Harika bir çalışma! Sevgili 8. sınıf öğrencileri, gelin bu soruları birlikte adım adım, kolayca anlaşılacak şekilde çözelim. Unutmayın, matematik sabır ve anlama işidir. Her adımı dikkatlice takip ederseniz ne kadar kolay olduğunu göreceksiniz.
5. Soru: Aşağıda alanları verilen mavi karelerin arasında kalan sarı üçgenlerden hangisi ya da hangileri dik üçgendir?
Merhaba arkadaşlar. Bu soruyu çözmek için Pisagor Teoremi’nin tersini kullanacağız. Neydi bu teorem? Bir üçgende, iki kısa kenarın karelerinin toplamı, en uzun kenarın (hipotenüs) karesine eşitse, o üçgen bir dik üçgendir. Yani a² + b² = c² kuralı sağlanmalı.
Öncelikle karelerin kenar uzunluklarını bulmalıyız. Biliyorsunuz ki bir karenin alanı, bir kenarının kendisiyle çarpımına, yani karesine eşittir. O zaman bir kenar uzunluğunu bulmak için alanın karekökünü alırız.
- a) seçeneği için:
Adım 1: Karelerin kenar uzunluklarını bulalım. Bu uzunluklar aynı zamanda sarı üçgenin de kenar uzunluklarıdır.
Birinci kenar: Alanı 10 cm² ise kenarı √10 cm’dir.
İkinci kenar: Alanı 7 cm² ise kenarı √7 cm’dir.
Üçüncü (en uzun) kenar: Alanı 17 cm² ise kenarı √17 cm’dir.
Adım 2: Pisagor Teoremi’ni kontrol edelim. İki kısa kenarın kareleri toplamı, en uzun kenarın karesine eşit mi?
(√10)² + (√7)² = (√17)²
10 + 7 = 17
17 = 17
Sonuç: Eşitlik sağlandığı için bu bir dik üçgendir.
- b) seçeneği için:
Adım 1: Kenar uzunluklarını bulalım.
Kenarlar: √10 cm, √10 cm ve √25 cm (yani 5 cm).
Adım 2: Pisagor Teoremi’ni kontrol edelim.
(√10)² + (√10)² = (√25)²
10 + 10 = 25
20 ≠ 25
Sonuç: Eşitlik sağlanmadığı için bu bir dik üçgen
değildir. - c) seçeneği için:
Adım 1: Kenar uzunluklarını bulalım.
Kenarlar: √12 cm, √10 cm ve √25 cm (yani 5 cm).
Adım 2: Pisagor Teoremi’ni kontrol edelim. (Kısa kenarlar √10 ve √12)
(√10)² + (√12)² = (√25)²
10 + 12 = 25
22 ≠ 25
Sonuç: Eşitlik sağlanmadığı için bu da bir dik üçgen
değildir.
Cevabımız yalnızca a seçeneğidir.
6. Soru: A noktasında bulunan Tekir, E noktasında bulunan evine gidecektir. Buna göre Tekir, evine gitmek için en az kaç m yürümelidir?
Sevgili arkadaşlar, “en az” mesafe demek, noktalar arasındaki en kısa yolu bulmamız demektir. Tekir’in yolu iki ayrı dik üçgenin hipotenüslerinden oluşuyor. Bu hipotenüsleri bulup toplamamız gerekiyor.
Adım 1: İlk üçgenimiz ABC üçgeni. Bu bir dik üçgen. Dik kenarları 8 m ve 6 m. Hipotenüsü, yani |AC| uzunluğunu Pisagor Teoremi ile bulalım.
|AC|² = 8² + 6²
|AC|² = 64 + 36
|AC|² = 100
|AC| = √100 = 10 m
Adım 2: İkinci üçgenimiz CDE üçgeni. Bu da bir dik üçgen. Dik kenarları 3 m ve 4 m. Hipotenüsü, yani |CE| uzunluğunu bulalım.
|CE|² = 3² + 4²
|CE|² = 9 + 16
|CE|² = 25
|CE| = √25 = 5 m
Adım 3: Tekir’in yürüyeceği toplam yolu bulmak için bu iki uzunluğu toplayalım.
Toplam Yol = |AC| + |CE| = 10 m + 5 m = 15 m
Sonuç: Tekir’in en az 15 m yürümesi gerekir.
7. Soru: Köşegen uzunluğu 10 cm olan bir karenin alanı kaç cm²’dir?
Bu soruyu çözmenin çok pratik bir yolu var. Bir karenin köşegeni, kareyi iki eş ikizkenar dik üçgene böler. Karenin bir kenarına ‘a’ diyelim. Pisagor teoreminden;
Adım 1: Kenarlar ‘a’ ve ‘a’, hipotenüs (köşegen) ise 10 cm’dir.
a² + a² = 10²
2a² = 100
Adım 2: a²’yi bulmak için her iki tarafı 2’ye bölelim.
a² = 50
Adım 3: Karenin alanı zaten bir kenarının karesine (a²) eşittir. Biz de a²’yi az önce 50 bulduk!
Sonuç: Karenin alanı 50 cm²‘dir.
8. Soru: Bir kenarının uzunluğu 12 cm olan bir eşkenar üçgenin yüksekliği kaç cm’dir?
Eşkenar üçgenin en güzel özelliklerinden biri, tepeden tabana indirdiğimiz yüksekliğin, tabanı iki eşit parçaya bölmesidir. Bu da bize bir dik üçgen oluşturur.
Adım 1: Eşkenar üçgenin bir kenarı 12 cm. Yüksekliği (h) çizdiğimizde taban 6 cm ve 6 cm olarak ikiye ayrılır.
Adım 2: Oluşan dik üçgenin kenarlarına bakalım: Hipotenüs (eşkenar üçgenin kenarı) 12 cm, dik kenarlardan biri (tabanın yarısı) 6 cm ve diğer dik kenar da aradığımız yükseklik (h).
Adım 3: Pisagor Teoremi’ni uygulayalım.
h² + 6² = 12²
h² + 36 = 144
h² = 144 – 36
h² = 108
h = √108
Adım 4: 108’i a√b şeklinde yazalım. 108 = 36 x 3’tür.
h = √(36 x 3) = 6√3 cm
Sonuç: Eşkenar üçgenin yüksekliği 6√3 cm‘dir.
9. Soru: Hakan ve Özge’nin, tahtaya çizdikleri üçgenlerin alanlarını bulunuz ve noktalı yerlere yazınız.
Üçgenin alanı neydi? (Taban x Yükseklik) / 2. Dik üçgenlerde dik kenarlar birbirinin yüksekliğidir, bu yüzden alanları (Dik Kenar 1 x Dik Kenar 2) / 2 formülüyle bulunur.
- Hakan’ın Üçgeni:
Adım 1: Bu bir ikizkenar dik üçgen. Dik kenarlarına ‘x’ diyelim. Hipotenüs 16√2 cm. Önce ‘x’i bulmalıyız.
x² + x² = (16√2)²
2x² = 16² x (√2)²
2x² = 256 x 2
2x² = 512
x² = 256
x = 16 cm. (Demek ki dik kenarlar 16 cm imiş.)
Adım 2: Alanı hesaplayalım.
Alan = (16 x 16) / 2
Alan = 256 / 2 = 128 cm²
Sonuç: Hakan’ın çizdiği üçgenin alanı 128 cm²‘dir.
- Özge’nin Üçgeni:
Adım 1: Bu bir dik üçgen. Dik kenarlardan biri 10 cm, hipotenüs 15 cm. Diğer dik kenara ‘b’ diyelim ve Pisagor ile bulalım.
b² + 10² = 15²
b² + 100 = 225
b² = 225 – 100
b² = 125
b = √125 = √(25 x 5) = 5√5 cm
Adım 2: Alanı hesaplayalım. Dik kenarlarımız 10 cm ve 5√5 cm oldu.
Alan = (10 x 5√5) / 2
Alan = 50√5 / 2 = 25√5 cm²
Sonuç: Özge’nin çizdiği üçgenin alanı 25√5 cm²‘dir.
10. Soru: Yanda verilen ABC ve KLM üçgenlerine göre üçgenlerin BC ve LM kenarlarına ait yüksekliklerini bularak noktalı yerlere yazınız.
Bu soruda da yine ikizkenar ve eşkenar üçgenlerin yükseklik özelliklerini kullanacağız. Hadi başlayalım!
- a) ABC Üçgeni:
Adım 1: Bu bir ikizkenar üçgen (|AB| = |AC| = 5 cm). A köşesinden BC tabanına bir yükseklik (h) indirelim. Bu yükseklik 6 cm’lik tabanı 3 cm ve 3 cm olarak ikiye böler.
Adım 2: Oluşan dik üçgene Pisagor Teoremi’ni uygulayalım. Hipotenüs 5 cm, dik kenarlardan biri 3 cm, diğeri ise aradığımız yükseklik (h).
h² + 3² = 5²
h² + 9 = 25
h² = 16
h = 4 cm
Sonuç: BC kenarına ait yükseklik h = 4 cm‘dir.
- b) KLM Üçgeni:
Adım 1: Bu bir eşkenar üçgen. Tüm kenarları 6√3 cm. K köşesinden LM tabanına bir yükseklik (h) indirelim. Bu yükseklik 6√3 cm’lik tabanı ikiye böler: 3√3 cm ve 3√3 cm.
Adım 2: Oluşan dik üçgene Pisagor Teoremi’ni uygulayalım. Hipotenüs 6√3 cm, dik kenarlardan biri 3√3 cm, diğeri ise aradığımız yükseklik (h).
h² + (3√3)² = (6√3)²
h² + (9 x 3) = (36 x 3)
h² + 27 = 108
h² = 108 – 27
h² = 81
h = 9 cm
Sonuç: LM kenarına ait yükseklik h = 9 cm‘dir.
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Anlamadığınız bir yer olursa çekinmeden sorun. Başarılar dilerim!