Harika sorular, sevgili öğrenciler! Gelin bu silindir problemlerini birlikte, adım adım çözelim. Unutmayın, geometri aslında şekillerle oynamak gibidir. Formülleri anladığımızda her şey çok daha kolaylaşır. Haydi başlayalım!
3. Soru: Taban yarıçap uzunluğu 2 m ve yüksekliği 5 m olan dik dairesel silindir biçimindeki su tankeri, boş hâldeyken kaç litre su ile dolar (π’yi 3 alınız.)?
Merhaba arkadaşlar, bu soruda bizden silindir şeklindeki bir tankerin ne kadar su alacağını, yani hacmini bulmamız isteniyor. Ama dikkat, sonucu litre olarak istiyor!
- Adım 1: Önce silindirin hacmini bulmak için formülümüzü hatırlayalım. Silindirin Hacmi = Taban Alanı x Yükseklik. Tabanımız daire olduğu için formülümüz: V = π * r² * h olur.
- Adım 2: Soruda verilenleri formülde yerlerine yazalım. Yarıçap (r) = 2 m, yükseklik (h) = 5 m ve π = 3 olarak verilmiş.
V = 3 * (2)² * 5
V = 3 * 4 * 5
V = 60 m³ - Adım 3: Hacmi metreküp (m³) olarak bulduk. Ancak soru bizden litre olarak istiyor. Şu önemli dönüşümü unutmayalım: 1 m³ = 1000 litre.
Öyleyse bulduğumuz sonucu 1000 ile çarpmalıyız.
60 * 1000 = 60.000 litre
Sonuç:
Tanker 60.000 litre su ile dolar.
4. Soru: Bir dik dairesel silindirin yüksekliği 1/8’ine düşürülür, taban yarıçap uzunluğu 2 katına çıkarılırsa hacminde nasıl bir değişim olur?
Bu soru bir karşılaştırma sorusu. Sayısal bir sonuç bulmayacağız, hacmin ne kadar değiştiğini oran olarak ifade edeceğiz.
- Adım 1: İlk durumdaki silindirin hacmini formülle yazalım. Yarıçapına ‘r’, yüksekliğine ‘h’ diyelim.
İlk Hacim (V₁) = π * r² * h - Adım 2: Şimdi soruda istenen değişiklikleri yapalım.
Yeni yükseklik (h₂) = h / 8
Yeni yarıçap (r₂) = 2 * r - Adım 3: Yeni oluşan silindirin hacmini (V₂) yeni değerlerle hesaplayalım.
Yeni Hacim (V₂) = π * (r₂)² * h₂
V₂ = π * (2r)² * (h/8) (Burada (2r)’nin karesini almayı unutmayın, bu çok önemli!)
V₂ = π * 4r² * (h/8) - Adım 4: Şimdi bu ifadeyi düzenleyip ilk hacimle karşılaştıralım.
V₂ = (4/8) * (π * r² * h)
Parantez içindeki ifadenin ilk hacmimiz (V₁) olduğunu görüyoruz.
V₂ = (1/2) * V₁
Sonuç:
Silindirin hacmi yarıya düşer (veya 1/2 katına iner).
5. Soru: Yandaki ABCD dikdörtgeni, CD kenarı etrafında 360° döndürülüyor ve bir dik dairesel silindir oluşturuluyor. Oluşturulan dik dairesel silindirin hacmi kaç cm³ tür (π’yi 3 alınız.)?
Bu soruda bir dikdörtgeni döndürerek silindir oluşturuyoruz. Hayal etmeye çalışalım. Bir kağıdı bir çubuğun etrafında hızla döndürdüğünüzde silindir gibi görünür. İşte mantık aynı!
- Adım 1: Hangi kenarın etrafında döndürdüğümüz çok önemli. CD kenarı etrafında döndürüyoruz. Bu durumda, döndürme ekseni olan CD kenarı silindirin yüksekliği (h) olur. Dikdörtgenin diğer kenarı olan BC (veya AD) ise silindirin yarıçapı (r) olur.
Şekle göre:
Yükseklik (h) = |CD| = 12 cm
Yarıçap (r) = |BC| = 5 cm - Adım 2: Artık silindirin yarıçapını ve yüksekliğini biliyoruz. Hacim formülünü uygulayabiliriz.
V = π * r² * h
V = 3 * (5)² * 12
V = 3 * 25 * 12
V = 75 * 12
V = 900 cm³
Sonuç:
Oluşturulan silindirin hacmi 900 cm³ tür.
6. Soru: Yanda açınımı verilen dik dairesel silindirin hacmi kaç cm³ tür (π’yi 22/7 alınız.)?
Silindirin açınımında bir dikdörtgen ve iki daire bulunur. Dikdörtgenin bir kenarı silindirin yüksekliğidir. Diğer kenarı ise tabandaki dairenin çevresine eşittir. Çünkü o dikdörtgeni kıvırıp dairenin etrafını sarıyoruz.
- Adım 1: Şekilden silindirin yüksekliğini (h) direkt görebiliyoruz.
h = 40 cm - Adım 2: Dikdörtgenin diğer kenarı olan 44 cm, taban dairesinin çevresine eşittir. Dairenin çevre formülünü kullanarak yarıçapı (r) bulalım.
Çevre = 2 * π * r
44 = 2 * (22/7) * r
44 = (44/7) * r (Şimdi r’yi yalnız bırakmak için eşitliğin iki tarafını da 7/44 ile çarpabiliriz)
r = 7 cm - Adım 3: Artık yarıçapı (r=7 cm) ve yüksekliği (h=40 cm) bildiğimize göre hacmi hesaplayabiliriz.
V = π * r² * h
V = (22/7) * (7)² * 40
V = (22/7) * 49 * 40 (Burada 49 ile 7 sadeleşir)
V = 22 * 7 * 40
V = 154 * 40
V = 6160 cm³
Sonuç:
Silindirin hacmi 6160 cm³ tür.
7. Soru: Taban alanı 1256 cm², yüksekliği 20 cm olan bir dik dairesel silindirin hacmi kaç cm³ tür?
Bu soru, en temel hacim formülünü hatırlayıp hatırlamadığımızı ölçüyor. Bazen işler bu kadar kolay olabilir!
- Adım 1: Silindirin hacim formülünü hatırlayalım: Hacim = Taban Alanı * Yükseklik.
- Adım 2: Soru bize zaten ihtiyacımız olan her şeyi vermiş.
Taban Alanı = 1256 cm²
Yükseklik = 20 cm - Adım 3: Bu iki değeri çarparak hacmi bulalım.
V = 1256 * 20
V = 25120 cm³
Sonuç:
Silindirin hacmi 25120 cm³ tür.
8. Soru: Yan yüzünün alanı 288 cm², yüksekliği 12 cm olan dik dairesel silindirin hacmi kaç cm³ tür (π’yi 3 alınız.)?
Bu soru iki aşamalı. Önce verilen yan yüz alanı bilgisini kullanarak eksik olan yarıçapı bulacağız, sonra da hacmi hesaplayacağız.
- Adım 1: Silindirin yan yüz alan formülünü yazalım. Yan yüz, açınımda gördüğümüz dikdörtgenin alanıdır.
Yanal Alan = 2 * π * r * h - Adım 2: Verilenleri formülde yerine koyarak yarıçapı (r) bulalım.
288 = 2 * 3 * r * 12
288 = 72 * r
r = 288 / 72
r = 4 cm - Adım 3: Artık yarıçapı bulduk! Şimdi hacim formülünü kullanabiliriz.
V = π * r² * h
V = 3 * (4)² * 12
V = 3 * 16 * 12
V = 48 * 12
V = 576 cm³
Sonuç:
Silindirin hacmi 576 cm³ tür.
9. Soru: Nimet Hanım, yanda ölçüleri verilen yarım dik dairesel silindir biçimindeki depo doluyken deponun içindeki suyun tamamıyla bahçesini suluyor. Buna göre Nimet Hanım, bahçesini sulamak için kaç L su kullanmaktadır (π’yi 3 alınız.)?
Şekildeki depo, bir silindirin tam ortadan ikiye kesilmiş hali. Yani hacmini bulmak için önce tam bir silindirmiş gibi düşünüp, sonra bulduğumuz sonucu ikiye böleceğiz. Yine litreye çevirmeyi unutmayalım!
- Adım 1: Şekildeki ölçüleri tam bir silindir için yorumlayalım.
Silindirin uzunluğu, yüksekliği (h) olur: h = 10 m.
Genişlik olan 5 m, taban dairesinin çapıdır. Yarıçap (r) ise çapın yarısıdır: r = 5 / 2 = 2,5 m. - Adım 2: Bu ölçülerle tam silindirin hacmini hesaplayalım.
V_tam = π * r² * h
V_tam = 3 * (2,5)² * 10
V_tam = 3 * 6,25 * 10
V_tam = 18,75 * 10
V_tam = 187,5 m³ - Adım 3: Depo yarım silindir olduğu için bu hacmin yarısını almalıyız.
V_depo = V_tam / 2 = 187,5 / 2 = 93,75 m³ - Adım 4: Son olarak, metreküpü litreye çevirelim. (1 m³ = 1000 L)
93,75 * 1000 = 93.750 L
Sonuç:
Nimet Hanım 93.750 L su kullanmaktadır.
10. Soru: Yandaki dik dairesel silindirde verilen ölçülere göre, silindirin hacmini tahmin ediniz (π’yi 3 alınız.).
Bu sorunun anahtar kelimesi “tahmin ediniz“. Bu, bizden tam olarak hesap yapmamızı değil, sayıları en yakın ve kolay işlem yapılabilecek sayılara yuvarlayarak yaklaşık bir sonuç bulmamızı istiyor.
- Adım 1: Verilen ondalıklı sayıları en yakın tam sayılara yuvarlayalım.
Yarıçap (r) = 9,6 cm ≈ 10 cm
Yükseklik (h) = 19,8 cm ≈ 20 cm - Adım 2: Şimdi bu yuvarladığımız sayılarla hacim formülünü kullanarak hesap yapalım.
V ≈ π * r² * h (Tahmin ettiğimiz için eşittir yerine yaklaşık olarak işareti koydum)
V ≈ 3 * (10)² * 20
V ≈ 3 * 100 * 20
V ≈ 300 * 20
V ≈ 6000 cm³
Sonuç:
Silindirin tahmini hacmi yaklaşık 6000 cm³ tür.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Anlamadığınız bir yer olursa çekinmeden sorun. Başarılar dilerim!