Merhaba çocuklar! Bugün sizlerle kitaptaki alıştırmaları çözeceğiz. Rasyonel ve irrasyonel sayılar konusunu pekiştirmek için harika bir fırsat. Bu konuları ne kadar iyi anladığımızı görmek için bu soruları birlikte adım adım, tane tane çözeceğiz. Hazırsanız, hemen başlayalım!
1. Soru: Kutucuklarda alanları verilen karelerden kenar uzunluğu “cm” birimi ile rasyonel sayı olanları belirleyiniz.
Sevgili öğrenciler, bir karenin alanını bildiğimizde kenar uzunluğunu bulmak için alanın karekökünü alırız. Yani bir kenar = √Alan‘dır. Eğer karekökün sonucu bir tam sayı veya kesir olarak yazılabiliyorsa (yani rasyonel sayı ise), o karenin kenar uzunluğu rasyoneldir. Eğer sayı, karekök dışına tam olarak çıkamıyorsa, yani bir tam kare değilse, o zaman kenar uzunluğu irrasyonel bir sayıdır. Haydi şimdi verilen kareleri tek tek inceleyelim.
I. Kare (A = 900 cm2)
Adım 1: Kenar uzunluğunu bulmak için alanın karekökünü alırız: √900
Adım 2: Hangi sayının kendisiyle çarpımının 900 olduğunu düşünelim. 30 x 30 = 900. O halde √900 = 30’dur.
Sonuç: 30 bir tam sayıdır ve her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır. Bu yüzden I. karenin kenar uzunluğu rasyoneldir.
II. Kare (A = 17 cm2)
Adım 1: Kenar uzunluğu için karekök alalım: √17
Adım 2: 17 sayısı bir tam kare sayı değildir. Yani hiçbir tam sayının karesi 17 etmez (42=16, 52=25). Bu yüzden √17 kök dışına tam olarak çıkamaz.
Sonuç: √17 sayısı irrasyonel bir sayıdır.
III. Kare (A = 196 cm2)
Adım 1: Kenar uzunluğu için karekök alıyoruz: √196
Adım 2: 196 sayısının hangi sayının karesi olduğunu bulalım. Biraz düşününce 14 x 14 = 196 olduğunu hatırlarız. O halde √196 = 14’tür.
Sonuç: 14 bir tam sayı olduğu için rasyonel bir sayıdır. III. karenin de kenar uzunluğu rasyoneldir.
IV. Kare (A = 40 cm2)
Adım 1: Kenar uzunluğu: √40
Adım 2: 40 sayısı bir tam kare sayı değildir (62=36, 72=49). Bu nedenle √40 kök dışına tam sayı olarak çıkamaz.
Sonuç: √40 sayısı irrasyonel bir sayıdır.
Genel Sonuç: Kenar uzunlukları rasyonel sayı olan kareler I ve III numaralı karelerdir.
2. Soru: Kutucuklarda verilen sayılara göre aşağıda istenenleri yapınız.
Şimdi de kutucuklardaki sayıları rasyonel, irrasyonel ve gerçek sayılar olarak sınıflandıracağız. Unutmayın, a/b şeklinde yazılabilen her sayı rasyonel, yazılamayan (pi gibi, kök dışına tam çıkamayan sayılar gibi) sayılar irrasyoneldir. Bu sayıların hepsi birden ise gerçek (reel) sayılar kümesini oluşturur.
a. F kutucuğundaki devirli ondalık gösterimi, rasyonel sayı olarak ifade ediniz.
Adım 1: F kutucuğundaki sayı 37,146‘dır. (Sadece 6’nın üzerinde devir çizgisi var). Bunu kesre çevirmek için bir formülümüz vardı, hatırlayalım:
(Sayının tamamı – Devretmeyen kısım) / (Virgülden sonra devreden basamak sayısı kadar 9, devretmeyen basamak sayısı kadar 0)Adım 2: Formülü uygulayalım:
- Sayının tamamı (virgül ve devir çizgisi yokmuş gibi): 37146
- Devretmeyen kısım: 3714
- Virgülden sonra devreden 1 basamak (sadece 6) olduğu için paydaya bir tane 9 yazıyoruz.
- Virgülden sonra devretmeyen 2 basamak (1 ve 4) olduğu için 9’un yanına iki tane 0 ekliyoruz. Paydamız 900 oldu.
Adım 3: İşlemi yapalım:
(37146 – 3714) / 900 = 33432 / 900Sonuç: Bu kesri sadeleştirdiğimizde 2786/75 sonucunu buluruz. Gördüğünüz gibi devirli sayıyı kesir olarak yani rasyonel sayı olarak ifade edebildik.
b. Rasyonel sayı olanları belirleyiniz.
Rasyonel sayılar, kesir olarak yazılabilen sayılardır. Tam sayılar, sonlu ondalık sayılar ve devirli ondalık sayılar bu gruba girer. Kutucukları inceleyelim:
- A (3,412): Sonlu ondalık sayı, rasyoneldir (3412/1000).
- B (24,68): Devirli ondalık sayı, rasyoneldir.
- C (-27): Tam sayı, rasyoneldir (-27/1).
- E (-7/5): Kesir halinde, rasyoneldir.
- F (37,146): Devirli ondalık sayı, rasyoneldir.
- H (√400): √400 = 20’dir. 20 bir tam sayı olduğu için rasyoneldir.
Sonuç: Rasyonel sayılar şunlardır: A, B, C, E, F, H
c. İrrasyonel sayı olanları belirleyiniz.
İrrasyonel sayılar ise virgülden sonrası düzensiz bir şekilde sonsuza giden, kesir olarak yazılamayan sayılardır.
- D (π): Pi sayısı en bilinen irrasyonel sayıdır.
- G (0,01867344…): Sonundaki üç nokta, sayının düzensiz bir şekilde sonsuza gittiğini gösterir. İrrasyoneldir.
- I (-√40): 40 tam kare olmadığı için kök dışına tam çıkamaz. İrrasyoneldir.
Sonuç: İrrasyonel sayılar şunlardır: D, G, I
ç. Gerçek sayı olanları belirleyiniz.
Bu en kolayı! Çünkü hem rasyonel hem de irrasyonel sayıların tamamı gerçek (reel) sayılar kümesini oluşturur. Yani kutucuktaki bütün sayılar aynı zamanda birer gerçek sayıdır.
Sonuç: Gerçek sayılar şunlardır: A, B, C, D, E, F, G, H, I (yani hepsi).
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Unutmayın, matematikte en önemli şey bol bol pratik yapmaktır. Anlamadığınız bir yer olursa çekinmeden sorun. Başarılar dilerim!