Harika bir etkinlik, sevgili öğrencilerim! Gelin bu görseldeki soruları hep birlikte, adım adım inceleyip çözelim. Kareköklü sayılarla çarpma işlemi aslında ne kadar kolaymış göreceksiniz.
Başlangıç Sorusu: Yiğit’in Problemi
Yiğit, alanı 6 br² olan yandaki karenin çevre uzunluğunu hesaplamak istiyor. Ancak bunun için nasıl bir yol izleyeceğini bilmiyor. Alanı verilen bir karenin çevre uzunluğu bulunurken hangi yöntem kullanılabilir? Nedenini açıklayınız.
Sevgili arkadaşlar, bu soruyu çözmek için önce karenin özelliklerini hatırlamalıyız.
- Karenin Alanı: Bir kenar uzunluğunun kendisiyle çarpımıdır. Yani Alan = a ⋅ a = a²
- Karenin Çevresi: Dört kenar uzunluğunun toplamıdır. Yani Çevre = 4 ⋅ a
Adım 1: Kenar Uzunluğunu Bulalım
Bize alanı 6 br² olarak verilmiş. Yani a² = 6. “Hangi sayının karesi 6’dır?” sorusunun cevabını bulmak için alanın karekökünü almamız gerekir.
a = √6 br.
Gördüğünüz gibi, bir kenar uzunluğu √6 birimdir.Adım 2: Çevre Uzunluğunu Hesaplayalım
Çevre, bir kenar uzunluğunun 4 ile çarpılmasıyla bulunur.
Çevre = 4 ⋅ a = 4 ⋅ √6 = 4√6 br.Sonuç: Alanı verilen bir karenin çevresini bulmak için önce alanın karekökünü alarak bir kenar uzunluğunu buluruz, sonra da bu uzunluğu 4 ile çarparız. Başka bir yöntemle doğrudan kenar uzunluğunu bulamayız, bu yüzden karekök alma işlemi zorunludur.
Etkinlik Bölümü
Şimdi de etkinlikteki adımları takip ederek kareköklü sayılarla çarpma işleminin mantığını kavrayalım.
I numaralı dikdörtgenin alanı
Kenar uzunlukları √36 cm ve √16 cm olan bir dikdörtgenimiz var. Alanını iki farklı yolla bulalım.
1. Yöntem: Kenar uzunluklarının doğal sayı değerlerini kullanarak bulalım.
Adım 1: Kenar uzunluklarını kök dışına çıkaralım.
√36, “Hangi sayının karesi 36’dır?” demektir. Cevap 6’dır. Yani √36 = 6 cm.
√16, “Hangi sayının karesi 16’dır?” demektir. Cevap 4’tür. Yani √16 = 4 cm.Adım 2: Dikdörtgenin alanını bulalım. Alan = Uzun Kenar × Kısa Kenar.
Alan = 6 cm × 4 cm = 24 cm².
2. Yöntem: Karekökün içindeki sayıları çarpıp, çarpımı karekökün içine yazarak bulalım.
Adım 1: Kenar uzunluklarını tek bir karekök içinde çarpalım.
Alan = √36 × √16 = √(36 × 16)Adım 2: Kök içindeki çarpma işlemini yapalım.
36 × 16 = 576.
Alan = √576Adım 3: Sonucun karekökünü alalım. “Hangi sayının karesi 576’dır?” diye düşünelim. (Bunu bulmak için asal çarpanlara ayırma yöntemini kullanabilir veya tahmin yürütebiliriz.)
24 × 24 = 576.
Alan = 24 cm².
Etkinlik Sorularının Cevapları
- İki farklı yöntem arasında nasıl bir ilişki vardır?
Gördüğünüz gibi, her iki yöntemle de aynı sonuca ulaştık! Bu bize şunu gösteriyor: İki kareköklü sayıyı çarparken, sayıları önce kök dışına çıkarıp sonra çarpabiliriz VEYA sayıları doğrudan kök içinde çarpıp sonucu en son kök dışına çıkarabiliriz. - Hangi yöntemi tercih edersiniz? Neden?
Eğer √36 ve √16 gibi kök dışına tam olarak çıkabilen (yani tam kare) sayılarla uğraşıyorsak, 1. Yöntem genellikle daha kolay ve hızlıdır. Ancak kök dışına tam çıkamayan sayılarla (örneğin √7 gibi) işlem yapacaksak, 2. Yöntem, yani kök içinde çarpmak zorunlu hale gelir. - Kareköklü ifadelerde çarpma işlemi ile ilgili genel bir ifade yazınız.
Buradan çıkaracağımız genel kural şudur: √a ⋅ √b = √(a ⋅ b). Yani, iki kareköklü ifadenin çarpımı, kök içindeki sayıların çarpımının kareköküne eşittir. Eğer sayıların önünde katsayılar varsa (örneğin c√a ⋅ d√b gibi), o zaman katsayılar kendi arasında, kök içleri de kendi arasında çarpılır: (c ⋅ d)√(a ⋅ b).
Aşağıdaki Kare ve Dikdörtgenlerin Alanlarını Bulalım
Şimdi bu öğrendiğimiz kurallarla aşağıdaki şekillerin alanlarını hesaplayalım. Unutmayın, alan iki kenarın çarpımıdır!
a) Kenarları √2 br ve √2 br olan kare
Adım 1: Kenar uzunluklarını çarpalım.
Alan = √2 ⋅ √2Adım 2: Kök içindeki sayıları aynı kök altında çarpalım.
Alan = √(2 ⋅ 2) = √4Adım 3: Sonucu bulalım.
Alan = 2 br²Sonuç: Karenin alanı 2 br²‘dir.
b) Kenarları 2 br ve √7 br olan dikdörtgen
Adım 1: Kenar uzunluklarını çarpalım.
Alan = 2 ⋅ √7Adım 2: Burada bir doğal sayı (katsayı) ile bir köklü ifadeyi çarpıyoruz. Bu durumda yapacak özel bir işlem yok, sadece yan yana yazmamız yeterli.
Alan = 2√7 br²Sonuç: Dikdörtgenin alanı 2√7 br²‘dir.
c) Kenarları 3√5 br ve 4√2 br olan dikdörtgen
İşte kuralımızı tam olarak uygulayacağımız harika bir örnek! “Katsayılar kendi arasında, kök içleri kendi arasında çarpılır.”
Adım 1: Katsayıları (kökün önündeki sayıları) çarpalım.
Katsayılar: 3 ve 4
3 ⋅ 4 = 12Adım 2: Kök içindeki sayıları çarpalım.
Kök içleri: 5 ve 2
√5 ⋅ √2 = √(5 ⋅ 2) = √10Adım 3: Bulduğumuz iki sonucu birleştirelim. Katsayıyı öne, köklü ifadeyi arkasına yazalım.
Alan = 12√10 br²Sonuç: Dikdörtgenin alanı 12√10 br²‘dir.
Umarım herkes için anlaşılır olmuştur. Gördüğünüz gibi kuralları bildikten sonra işlemler oldukça basit. Harikasınız çocuklar!