Harika bir çalışma! Merhaba sevgili öğrencim, ben 8. Sınıf Matematik öğretmeniniz. Gönderdiğin bu alıştırmaları çok beğendim. Silindirler konusu hem zevkli hem de önemlidir. Şimdi gel, bu soruları birlikte adım adım, tane tane çözelim. Takıldığın bir yer olursa hiç çekinme, tekrar üzerinden geçeriz.
1. Soru: Yandaki dik dairesel silindirin temel elemanlarını belirleyip açınımını çiziniz.
Çözüm:
Hadi bu silindiri bir konserve kutusu gibi düşünelim. Onu parçalarına ayırdığımızda ne görürüz, bir bakalım.
Adım 1: Temel Elemanları Belirleyelim
Bir dik dairesel silindirin temel elemanları şunlardır:
- Tabanlar: Silindirin alt ve üst kısımlarında bulunan birbirine eş iki dairedir. Resimde bu dairelerin yarıçapı ‘r’ harfi ile gösterilmiş.
- Yarıçap (r): Tabanı oluşturan dairelerin yarıçapıdır.
- Yükseklik (h): İki taban dairesinin merkezleri arasındaki dik mesafedir. Bu, silindirin boyu demektir.
- Yanal Yüzey: Silindirin tabanları arasında kalan, onu saran eğri yüzeydir.
Adım 2: Açınımını Çizelim
Şimdi silindiri makasla kestiğimizi ve açtığımızı hayal edelim. Elimizde ne olur?
- İki tane eş daire (alt ve üst tabanlar).
- Bir tane dikdörtgen (yanal yüzey).
Peki bu dikdörtgenin kenar uzunlukları ne olur?
- Dikdörtgenin bir kenarı, silindirin yüksekliğine (h) eşittir.
- Dikdörtgenin diğer kenarı ise, tabandaki dairenin etrafını tam bir tur sardığı için o dairenin çevresine eşittir. Dairenin çevresini 2 π r formülüyle bulduğumuzu hatırlayalım.
Yani silindirin açınımı, iki eş daire ve bir dikdörtgenden oluşur.
Çizim olarak hayal etmen gerekirse: Ortada bir dikdörtgen düşün. Bu dikdörtgenin üst kenarına bir daire, alt kenarına da bir daire yapışık halde olacak. İşte bu, silindirin açınımıdır!
2. Soru: Yandaki ABCD dikdörtgeni, BC kenarı etrafında 360° döndürülürse aşağıdaki dik dairesel silindirlerden hangisi elde edilir?
Çözüm:
Bu soruda bir dikdörtgeni döndürerek üç boyutlu bir şekil, yani bir silindir oluşturuyoruz. Çok keyifli bir canlandırma sorusu!
Adım 1: Döndürme Ekseni ve Yarıçapı Belirleyelim
Bir dikdörtgeni bir kenarı etrafında 360 derece (yani tam tur) döndürdüğümüzde bir silindir oluşur.
- Döndürdüğümüz sabit kenar, silindirin yüksekliği (h) olur. Soruda bize BC kenarı etrafında döndürdüğümüz söyleniyor. Şekle baktığımızda BC kenarının uzunluğu 2 cm. O zaman oluşacak silindirin yüksekliği h = 2 cm olacaktır.
- Dönen kenar ise, silindirin taban dairesinin yarıçapı (r) olur. BC kenarı sabitken, ona komşu olan AB kenarı dönecektir. AB kenarının uzunluğu 3 cm. O zaman silindirimizin taban yarıçapı r = 3 cm olacaktır.
Adım 2: Şıkları İnceleyelim
Şimdi bulduğumuz değerlere (h = 2 cm ve r = 3 cm) uyan silindiri şıklarda arayalım.
- A) h = 3 cm, r = 1 cm → Yanlış.
- B) h = 2 cm, r = 1,5 cm → Yanlış.
- C) h = 2 cm, r = 3 cm → Doğru! Bizim bulduğumuz değerlerle aynı.
- D) h = 3 cm, r = 2 cm → Yanlış. (Bu şık, eğer AB kenarı etrafında döndürseydik doğru olurdu, dikkatli olalım!)
Sonuç: Doğru cevap C şıkkıdır.
3. Soru: Yanda açınımı verilen dik dairesel silindirin taban yarıçap uzunluğu kaç cm’dir? (π’yi 3 alınız.)
Çözüm:
Bu soruda bize silindirin açık halini vermiş ve kapalı halindeki bir özelliği, yani yarıçapı soruyor. Bir önceki soruda öğrendiğimiz bilgiyi burada kullanacağız.
Adım 1: Açınımdaki Bilgileri Anlayalım
Açınımda bir dikdörtgen ve iki daire görüyoruz. Dikdörtgenin kenar uzunlukları 18 cm ve 12 cm.
- Dikdörtgenin bir kenarı silindirin yüksekliğidir. Yani h = 12 cm.
- Dikdörtgenin diğer kenarı ise taban dairesinin çevresine eşittir. Yani dairenin çevresi 18 cm‘dir.
Adım 2: Dairenin Çevresinden Yarıçapı Bulalım
Biliyoruz ki dairenin çevre formülü: Çevre = 2 π r
- Bize verilenler: Çevre = 18 cm ve π = 3.
- Bu değerleri formülde yerlerine yazalım: 18 = 2 x 3 x r
- İşlemi yapalım: 18 = 6 x r
- Şimdi ‘r’yi yalnız bırakmak için eşitliğin her iki tarafını da 6’ya bölelim.
- r = 18 / 6
- r = 3 cm
Sonuç: Silindirin taban yarıçapı 3 cm‘dir.
4. Soru: Cahide, yandaki yüzleri kullanarak bir dik dairesel silindir inşa etmek istiyor. Bunun için verilen yüzleri kartona çizip kesiyor. Ancak bir yüzü çizmeyi unuttuğunu fark ediyor. Cahide’nin çizmeyi unuttuğu yüzü belirleyerek silindiri inşa ediniz.
Çözüm:
Cahide’nin bir anlık dalgınlığına yardım edelim ve silindirini tamamlayalım!
Adım 1: Bir Silindir İçin Gerekli Parçaları Hatırlayalım
Bir dik dairesel silindiri oluşturmak için elimizde şunlar olmalı:
- 2 tane birbirine eş daire (alt ve üst tabanlar için).
- 1 tane dikdörtgen (yanal yüzey için).
Adım 2: Cahide’nin Elindeki Parçalara Bakalım ve Eksiği Bulalım
Resme baktığımızda Cahide’nin elinde şunlar var:
- 1 tane daire (yarıçapı r = 2 cm).
- 1 tane dikdörtgen (kenarları 12 cm ve 5 cm).
Gördüğün gibi, tam bir silindir için 2 daire gerekirken Cahide’de sadece 1 tane var.
Demek ki Cahide’nin çizmeyi unuttuğu yüz, yarıçapı 2 cm olan ikinci dairedir.
Adım 3: Silindiri İnşa Edelim (Boyutlarını Belirleyelim)
Eksik parçayı da bulduğumuza göre silindirin özelliklerini yazabiliriz.
- Tabanlar: Yarıçapı r = 2 cm olan iki daireden oluşur.
- Yanal Yüzey: Kenarları 12 cm ve 5 cm olan dikdörtgenden oluşur.
Peki bu silindirin yüksekliği kaç cm? Unutma, yanal yüzeyi oluşturan dikdörtgenin bir kenarı dairenin çevresine eşit olmalıydı.
- Taban dairesinin çevresini hesaplayalım. (π değeri verilmemiş, genellikle bu durumda 3 veya 3,14 alınır. Ancak burada dikdörtgen kenarlarıyla uyumlu olmalı.)
Çevre = 2 π r = 2 x π x 2 = 4π - Dikdörtgenin kenarları 12 cm ve 5 cm. 4π değeri, bu kenarlardan birine eşit olmalı. Eğer π yerine yaklaşık 3,14 alırsak, Çevre ≈ 4 x 3,14 = 12,56 cm olur. Bu da 12 cm’ye çok yakın. Demek ki dikdörtgenin 12 cm’lik kenarı, dairenin çevresine denk geliyor.
- Dikdörtgenin çevreye sarılan kenarı 12 cm olduğuna göre, diğer kenarı olan 5 cm de silindirin yüksekliği (h) olur.
Sonuç: Cahide’nin unuttuğu parça yarıçapı 2 cm olan ikinci bir dairedir. İnşa edilecek silindirin taban yarıçapı 2 cm ve yüksekliği 5 cm‘dir.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Harika iş çıkardın! Başka sorun olursa yine beklerim.