Merhaba sevgili öğrencilerim!
Bugünkü dersimizde, cebirsel ifadelerin en önemli konularından olan denklemler ve özdeşlikler üzerine alıştırmalar yapacağız. Bu soruları dikkatlice okuyup, adım adım birlikte çözeceğiz. Unutmayın, matematikte her sorunun bir mantığı vardır ve bu mantığı anladığımızda her şey çok daha kolaylaşır. Haydi başlayalım!
1. Soru: Tablo: Denklem ve Özdeşlikler
Yukarıdaki tabloda verilen eşitlikler; özdeşlik ise özdeşlik sütununu, denklem ise denklem sütununu örnekteki gibi işaretleyiniz. Denklem olan eşitlikten elde edilen x değerini uygun kutucuğa yazınız.
Arkadaşlar, önce küçük bir hatırlatma yapalım. Eğer bir eşitlik, içindeki değişkenlere verdiğimiz tüm gerçek sayılar için doğruysa ona özdeşlik diyoruz. Eğer sadece bazı özel değerler için doğruysa ona da denklem diyoruz. Haydi bu bilgiyle tablomuzu dolduralım.
Eşitlik: 2 ⋅ (x – 2)² = 2x² – 2x + 4
Çözüm: Bu satır zaten örnek olarak çözülmüş. Eşitliğin her iki tarafını düzenlediğimizde x’in sadece belirli bir değer (2/3) için sağlandığını görüyoruz. Bu yüzden bu bir Denklem‘dir.
Eşitlik: (x + 2)² = x² + 4x + 4
Çözüm:
Adım 1: Bu ifade bize tanıdık geliyor, değil mi? Bu, tam kare özdeşliklerinden birisi: (a + b)² = a² + 2ab + b².
Adım 2: Burada a yerine ‘x’, b yerine ‘2’ gelmiş. Formülü uygulayalım: (x + 2)² = x² + 2⋅x⋅2 + 2² = x² + 4x + 4.
Adım 3: Gördüğünüz gibi, eşitliğin sol tarafı ile sağ tarafı birbirinin aynısı çıktı. Bu demektir ki, x yerine hangi sayıyı yazarsak yazalım bu eşitlik her zaman doğru olacaktır. Bu yüzden bu bir Özdeşlik‘tir.
Sonuç: Özdeşlik sütununa (✓) işareti koymalıyız.
Eşitlik: 4x² – 121 = (2x – 11) ⋅ (2x + 11)
Çözüm:
Adım 1: Bu ifade de çok ünlü bir özdeşlik olan “iki kare farkı” özdeşliğidir. Formülü hatırlayalım: a² – b² = (a – b) ⋅ (a + b).
Adım 2: Eşitliğin sol tarafına bakalım: 4x² = (2x)² ve 121 = 11². Yani a yerine ‘2x’, b yerine ’11’ gelmiş.
Adım 3: Formüle göre (2x)² – 11² = (2x – 11) ⋅ (2x + 11) olmalı. Bu da bize verilen eşitliğin aynısıdır. Bu eşitlik de x’in bütün değerleri için doğrudur. Dolayısıyla bu da bir Özdeşlik‘tir.
Sonuç: Özdeşlik sütununa (✓) işareti koymalıyız.
Eşitlik: (2x – 1)² = 4x ⋅ (x – 2) + 5
Çözüm:
Adım 1: Eşitliğin her iki tarafını da düzenleyelim. Önce sol tarafı açalım. Bu bir tam kare ifadesi: (a – b)² = a² – 2ab + b².
(2x – 1)² = (2x)² – 2⋅(2x)⋅1 + 1² = 4x² – 4x + 1
Adım 2: Şimdi sağ tarafı düzenleyelim. Çarpmayı dağıtarak yapıyoruz:
4x ⋅ (x – 2) + 5 = (4x ⋅ x) – (4x ⋅ 2) + 5 = 4x² – 8x + 5
Adım 3: Şimdi bulduğumuz ifadeleri eşitleyelim: 4x² – 4x + 1 = 4x² – 8x + 5. Bu bir özdeşlik gibi durmuyor, çünkü iki taraf aynı değil. Haydi denklemi çözelim.
Adım 4: Eşitliğin her iki tarafındaki 4x² birbirini götürür. Geriye -4x + 1 = -8x + 5 kalır. Bilinenleri bir tarafa, bilinmeyenleri diğer tarafa toplayalım. -8x’i sola +8x olarak, +1’i sağa -1 olarak atalım.
8x – 4x = 5 – 1
4x = 4
x = 1
Adım 5: Gördüğünüz gibi bu eşitlik sadece x = 1 için doğru. Bu yüzden bu bir Denklem‘dir.
Sonuç: Denklem sütununa (✓) işareti koymalı ve “Elde edilen x değeri” kutucuğuna 1 yazmalıyız.
2. Soru: Aşağıdaki ifadelerin özdeşlik olabilmesi için noktalı yerlere uygun çarpma işlemlerini yazınız.
Bu soruda bizden tam kare özdeşliklerini açmamız isteniyor. Formüllerimiz yine yardımımıza koşacak: (a + b)² = a² + 2ab + b² ve (a – b)² = a² – 2ab + b². Yani kuralımız neydi? Birincinin karesi, birinci ile ikincinin çarpımının iki katı, ikincinin karesi!
- a. (5x – 4)² = (5x)² – 2⋅(5x)⋅4 + 4² = 25x² – 40x + 16
- b. (2x + 5)² = (2x)² + 2⋅(2x)⋅5 + 5² = 4x² + 20x + 25
- c. (3x – 1)² = (3x)² – 2⋅(3x)⋅1 + 1² = 9x² – 6x + 1
- ç. (3 + 5x)² = 3² + 2⋅3⋅(5x) + (5x)² = 9 + 30x + 25x² = 25x² + 30x + 9
- d. (4 – x)² = 4² – 2⋅4⋅x + x² = 16 – 8x + x²
3. Soru: Kutucukta verilen özdeşliği, cebir karolarıyla modelleyiniz.
Özdeşlik: (2x + 1)² = 4x² + 4x + 1
Cebir karolarını hatırlayalım: büyük kare x²‘yi, dikdörtgen x‘i ve küçük kare de 1‘i temsil ediyordu. Bu soruyu çizebilseydim keşke ama size anlatarak modelleyeceğim, siz de defterinize çizebilirsiniz.
Çözüm:
Adım 1: (2x + 1)² ifadesi, bir kenarı (2x + 1) birim olan bir karenin alanını temsil eder. Haydi bu kareyi oluşturalım.
Adım 2: Defterinize büyük bir kare çizin. Bu karenin sol kenarına alt alta iki tane ‘x’ karosu (dikdörtgen) ve altına bir tane ‘1’ karosu (küçük kare) koyun. Bu kenarın uzunluğu (x + x + 1) yani (2x + 1) oldu.
Adım 3: Aynı şekilde karenin üst kenarına da yan yana iki tane ‘x’ karosu ve yanına bir tane ‘1’ karosu koyun. Bu kenarın uzunluğu da (2x + 1) oldu.
Adım 4: Şimdi bu kenarları birleştirerek büyük karenin içini dolduralım. Alanları hesaplayalım:
- Sol üst köşede, kenarları ‘x’ ve ‘x’ olan karoların kesişiminden dört tane x² karosu (büyük kareler) oluşur. Bu da 4x² demektir.
- Üst kenardaki ‘1’ karosu ile sol kenardaki iki ‘x’ karosunun kesişiminden iki tane x karosu (dikdörtgen) oluşur.
- Sol kenardaki ‘1’ karosu ile üst kenardaki iki ‘x’ karosunun kesişiminden iki tane daha x karosu (dikdörtgen) oluşur. Toplamda 4x oldu.
- Son olarak, sağ alt köşede kenarları ‘1’ ve ‘1’ olan karoların kesişiminden bir tane 1’lik karo (küçük kare) oluşur. Bu da +1 demektir.
Sonuç: Karenin içini doldurduğumuzda elimizde 4 tane x² karosu, 4 tane x karosu ve 1 tane 1’lik karo oldu. Yani modelimiz bize 4x² + 4x + 1 ifadesini verdi. Böylece özdeşliği kanıtlamış olduk!
4. Soru: (2x – ☐)² = 4x² – 32x + 64 eşitliğinin özdeşlik olabilmesi için ☐ yerine hangi sayı yazılmalıdır?
Çözüm:
Adım 1: Bu bir tam kare özdeşliği. Formülümüz: (a – b)² = a² – 2ab + b². Verilen ifadeyle formülü karşılaştıralım.
Adım 2: Formüldeki ‘a’ terimi, ifademizdeki ‘2x’e karşılık geliyor. Karesini alalım: (2x)² = 4x², bu ilk terimle uyuşuyor, harika!
Adım 3: Formüldeki ‘b²’ terimi, ifademizdeki son terim olan ’64’e karşılık geliyor. Hangi sayının karesi 64’tür? Tabii ki 8‘in! O zaman ☐ yerine 8 gelmeli. (b² = 64 ise b = 8)
Adım 4: Emin olmak için ortadaki terimi kontrol edelim. Formüle göre ortadaki terim -2ab olmalı. a = 2x ve b = 8 değerlerini yerine yazalım: -2 ⋅ (2x) ⋅ 8 = -32x. Bu da ifadedeki ortadaki terimle aynı!
Sonuç: Demek ki ☐ yerine gelmesi gereken sayı 8‘dir.
5. Soru: x² – 2xy + y² = 49 eşitliğine göre x – y ifadesinin pozitif değeri kaçtır?
Çözüm:
Adım 1: Soruda bize verilen x² – 2xy + y² ifadesi size de çok tanıdık geldi değil mi? Evet, bu (x – y)² tam kare özdeşliğinin açılımıdır.
Adım 2: Öyleyse, sorudaki eşitliği şu şekilde yazabiliriz: (x – y)² = 49.
Adım 3: Bizden istenen şey (x – y) ifadesinin değeri. Eşitliğin her iki tarafının karekökünü alarak (x – y)’yi yalnız bırakabiliriz.
√(x – y)² = √49
Adım 4: Bir sayının karesinin karekökü kendisine eşittir. 49’un karekökü ise hem 7 hem de -7 olabilir. Çünkü 7² = 49 ve (-7)² = 49’dur.
Yani, x – y = 7 veya x – y = -7 olabilir.
Adım 5: Soru bizden (x – y) ifadesinin pozitif değerini istiyor. Bu iki değerden pozitif olanı seçmeliyiz.
Sonuç: x – y ifadesinin pozitif değeri 7‘dir.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Anlamadığınız bir yer olursa çekinmeden sorun. Başarılar dilerim