Merhaba sevgili öğrencilerim!
Bugün birlikte 8. sınıfın en keyifli konularından biri olan cebirsel ifadelerle çarpma işlemi alıştırmalarını çözeceğiz. Kalemleriniz ve defterleriniz hazırsa, haydi başlayalım! Unutmayın, matematikte en önemli şey adım adım, anlayarak ilerlemektir. Anlamadığınız bir yer olursa tekrar tekrar okumaktan çekinmeyin.
Soru 1:Aşağıda verilen cebirsel ifadelerle çarpma işlemlerinin sonuçlarını bulunuz.
Haydi bu soruları birlikte çözelim. Bu tür çarpma işlemlerinde “dağılma özelliği” dediğimiz bir kuralı kullanıyoruz. Yani parantezin içindeki her bir terimi, diğer parantezdeki her bir terimle tek tek çarpacağız. Bazen buna “gökkuşağı yöntemi” de diyoruz, çünkü her bir terimden diğerine oklar çizdiğimizde gökkuşağına benziyor.
a) (2a – 3) ∙ (a + 2) =
Adım 1: İlk parantezdeki 2a terimini, ikinci parantezdeki her bir terimle çarpalım.
(2a ∙ a) + (2a ∙ 2) = 2a2 + 4aAdım 2: Şimdi ilk parantezdeki -3 terimini, ikinci parantezdeki her bir terimle çarpalım. İşaretlere dikkat!
(-3 ∙ a) + (-3 ∙ 2) = -3a – 6Adım 3: Bulduğumuz sonuçları bir araya getirelim ve benzer terimleri toplayalım.
2a2 + 4a – 3a – 6
Burada ‘4a’ ve ‘-3a’ benzer terimlerdir. Toplarsak ‘a’ kalır.Sonuç: 2a2 + a – 6
b) (4x – 1) ∙ (-x + 2) =
Adım 1: 4x terimini dağıtalım.
(4x ∙ -x) + (4x ∙ 2) = -4x2 + 8xAdım 2: -1 terimini dağıtalım. Unutma, eksi ile eksinin çarpımı artıdır!
(-1 ∙ -x) + (-1 ∙ 2) = +x – 2Adım 3: Benzer terimleri birleştirelim.
-4x2 + 8x + x – 2Sonuç: -4x2 + 9x – 2
c) 3x(x + 8) =
Adım 1: Burada sadece 3x’i parantezin içine dağıtacağız.
(3x ∙ x) + (3x ∙ 8)Sonuç: 3x2 + 24x
ç) -7b(-b + 4) =
Adım 1: -7b’yi parantezin içine dağıtıyoruz. İşaretlere çok dikkat edelim.
(-7b ∙ -b) + (-7b ∙ 4)
Eksi ile eksinin çarpımı artı, eksi ile artının çarpımı eksidir.Sonuç: 7b2 – 28b
d) 2x(x – 7) =
Adım 1: 2x’i parantezin içine dağıtalım.
(2x ∙ x) + (2x ∙ -7)Sonuç: 2x2 – 14x
e) (c – 6) ∙ (c + 1) =
Adım 1: ‘c’ terimini dağıtalım: (c ∙ c) + (c ∙ 1) = c2 + c
Adım 2: ‘-6’ terimini dağıtalım: (-6 ∙ c) + (-6 ∙ 1) = -6c – 6
Adım 3: Benzer terimleri toplayalım: c2 + c – 6c – 6
Sonuç: c2 – 5c – 6
f) (d + 8) ∙ (2d – 1) =
Adım 1: ‘d’ terimini dağıtalım: (d ∙ 2d) + (d ∙ -1) = 2d2 – d
Adım 2: ‘8’ terimini dağıtalım: (8 ∙ 2d) + (8 ∙ -1) = 16d – 8
Adım 3: Benzer terimleri toplayalım: 2d2 – d + 16d – 8
Sonuç: 2d2 + 15d – 8
g) (e – 3) ∙ (1 + e) =
Adım 1: ‘e’ terimini dağıtalım: (e ∙ 1) + (e ∙ e) = e + e2
Adım 2: ‘-3’ terimini dağıtalım: (-3 ∙ 1) + (-3 ∙ e) = -3 – 3e
Adım 3: Terimleri düzenleyip benzer olanları toplayalım: e2 + e – 3e – 3
Sonuç: e2 – 2e – 3
ğ) (-y + 1) ∙ (-2y – 3) =
Adım 1: ‘-y’ terimini dağıtalım. İşaretlere dikkat! (-y ∙ -2y) + (-y ∙ -3) = 2y2 + 3y
Adım 2: ‘1’ terimini dağıtalım: (1 ∙ -2y) + (1 ∙ -3) = -2y – 3
Adım 3: Benzer terimleri toplayalım: 2y2 + 3y – 2y – 3
Sonuç: 2y2 + y – 3
Soru 2:Servet (x + 2) ∙ (x – 2) çarpımını yandaki gibi yapmıştır. Buna göre Servet ilk olarak kaçıncı adımda hata yapmıştır?
Haydi Servet’in adımlarını kontrol edelim.
1. Adım: x(x – 2) + 2(x – 2)
Bu adımda (x+2)’deki terimleri (x-2) üzerine doğru bir şekilde dağıtmış. Bu adım doğru.2. Adım: x ∙ x + x ∙ 2 + 2 ∙ x + 2 ∙ (-2)
Burada bir duralım. İlk kısıma bakalım: x(x – 2). Bunun açılımı (x ∙ x) + (x ∙ -2) olmalıydı, yani x2 – 2x. Ama Servet buraya x ∙ 2 yazmış. İşte hatayı burada yapmış! x’i -2 ile değil, +2 ile çarpmış.Sonuç: Servet ilk hatasını 2. Adım‘da yapmıştır.
Soru 3:Şemada belirtilen çarpma işlemi yaparak boş kutucuğa uygun cebirsel ifadeyi yazınız.
Şemada (a – 8) ile (2a + 1) ifadelerinin çarpılması isteniyor. Hadi çarpalım!
Adım 1: Dağılma özelliğini uygulayalım.
(a ∙ 2a) + (a ∙ 1) + (-8 ∙ 2a) + (-8 ∙ 1)Adım 2: Çarpımları yapalım.
2a2 + a – 16a – 8Adım 3: Benzer terimleri (a ve -16a) birleştirelim.
a – 16a = -15aSonuç: 2a2 – 15a – 8
Soru 4:Yandaki KLMN dikdörtgeninin kenar uzunlukları (2x + 1) br ve (x – 5) br olduğuna göre dikdörtgenin alanını belirten cebirsel ifadeyi yazınız.
Bildiğiniz gibi, bir dikdörtgenin alanı, kısa kenarı ile uzun kenarının çarpımına eşittir. O zaman bu iki cebirsel ifadeyi çarpmamız gerekiyor.
Alan = (2x + 1) ∙ (x – 5)
Adım 1: Dağılma özelliğini kullanalım.
(2x ∙ x) + (2x ∙ -5) + (1 ∙ x) + (1 ∙ -5)Adım 2: Çarpımları yapalım.
2x2 – 10x + x – 5Adım 3: Benzer terimleri (-10x ve +x) toplayalım.
-10x + x = -9xSonuç: 2x2 – 9x – 5
Soru 5:Aşağıda, cebir karolarıyla modellenen çarpma işlemlerini noktalı yerlere yazınız. Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliğini kullanarak çarpımları bulunuz.
Cebir karoları aslında çarpma işlemini görselleştirmemize yarar. Dikdörtgenin kenarları çarpanları, içindeki alan ise sonucu verir.
- Turuncu büyük kare: x’e x boyutunda, alanı x2
- Yeşil dikdörtgen: x’e 1 boyutunda, alanı x
- Sarı küçük kare: 1’e 1 boyutunda, alanı 1
a)
Adım 1: Modelin kenarlarına bakalım. Yatay kenarda 2 tane yeşil (x) ve 1 tane sarı (1) karo var. Yani (2x + 1). Dikey kenarda ise 2 tane yeşil (x) karo var. Yani (2x).
İşlem: 2x ∙ (2x + 1)
Adım 2: Dağılma özelliğini kullanalım.
(2x ∙ 2x) + (2x ∙ 1) = 4x2 + 2xSonuç: 4x2 + 2x (Modelin içine bakarsak 4 turuncu kare ve 2 yeşil dikdörtgen görürüz, bu da sonucu doğrular.)
b)
Adım 1: Yatay kenarda 1 yeşil (x) ve 2 sarı (1) var: (x + 2). Dikey kenarda da 1 yeşil (x) ve 2 sarı (1) var: (x + 2).
İşlem: (x + 2) ∙ (x + 2)
Adım 2: Dağılma özelliğini kullanalım.
(x ∙ x) + (x ∙ 2) + (2 ∙ x) + (2 ∙ 2) = x2 + 2x + 2x + 4Sonuç: x2 + 4x + 4 (Modelde 1 turuncu, 4 yeşil ve 4 sarı karo var.)
c)
Adım 1: Yatay kenarda 1 yeşil (x) ve 3 sarı (1) var: (x + 3). Dikey kenarda 1 yeşil (x) ve 1 sarı (1) var: (x + 1).
İşlem: (x + 1) ∙ (x + 3)
Adım 2: Dağılma özelliğini kullanalım.
(x ∙ x) + (x ∙ 3) + (1 ∙ x) + (1 ∙ 3) = x2 + 3x + x + 3Sonuç: x2 + 4x + 3 (Modelde 1 turuncu, 4 yeşil ve 3 sarı karo var.)
Soru 6:Şirin koşu yarışına katılmak için her gün antrenman yapıyor. Şirin (x – 10) gün boyunca her gün (20x + 7) m koşuyor. Buna göre Şirin’in antrenman yaparken koştuğu toplam mesafeyi belirten cebirsel ifadeyi yazınız.
Bu bir problem sorusu ama çözümü yine cebirsel ifadelerle çarpma. Toplam mesafeyi bulmak için gün sayısı ile günlük koşulan mesafeyi çarpmalıyız.
Toplam Mesafe = (Gün Sayısı) ∙ (Günlük Mesafe)
Toplam Mesafe = (x – 10) ∙ (20x + 7)
Adım 1: Dağılma özelliğini uygulayalım.
(x ∙ 20x) + (x ∙ 7) + (-10 ∙ 20x) + (-10 ∙ 7)Adım 2: Çarpımları yapalım. İşaretlere dikkat!
20x2 + 7x – 200x – 70Adım 3: Benzer terimleri (7x ve -200x) birleştirelim.
7x – 200x = -193xSonuç: 20x2 – 193x – 70
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Gördüğünüz gibi, dağılma özelliğini doğru bir şekilde uyguladığımızda ve işaretlere dikkat ettiğimizde bu sorular oldukça kolay! Bol bol pratik yapmayı unutmayın. Başarılar dilerim!