8. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Berkay Yayınları Sayfa 195

Harika bir çalışma! Gelin bu soruları birlikte, adım adım bir 8. sınıf öğrencisinin anlayacağı şekilde çözelim. Ben de sizin matematik öğretmeniniz olarak bu konuda size yardımcı olacağım.

***

Örnek 1

Yandaki ABC üçgeninde m(B) > m(A), |AB| = 2 cm, |AC| = 12 cm ve |BC| = x cm olduğuna göre x’in alabileceği doğal sayı değeri kaçtır?

Merhaba arkadaşlar! Bu soruyu çözmek için iki önemli kuralı hatırlamamız gerekiyor: Üçgen Eşitsizliği ve Açı-Kenar Bağıntısı. Haydi başlayalım!

Unutmayın, bir üçgenin çizilebilmesi için kenarları arasında belirli bir kural olmalı. İşte buna üçgen eşitsizliği diyoruz.

Adım 1: Üçgen Eşitsizliğini Uygulayalım

Bir üçgende, bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkından ise büyük olmalıdır. Şimdi bu kuralı ‘x’ kenarı için yazalım:

• Diğer iki kenar: 12 cm ve 2 cm
• Farkları: 12 – 2 = 10 cm
• Toplamları: 12 + 2 = 14 cm

Bu durumda ‘x’ kenarı 10 cm’den büyük, 14 cm’den küçük olmalıdır. Matematiksel olarak şöyle yazarız:

10 < x < 14

Bu eşitsizliğe göre x’in alabileceği doğal sayılar 11, 12 ve 13’tür.

Adım 2: Açı-Kenar Bağıntısını Kullanalım

Soruda bize bir bilgi daha verilmiş: m(B) > m(A). Bu, B açısının A açısındasın büyük olduğu anlamına gelir. Üçgenlerdeki en temel kurallardan biri şudur: Büyük açının karşısında büyük kenar, küçük açının karşısında küçük kenar bulunur.

• B açısının karşısındaki kenar: |AC| = 12 cm
• A açısının karşısındaki kenar: |BC| = x cm

Madem B açısı A açısından büyük, o zaman B’nin karşısındaki kenar da A’nın karşısındaki kenardan büyük olmalıdır. Yani:

12 > x

Adım 3: İki Bilgiyi Birleştirelim

Şimdi elimizdeki iki sonucu birleştirelim.

• Birinci adımdan bulduğumuz: x, 11, 12 veya 13 olabilir.
• İkinci adımdan bulduğumuz: x, 12’den küçük olmalıdır.

Bu iki şartı aynı anda sağlayan tek bir doğal sayı vardır. Bu sayı 11‘dir.

Sonuç:

x’in alabileceği doğal sayı değeri 11‘dir.

***

Örnek 2

Mert’in bulunduğu konum ile evi ve oyun parkı arasındaki mesafelerle, yanda bazı ölçüleri verilen MOE üçgeni oluşturulmuştur. Mert, bulunduğu konuma en yakın olan yere gitmek istediğine göre evi ve oyun parkından hangisine gitmelidir?

Sevgili arkadaşlar, bu soruda Mert en kısa yolu seçmek istiyor. Geometride en kısa yol, üçgenin en kısa kenarı demektir. Bir üçgende en kısa kenarı bulmak için de en küçük açıyı bulmamız gerekir. Çünkü ne demiştik? Küçük açının karşısında küçük kenar bulunur!

Adım 1: Üçgenin Verilmeyen Açısını Bulalım

Bildiğiniz gibi, bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman 180°‘dir. MOE üçgeninde bize verilen açılar:

• M açısı: m(M) = 95°
• O açısı: m(O) = 30° (Not: Şekildeki 130° bir baskı hatası gibi duruyor, çözümde 30° kullanıldığı için biz de onu baz alıyoruz.)

Şimdi verilmeyen E açısını bulalım:

m(E) = 180° – (95° + 30°)

m(E) = 180° – 125°

m(E) = 55°

Adım 2: Açıları Küçükten Büyüğe Sıralayalım

Üçgenin tüm açılarını artık biliyoruz: m(M)=95°, m(O)=30°, m(E)=55°. Şimdi bunları sıralayalım:

m(O) < m(E) < m(M)
(30° < 55° < 95°)

Adım 3: Kenarları Sıralayalım ve Yorumlayalım

Açıları sıraladığımıza göre, şimdi bu açıların karşısındaki kenarları da aynı sırayla yazabiliriz.

• En küçük açı olan O’nun karşısında |ME| kenarı var. (Mert’in eve olan uzaklığı)
• Ortanca açı olan E’nin karşısında |MO| kenarı var. (Mert’in oyun parkına olan uzaklığı)
• En büyük açı olan M’nin karşısında |OE| kenarı var. (Ev ile oyun parkı arasındaki uzaklık)

Bu durumda kenar sıralamamız şöyle olur:

|ME| < |MO| < |OE|

Bu sıralama bize en kısa kenarın |ME| olduğunu gösteriyor.

Sonuç:

En kısa mesafe Mert’in evine olan mesafe olduğu için, Mert evine gitmelidir.

***

Alıştırmalar – Soru 1

Yandaki ABC dik üçgeninin iç açılarının ölçülerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Evet arkadaşlar, sıra bizde! Bu soruyu çözmek için yine Açı-Kenar Bağıntısı kuralını kullanacağız. Yani kenar uzunluklarına bakarak açıları sıralayacağız.

Adım 1: Üçgenin Kenar Uzunluklarını Belirleyelim

Şekle baktığımızda bize verilen kenar uzunlukları şunlar:

• |AB| = 3 cm
• |BC| = 6 cm

Ayrıca bu bir dik üçgen ve B açısı 90°. Dik üçgende 90 derecenin karşısındaki kenara hipotenüs denir ve hipotenüs her zaman en uzun kenardır. Yani |AC| kenarı hem 3 cm’den hem de 6 cm’den daha uzundur.

Adım 2: Kenarları Küçükten Büyüğe Sıralayalım

Kenar uzunluklarını bildiğimize göre sıralayabiliriz:

|AB| < |BC| < |AC|
(3 cm < 6 cm < Hipotenüs)

Adım 3: Kenarların Karşısındaki Açıları Bulalım

Şimdi her kenarın karşısında hangi açının olduğuna bakalım:

• |AB| kenarının karşısında C açısı (m(C)) var.
• |BC| kenarının karşısında A açısı (m(A)) var.
• |AC| kenarının (en uzun kenar) karşısında B açısı (m(B)) var.

Adım 4: Açıları Sıralayalım

Küçük kenarın karşısında küçük açı, büyük kenarın karşısında büyük açı olacağına göre, kenar sıralamamızın aynısını açılar için de yapabiliriz.

Kenar sıralaması: |AB| < |BC| < |AC|
Açı sıralaması: m(C) < m(A) < m(B)

Sonuç:

ABC üçgeninin iç açılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı m(C) < m(A) < m(B) şeklindedir.