: Kırmızı daire = x kg, Turuncu kare = 2 kg, Yeşil üçgen = 5 kg.
a) Birinci Terazi
Adım 1: Sol kefeyi hesaplayalım.
Sol kefede 4 tane kırmızı daire var. Her biri x kg ise, toplam ağırlık: 4 * x = 4x kg.
Adım 2: Sağ kefeyi hesaplayalım.
Sağ kefede 3 turuncu kare ve 3 yeşil üçgen var.
Turuncu kareler: 3 * 2 = 6 kg.
Yeşil üçgenler: 3 * 5 = 15 kg.
Toplam ağırlık: 6 + 15 = 21 kg.
Adım 3: Eşitsizliği yazalım.
Terazide sol kefe daha aşağıda, yani daha ağır. O zaman sol kefedeki ağırlık, sağ kefedekinden büyüktür.
Sonuç: 4x > 21
b) İkinci Terazi
Adım 1: Sol kefeyi hesaplayalım.
Sol kefede 3 tane kırmızı daire var. Toplam ağırlık: 3 * x = 3x kg.
Adım 2: Sağ kefeyi hesaplayalım.
Sağ kefede 1 yeşil üçgen ve 1 turuncu kare var.
Toplam ağırlık: 5 + 2 = 7 kg.
Adım 3: Eşitsizliği yazalım.
Terazide sol kefe daha yukarıda, yani daha hafif. O zaman sol kefedeki ağırlık, sağ kefedekinden küçüktür.
Sonuç: 3x < 7
***
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Gördüğün gibi, her sorunun bir mantığı ve çözüm yolu var. Anlamadığın bir yer olursa çekinmeden sorabilirsin. Başarılar dilerim