Harika bir çalışma! Merhaba sevgili öğrencim, gönderdiğin görseldeki geometri sorularını senin için bir öğretmen gözüyle inceledim. Şimdi gel, bu soruları birlikte, adım adım ve kolayca anlayacağın bir dille çözelim. Tıpkı sınıfta yaptığımız gibi!
19. Soru: Eş olan şekiller her zaman ……… ancak benzer olan şekiller her zaman ……… olmayabilir. Uygun sözcükleri noktalı yerlere yazarak kutucuktaki ifadeyi tamamlayınız.
Bu soruda eşlik ve benzerlik arasındaki temel bir ilişkiyi hatırlamamız gerekiyor.
Unutma, eş şekiller, birbirinin tıpatıp aynısı olan şekillerdir. Hem açıları hem de kenar uzunlukları eşittir. Sanki bir şekli kopyalayıp yapıştırmışız gibi düşünebilirsin.
Benzer şekiller ise aynı şeklin farklı boyutlardaki halleridir. Açıları aynıdır ama kenar uzunlukları orantılıdır. Biri diğerinin büyütülmüş ya da küçültülmüş bir fotoğrafı gibidir.
- Adım 1: Eş olan iki şekil düşünelim. Örneğin iki tane aynı cetvel. Bunların hem açıları hem de kenarları aynı olduğu için, kenarları arasındaki oran 1’dir. Kenarları orantılı olduğu için bu iki cetvel aynı zamanda benzerdir. Yani, eş olan her şekil aynı zamanda benzerdir.
- Adım 2: Şimdi de benzer iki şekil düşünelim. Mesela birinin kenarı 5 cm olan bir kare ile diğerinin kenarı 10 cm olan bir kare. Bu iki kare benzerdir çünkü ikisinin de açıları 90 derece ve kenarları 1/2 oranına sahip. Ama kenar uzunlukları farklı olduğu için bu şekiller eş değildir.
Bu durumda boşlukları dolduralım:
Eş olan şekiller her zaman benzerdir ancak benzer olan şekiller her zaman eş olmayabilir.
20. Soru: Yandaki ABDC ile KLMN dörtgenlerinde verilenlere göre dörtgenlerin benzer olup olmadığını belirleyiniz.
İki çokgenin benzer olabilmesi için iki önemli şart vardı, hatırlayalım:
- Karşılıklı açılarının ölçüleri eşit olmalı.
- Karşılıklı kenarlarının uzunlukları orantılı olmalı.
Bu iki şartın da aynı anda sağlanması gerekir. Eğer biri bile sağlanmazsa, şekiller benzer değildir. Haydi bu dörtgenleri inceleyelim.
- Adım 1: ABDC Dörtgeninin Açıları
Bir dörtgenin iç açıları toplamı 360°’dir. Verilen açıları toplayıp A açısını bulalım.
∠B = 30°, ∠C = 90°, ∠D = 120°
30° + 90° + 120° = 240°
∠A = 360° – 240° = 120°
Yani ABDC dörtgeninin açıları: 30°, 90°, 120°, 120°
- Adım 2: KLMN Dörtgeninin Açıları
Verilen açılar: ∠K = 90°, ∠L = 130°, ∠N = 120°
Bu dörtgenin açıları ise: 90°, 130°, 120° ve M açısı. M açısını bulmamıza bile gerek yok aslında.
- Adım 3: Karşılaştırma
ABDC dörtgeninin açı kümesi: {30°, 90°, 120°, 120°}
KLMN dörtgeninin açı kümesi: {90°, 130°, 120°, …}
Gördüğün gibi, ABDC dörtgeninde 30 derecelik bir açı varken, KLMN dörtgeninde böyle bir açı yok. KLMN’de ise 130 derecelik bir açı var ama bu da ABDC’de yok. Açıları birbiriyle eşleşmediği için ilk şart sağlanmıyor.
Sonuç: Karşılıklı açılarının ölçüleri eşit olmadığı için bu iki dörtgen benzer değildir.
21. Soru: Aşağıdaki kareli kâğıtta verilen şekle eş ve benzer olan birer şekil çiziniz.
Bu soruda çizim yapmamız isteniyor. Ben sana nasıl çizeceğini anlatacağım, sen de defterine kolayca çizebilirsin.
- Adım 1: Eş Şekil Çizimi
Eş şekil, verilen şeklin birebir aynısı demektir. Kareli kağıdın boş bir yerine, orijinal şeklin kenarlarını sayarak aynısını çizmelisin. Örneğin, şeklin en alt kenarı 2 birim sağa, sonra 1 birim çapraz yukarı ve sağa, sonra 1 birim yukarı… şeklinde tüm kenarları aynı uzunlukta ve aynı yönde çizerek kopyasını oluşturabilirsin. Döndürülmüş veya yansıtılmış halini de çizebilirsin, yeter ki boyutları aynı olsun!
- Adım 2: Benzer Şekil Çizimi
Benzer şekil için bir benzerlik oranı belirlemeliyiz. Mesela oranı 2 seçelim ve şekli iki kat büyütelim. Bu durumda, orijinal şekildeki her bir kenar uzunluğunu 2 ile çarpacağız.
- Orijinal şeklin alt kenarı 2 birimse, yeni şekilde 4 birim olacak.
- Orijinal şeklin yanlardaki dikey kenarları 1 birimse, yeni şekilde 2 birim olacak.
- Çapraz giden kenarlar, örneğin 1 birim sağa 1 birim yukarı gidiyorsa, yeni şekilde 2 birim sağa 2 birim yukarı gidecek.
Bu şekilde tüm kenarları 2 katına çıkararak çizdiğinde, orijinal şekille aynı biçime sahip ama daha büyük bir şekil elde edersin. İşte bu da benzer şekil olur.
22. Soru: Aşağıdaki şekillerden hangisi ile yanda verilen şeklin benzerlik oranı 1’dir?
Harika bir soru! “Benzerlik oranının 1 olması” ne anlama geliyor, önce onu düşünelim. Eğer iki şeklin benzerlik oranı 1 ise, bu onların kenar uzunluklarının birbirine eşit olduğu anlamına gelir. Kenarları ve açıları eşit olan şekillere biz ne diyorduk? Evet, eş şekiller! Yani soru aslında bize şunu soruyor: “Aşağıdaki şıklardan hangisi yandaki şekle eştir?”
- Adım 1: Yandaki Şekli İnceleyelim
Şeklin en alt tabanı 3 birim genişliğinde. Yanlardaki dikey kenarları 2 birim yüksekliğinde. Üst kısımda ise ortada 1 birimlik bir tabanı ve 1 birim yüksekliği olan bir üçgen var. Şeklin toplam yüksekliği 3 birim, toplam genişliği 3 birim.
- Adım 2: Şıkları İnceleyelim
a) Bu şeklin tabanı 4 birim. Orijinal şekille eş olamaz.
b) Bu şeklin tabanı 4 birim. Orijinal şekille eş olamaz.
c) Bu şeklin tabanı 2 birim. Orijinal şekille eş olamaz.
d) Bu şekil biraz farklı duruyor, değil mi? Sanki yana yatmış gibi. Hadi onu zihnimizde düzeltelim. Eğer bu şekli saat yönünün tersine 90 derece döndürürsek, tabanının 3 birim, yan kenarlarının 2 birim ve tepesindeki üçgenin tabanının 1 birim, yüksekliğinin 1 birim olduğunu görürüz. Yani bu, orijinal şeklin aynısı, sadece döndürülmüş hali!
Sonuç: Yandaki şekle eş olan, yani benzerlik oranı 1 olan şekil D şıkkıdır.
23. Soru: Aşağıdaki kareli kâğıtta verilen şekillerden benzer olanları belirleyiniz.
Burada verilen şekillerin hangilerinin “aynı aileden” olduğunu bulacağız. Yani biçimleri aynı, boyutları farklı olabilir.
- Adım 1: Şekilleri Tanıyalım
1. Şekil (Sarı): Kısa kenarı 2 birim, uzun kenarı 3 birim olan bir dikdörtgen.
2. Şekil (Mavi): Eğik duran bir paralelkenar. Dikdörtgen veya kare değil.
3. Şekil (Turuncu): Kenarları 2 birime 2 birim olan bir kare.
4. Şekil (Yeşil): Köşegenleri üzerinde duran bir kare. (Kenarları eşit uzunluktadır).
- Adım 2: Benzer Olanları Bulalım
Matematikte çok güzel bir kural vardır: Bütün kareler birbirine benzerdir. Tıpkı bütün dairelerin veya bütün eşkenar üçgenlerin birbirine benzer olduğu gibi.
Sarı dikdörtgenin kenar oranı 2/3’tür. Karelerin kenar oranı ise 1’dir (örneğin 2/2=1). Oranları farklı olduğu için dikdörtgen karelere benzer olamaz. Mavi şekil ise bir paralelkenar olduğu için diğerlerinden zaten farklı bir biçime sahiptir.
Sonuç: Birbirine benzer olan şekiller turuncu kare ile yeşil karedir. (3. ve 4. şekiller).
24. Soru: Yandaki KLM üçgeni ile NOP üçgeni, eşkenar üçgendir. Üçgenlerin çevre uzunluklarının oranı 3/4 ise benzerlik oranı kaçtır?
Bu soru, benzerliğin en önemli kurallarından birini içeriyor ve aslında çözümü çok basit!
- Adım 1: Kuralı Hatırlayalım
İki benzer çokgenin benzerlik oranı, onların karşılıklı kenarlarının oranına eşittir. Aynı zamanda bu oran, o çokgenlerin çevreleri oranına da eşittir.
Yani kısaca: Benzerlik Oranı = Kenarlar Oranı = Çevreler Oranı
- Adım 2: Soruyu Yorumlayalım
Soruda bize üçgenlerin eşkenar olduğu söylenmiş. Bütün eşkenar üçgenler zaten birbirine benzerdir. Bize bu iki benzer üçgenin çevreleri oranını 3/4 olarak vermişler.
- Adım 3: Sonuca Ulaşalım
Yukarıdaki kurala göre, çevrelerin oranı doğrudan benzerlik oranını verir.
Çevreler Oranı = 3/4
O halde, Benzerlik Oranı da 3/4’tür.
Sonuç: Üçgenlerin benzerlik oranı 3/4‘tür.
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Unutma, geometri sabır ve bol bol pratik gerektirir. Anlamadığın bir yer olursa çekinmeden sorabilirsin. Başarılar dilerim